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文檔簡介
1、5.函數的周期性一. 知識要點:1. 函數的周期性周期函數定義:若函數滿足 , ,則稱函數為周期函數,T是其周期說明:定義域為R時,若T是周期,那么nT也是周期 ( n為整數)2。最小正周期 最小正周期定義:若是周期函數,且在它所有的周期中存在最小的正數,稱為的最小正周期。說明:(1)周期函數不一定有最小正周期(常數函數)(2)最小正周期相同的兩個函數的和,其最小正周期不一定不變3.如何判斷函數的周期性: 定義; 圖象;利用下列補充性質: 設a0,則: 函數y=f(x),xR, 若f(x+a)=f(x-a),則函數的周期為2a 函數y=f(x),xR, 若f(x+a)=-f(x),則函數的周期
2、為2a 函數y=f(x),xR, 若,則函數的周期為2a 若函數的圖象同時關于直線與對稱,那么其周期為;證:若關于x=a對稱,則有f(a+x)=f(a-x),用x+a代x可得:f(x+2a)=f(-x),同理可得:f(x+2b)=f(-x),從而有:f(x+2a)= f(x+2b),再用x-2a代x可得:f(x)= f(x+2b-2a),所以周期為;特例:若函數是偶函數,且其圖象關于直線對稱,那么其周期為 T=2a若函數關于直線對稱,又關于點對稱, 那么函數的周期是4|b-a|;證:關于直線對稱可得:f(a+x)=f(a-x),用x+a代x可得:f(x+2a)=f(-x) (1),關于點對稱可
3、得:f(b+x)+f(b-x)=0用-x-b代x可得:f(-x)+f(2b+x)=0,與(1)式聯(lián)立得:f(x+2a)+f(x+2b)=0得:f(x)+f(x+2b-2a)=0(2),進而得:f(x+2b-2a)+f(x+4b-4a)=0,與(2);聯(lián)立即得:f(x)= f(x+4b-4a),故周期是4|b-a|;特例:若函數是奇函數,又其圖象關于直線對稱,那么其周期為T=4a二. 例題選講:例1. 已知定義在R上的偶函數滿足,且當時, 求的值解:,又例已知定義在R上函數滿足,且是偶函數,當時,求當時,函數的解析式.解:變式 :已知,當時,求函數的解析式.解:例3:設函數在上滿足,且在閉區(qū)間0
4、,7上,只有(1)試判斷函數的奇偶性和周期性;(2)試求方程=0在閉區(qū)間-2005,2005上的根的個數,并證明你的結論.解:(1)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數的對稱軸為,從而知函數不是奇函數,由,從而知函數的周期為又,故函數是非奇非偶函數;(2) 由 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解,從而可知函數在0,2005上有402個解,在-2005.0上有400個解,所以函數在-2005,2005上有802個解.三. 課外作業(yè):1.已知定義在R上的函數,對于任意x都有成立,設, 數列中值不同的項最多有幾項?解:由得進而得到,即T=8,所以數列中值不同的項最多有8項;2.定義在R上的函數滿足,且當時, 求在上的表達式. 若,且,求實數a的取值范圍.解:可得周期T=4, a13.設是定義在 上以2為周期的函數,對,用表示區(qū)間,已知當當時,(1)求在上的解析式;(2)對,求集
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