概率論與數(shù)理統(tǒng)計總復習V3.0

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計總復習,深圳大學 信息工程學院 康莉 2020/9/3,知識點1,CHAP1 事件，事件的各種運算，事件的各種表示。 CHAP2 隨機變量的分布，離散型分布（0-1分布、二項分布、泊松分布）的分布律、連續(xù)型分布（均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布）的概率密度，上述分布的數(shù)學期望、方差，隨機變量函數(shù)的分布。概率密度和分布函數(shù)的性質，概率密度和分布函數(shù)的關系。 CHAP3多維隨機變量的分布，聯(lián)合概率密度，通過聯(lián)合概率密度對兩個隨機變量是否獨立的判斷方法，邊緣分布和邊緣概率密度，條件概率密度，兩個隨機變量函數(shù)的分布,知識點2,CHAP4數(shù)學期望、方差、相關系數(shù)及協(xié)方差的概念及其求法 CHA

2、P5獨立同分布的隨機變量之和的分布?？ǚ椒植肌?CHAP6樣本均值，樣本方差，樣本的方差。樣本和總體的關系，包括數(shù)字特征的關系。 CHAP7矩估計、最大似然估計 CHAP13馬爾可夫鏈，一步轉移概率，n步轉移概率，遍歷性判斷，極限分布求解,Chap1 事件及其關系、數(shù)學描述,A與B的和，A和B至少有一個發(fā)生 A與B的交，A和B同時發(fā)生 A與B不相容，互斥,條件概率 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 獨立性,CHAP2 隨機變量的分布,0-1分布 分布律 期望和方差 二項分布 分布律 期望和方差 泊松分布 分布律 期望和方差,均勻分布 概率密度 期望和方差 指數(shù)分布 概率密度 期望和方差 正態(tài)分

3、布 概率密度 期望和方差,分布律 分布函數(shù) (1) 不減函數(shù) (2) 概率密度 (1) (2) 概率密度與分布函數(shù)的關系,隨機變量函數(shù)的分布,CHAP3 多維隨機變量的分布,二元分布函數(shù)的定義 例題。復習作業(yè)！,CHAP4 隨機變量的數(shù)字特征,數(shù)學期望 離散型 連續(xù)型 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 離散型 連續(xù)型,數(shù)學期望的重要性質 設C是常數(shù)； X, Y是隨機變量 1、 E(C)=C 2、 E(CX)=CE(X) 3、 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4、若X,Y是相互獨立的隨機變量，則 E(XY)=E(X)E(Y),方差 定義式 常用計算式 性質,協(xié)方差 定義式 常用計算式 性質,相關系數(shù) 相

4、關系數(shù)對隨機變量相關性的判斷,關于隨機變量是否相關的常用結果,矩,關于正態(tài)分布的結論,CHAP5 大數(shù)定理及中心極限定理,（獨立同分布的中心極限定理）設隨機變量 相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學期望和方差：則隨機變量之和 的標準化變量： 的分布函數(shù) 對于任意x滿足 :,CHAP6 樣本和抽樣分布,幾個重要的統(tǒng)計量,總體和樣本的關系 樣本均值的分布 樣本方差,總體為任何分布時，樣本均值和樣本方差的分布,總體為正態(tài)分布時，樣本均值和樣本方差的分布,CHAP7 參數(shù)估計,參數(shù)估計要解決的已知總體分布，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對總體分布中的未知參數(shù)進行估計 兩種參數(shù)估計方法： 矩估計法 似然估計法,矩估計

5、法的求解步驟總結： 1 求總體的前k階矩，有幾個參數(shù)待求，k就取幾 2用總體矩表示未知的參數(shù)，即求解1中的方程，獲得參數(shù)的表達形式 3分別以A1、A2代替總體矩 。此處請注意A1、A2是樣本矩，其求法為：,最大似然估計法的求解步驟總結： 1 求總體X的概率密度。 2求已知的樣本的聯(lián)合概率密度，表示為似然函數(shù)的形式 3按求函數(shù)最大值的方法，對似然函數(shù)關于待求參數(shù)求導置零。得出參數(shù)的估計值，為最大似然估計發(fā)的求解結果。,CHAP13 馬爾可夫鏈,一步轉移概率矩陣 n步轉移概率矩陣，和一步轉移概率矩陣的關系 遍歷性的判斷 極限分布的求解,習題講解,e.g.5一袋中有8個球，編號為18，其中13 號為

6、紅球，4 8號為黃球，設摸到每一球的可能性相等，從袋中不 放回的摸兩球，記A=恰是一紅一黃， 求P(A) 解：由上例，,例 一副撲克牌有52張，四種花色。從一副牌中隨機抽取5張，求其中2張為紅桃、3張為黑桃的概率？ 解：,例3 將一溫度調節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內。調節(jié)器設定在d，液體的溫度X（單位）是一個隨機變量，且XN(d,0.52). (1)若d=90，求X小于89的概率。 (2)若要求保持液體的溫度至少為 80的概率不低于0.99，求d?,解: (1) PX89?,(2),例2 設隨機變量X具有概率密度 求隨機變量Y=2X+8的概率密度。,解：,例2 設二維隨機變量(X,Y)具有

7、概率密度 （1）求分布函數(shù)F(x,y)；（2）求概率,解：(1),(2),例3 設G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A。若二維隨機變量(X,Y)具有概率密度 則稱(X,Y)在G上服從均勻分布?，F(xiàn)設(X,Y)在圓域： 上服從均勻分布，求條件概率密度 解：,例4 數(shù)X在(0,1)上隨機取值，當觀察到X=x時，數(shù)Y在(x,1)上隨機取值。求 。 解：,由聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度,例1 設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們服從N(0,1)分布。求Z=X+Y的概率密度。 解：,例5 有2個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命X1，X2都服從同一指數(shù)分布，其概率密度如下。若將這2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機，求整機壽命N的數(shù)學期望。,解：問題轉化為求 的壽命的數(shù)學期望,例3 一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于3的概率為p=1/3,若遭受90000次波浪沖擊，問其中有2950030500次縱搖角大于3的概率是多少？ 解：則該隨機變量服從Xb(90000,1/3)，其分布律為 所求的概率為,例3 設總體X的均值 和方差 都存在，且有 。但都未知。又設 是來自X的樣本。 試求 和 的矩