高考數學一輪復習 2.5 函數的周期性教案 新課標

1、5.函數的周期性一. 知識要點:1. 函數的周期性周期函數定義：若函數滿足 , ，則稱函數為周期函數，T是其周期說明:定義域為R時，若T是周期，那么nT也是周期 ( n為整數）2。最小正周期 最小正周期定義:若是周期函數，且在它所有的周期中存在最小的正數，稱為的最小正周期。說明:（1）周期函數不一定有最小正周期（常數函數）（2）最小正周期相同的兩個函數的和，其最小正周期不一定不變3.如何判斷函數的周期性： 定義; 圖象;利用下列補充性質： 設a0，則： 函數y=f(x),xR, 若f(x+a)=f(x-a)，則函數的周期為2a 函數y=f(x),xR, 若f(x+a)=-f(x)，則函數的周期

2、為2a 函數y=f(x),xR, 若，則函數的周期為2a 若函數的圖象同時關于直線與對稱，那么其周期為；證：若關于x=a對稱，則有f(a+x)=f(a-x)，用x+a代x可得：f(x+2a)=f(-x)，同理可得：f(x+2b)=f(-x)，從而有：f(x+2a)= f(x+2b)，再用x-2a代x可得：f(x)= f(x+2b-2a)，所以周期為；特例：若函數是偶函數，且其圖象關于直線對稱，那么其周期為 T=2a若函數關于直線對稱，又關于點對稱, 那么函數的周期是4|b-a|；證：關于直線對稱可得：f(a+x)=f(a-x)，用x+a代x可得：f(x+2a)=f(-x) (1)，關于點對稱可

3、得：f(b+x)+f(b-x)=0用-x-b代x可得：f(-x)+f(2b+x)=0，與（1）式聯(lián)立得：f(x+2a)+f(x+2b)=0得：f(x)+f(x+2b-2a)=0（2），進而得：f(x+2b-2a)+f(x+4b-4a)=0，與（2）；聯(lián)立即得：f(x)= f(x+4b-4a)，故周期是4|b-a|；特例：若函數是奇函數，又其圖象關于直線對稱，那么其周期為T=4a二. 例題選講:例1. 已知定義在R上的偶函數滿足,且當時, 求的值解:,又例已知定義在R上函數滿足,且是偶函數,當時，求當時，函數的解析式.解：變式 :已知，當時，求函數的解析式.解：例3：設函數在上滿足，且在閉區(qū)間0

4、，7上，只有（1）試判斷函數的奇偶性和周期性；（2）試求方程=0在閉區(qū)間-2005，2005上的根的個數，并證明你的結論.解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數的對稱軸為,從而知函數不是奇函數,由,從而知函數的周期為又,故函數是非奇非偶函數;(2) 由 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解,從而可知函數在0,2005上有402個解,在-2005.0上有400個解,所以函數在-2005,2005上有802個解.三. 課外作業(yè):1.已知定義在R上的函數，對于任意x都有成立,設, 數列中值不同的項最多有幾項？解：由得進而得到，即T=8，所以數列中值不同的項最多有8項；2.定義在R上的函數滿足,且當時， 求在上的表達式. 若，且,求實數a的取值范圍.解：可得周期T=4， a13.設是定義在 上以2為周期的函數，對，用表示區(qū)間，已知當當時，（1）求在上的解析式；（2）對，求集