橋梁工程動力學2

1、二、單自由度體系自由振動微分方程的解來自,其中是沿質點振動方向的結構柔度系數(shù)，它表示在質 點上沿振動方向加單位荷載使質點沿振動方向所產(chǎn)生的位移。 k使質點沿振動方向發(fā)生單位位移時，須在質點上沿振動方向施加的力。 st=W在質點上沿振動方向施加數(shù)值為W的荷載時質 點沿振動方向所產(chǎn)生的位移。 計算時可根據(jù)體系的具體情況，視、 k、 st 三參數(shù)中哪一個最便于計算來選用。,自振周期計算公式：,圓頻率計算公式：,一些重要性質： （1）自振周期與且只與結構的質量和結構的剛度有關，與外界的干擾因素無關。干擾力只影響振幅a。 （2）自振周期與質量的平方根成正比，質量越大，周期越大（頻率越?。?；自振周期與剛度

2、的平方根成反比，剛度越大，周期越小（頻率越大）；要改變結構的自振周期，只有從改變結構的質量或剛度著手。 （3）兩個外形相似的結構，如果周期相差懸殊，則動力性能相差很大。反之，兩個外形看來并不相同的結構，如果其自振周期相近，則在動荷載作用下的動力性能基本一致。,例4、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質量m， 不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,據(jù)此可得：1 2 3= 1 1.512 2,結構約束越強,其剛度越大,剛度越大,其自振動頻率也越大。,例5、求圖示結構的自振圓頻率。,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh = MBC,解法2：求

3、,例6、求圖示結構的自振頻率。,解：求 k,對于靜定結構一般計算柔度系數(shù)方便。 如果讓振動體系沿振動方向發(fā)生單位位移時，所有剛節(jié)點 都不能發(fā)生轉動（如橫梁剛度為剛架)計算剛度系數(shù)方便。,一端鉸結的桿的側移剛度為：,兩端剛結的桿的側移剛度為：,五、阻尼對自由振動的影響,忽略阻尼影響時所得結果 能不能 反映實際結構的振動規(guī)律。,大體上,忽略阻尼的振動規(guī)律,考慮阻尼的振動規(guī)律,結構的自振頻率是結構的固有特性，與外因無關。,簡諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。,自由振動的振幅永不衰減。,自由振動的振幅逐漸衰減。,共振時的振幅趨于無窮大。,共振時的振幅較大但為有限值。,產(chǎn)生阻尼的原因：結構與支承之間的外摩擦；

4、材料之間的內摩擦；周圍介質的阻力。 阻尼力的確定：總與質點速度反向;大小與質點速度有如下關系： 與質點速度成反比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。 與質點速度平方成反比（如質點在流體中運動受到的阻力）。 與質點速度無關（如摩擦力）。 粘滯阻尼力的分析比較簡單，(因為R(t)=Cy ).,其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。,振動模型,k,m,有阻尼的自由振動，動平衡方程：,( 阻尼比）,設解為：,特征方程為：,1)1（低阻尼）情況,令,ae-t,低阻尼y- t曲線,無阻尼y- t曲線,阻尼對自振頻率的影響.,當0.2，則存在0.96r/1。在工程結構問題中，若0.010.1，可近似取:,稱為振幅

5、的對數(shù)遞減率.,設yk和yk+n是相隔n個周期的兩個振幅則:,經(jīng)過一個周期后，相鄰兩振幅yk和yk+1的比值的對數(shù)為:,工程中常用此方法測定阻尼,阻尼對振幅的影響. 振幅ae- t 隨時間衰減，相鄰兩個振幅的比,振幅按等比級數(shù)遞減.,例、圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質量均集中在橫梁處共計為m,，加一水平力P=9.8kN，測得側移A0=0.5cm， 然后突然卸載使結構發(fā)生水平自由振動。在測得周期T=1.5s 及一 個周期后的側移A1=0.4cm。求結構的阻尼比和阻尼系數(shù)c。,解：,臨界阻尼常數(shù)cr為=1時的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點）,阻尼比。反映阻尼情況的基本參數(shù)。,3)1

6、強阻尼：不出現(xiàn)振動，實際問題不常見。,2)=1（臨界阻尼）情況,這條曲線仍具有衰減性， 但不具有波動性。,15-3 單自由度體系的受迫振動,受迫振動（強迫振動）：結構在動力荷載作用下的振動。,k,彈性力ky、慣性力,和荷載P(t)之間的平衡方程為:,一、簡諧荷載：,單自由度體系強迫 振動的微分方程,特解：,最大靜位移yst（是把荷載幅值當作靜荷載作用時結構所產(chǎn)生 的位移）。,特解可寫為：,通解可寫為：,設t=0時的初始位移和初始速度均為零，則：,過渡階段：振動開始兩種振動同時存在的階段； 平穩(wěn)階段：后來只按荷載頻率振動的階段。（由于阻尼的存在）,按自振頻率振動,按荷載頻率振動,平穩(wěn)階段：,最大

7、動位移（振幅）為：,動力系數(shù)為：,重要的特性： 當/0時,1，荷載變化得很慢，可當作靜荷載處理。 當01，并且隨/的增大而增大。 當/ 1時,。即當荷載頻率接近于自振頻率時，振幅會無限增大。稱為“共振”。通常把0.75 / 1.25稱為共振區(qū)。,當/ 1時,的絕對值隨/ 的增大而減小。當很大時，荷載變化很快，結構來不及反應。,當動荷載作用在單自由度體系的質點上時，由于體系上各 截面的內力、位移都與質點處的位移成正比，故各截面的最大動內力和最大動位移可采用統(tǒng)一的動力系數(shù)，只需將干擾力幅值乘以動力系數(shù)按靜力方法來計算即可。,例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,

8、P=20kN,=80s-1 求梁中點的位移幅值及最大動力彎矩。,解：1)求,2)求,3)求ymax， Mmax,例、一簡支梁（I28b），慣性矩I=7480cm4，截面系數(shù)W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中點有電動機重量Q=35kN，轉速n=500r/min。由于具有偏心，轉動時產(chǎn)生離心力P=10kN，P的豎向分量為Psint。忽略梁的質量，試求強迫振動的動力系數(shù)和最大撓度和最大正應力。（梁長l=4m） 解：1）求自振頻率和荷載頻率,2）求動力系數(shù),175.6MPa,必須特別注意，這種處理方法只適用于單自由度體系在質 點上受干擾力作用的情況。對于干擾力不作用于質點的單自由

9、 度體系，以及多自由度體系，均不能采用這一方法。,I22b,3570cm4,3570,39.7,39.7,1.35,對于本例，采用較小的截面的梁既可避免共振，又能獲得較好的經(jīng)濟效益。,325,149.2,設體系在t=0時靜止，然后有瞬時沖量S作用。,二、一般荷載,一般荷載作用下的動力反應可利用瞬時沖量的 動力反應來推導,1、瞬時沖量的動力反應,瞬時沖量S引起的振動可視為由初始條件引起的自由振動。 由動量定理：,2、任意荷載P(t)的動力反應,時刻的微分沖量對t瞬時(t )引起的動力反應:,初始靜止狀態(tài)的單自由度體系在任意荷載作用下的位移公式:,(Duhamel 積分)（15.29）,初始位移y

10、0和初始速度v0不為零在任意荷載作用下的位移公式:,3、幾種典型荷載的動力反應,1）突加荷載,yst=P0=P0 /m2,質點圍繞靜力平衡位置作簡諧振動,2）短時荷載,階段(0tu)：與突加荷載相同。,階段(tu)：無荷載，體系以t=u時刻的位移,和速度,為初始條件作自由振動。,或者直接由Duhamel積分作,另解：短時荷載可認為由兩個突加荷載疊加而成。,當0t u,當t u,最大動反應,1）當 u T/2 最大動位移發(fā)生在階段,2）當u T/2 最大動位移發(fā)生在階段, =2,動力系數(shù)反應譜 (與T和u之間的關系曲線),3）線性漸增荷載,這種荷載引起的動力反應同樣可由Duhamel積分來求解:

11、,對于這種線性漸增荷載,其動力反應與升載時間的長短有很大關系。其動力系數(shù)的反應譜如下：,動力系數(shù)反應譜,動力系數(shù)介于1與2之間。 如果升載很短，tr4T,則接近于1,即相當于靜荷載情況。 常取外包虛線作為設計的依據(jù)。,三、有阻尼的強迫振動,單獨由v0引起的自由振動：,瞬時沖量ds=Pdt=mv0所引起的振動，可視為以v0=Pdt/m，y0=0為初始條件的自由振動：,將荷載P(t)的加載過程 看作一系列瞬時沖量：,總反應,例、圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質量均集中在橫梁處共計為m,，加一水平力P=9.8kN，測得側移A0=0.5cm， 然后突然卸載使結構發(fā)生水平自由振動。在測得周

12、期T=1.5s 及一 個周期后的側移A1=0.4cm。求結構的阻尼比和阻尼系數(shù)c。,解：,（1）突加荷載P0,低阻尼y- t曲線,無阻尼y- t曲線,靜力平衡位置,具有阻尼的體系在 突加荷載作用下， 最初所引起的最大 位移接近于靜位移 yst=P0/m2的兩倍， 然后逐漸衰減，最 后停留在靜力平衡 位置。,（2）簡諧荷載P(t)=Fsint,設特解為：y=Asin t +Bcos t代入（15-34）得：,+Asin t +Bcos t ,齊次解加特解得到通解：,自由振動，因阻尼作用， 逐漸衰減、消失。,純強迫振動，平穩(wěn)振動， 振幅和周期不隨時間而變化。,結論：在簡諧荷載作用下，無論是否計入阻

13、尼的作用，純 強迫振動部分總是穩(wěn)定的周期運動，稱為平穩(wěn)振動。,y=Asin t +Bcos t =yPsin(t ) (15-35a),振幅：yp， 最大靜力位移：yst=F/k=F/m2,動力系數(shù)與頻率比/和阻尼比有關,幾點注意： 隨增大曲線漸趨平緩， 特別是在/=1附近的 峰值下降的最為顯著。,當接近 時， 增加很快， 對的數(shù)值影響也很大。在0.75 / 1.25(共振區(qū))內，阻尼大大減小了受迫振動的位移，因此, 為了研究共振時的動力反映, 阻尼的影響是不容忽略。在共振區(qū)之外阻尼對的影響較小，可按無阻尼計算。,max并不發(fā)生在共振/=1時，而發(fā)生在，,由y=yPsin(t ) 可見，阻尼體系的位移比荷載P=Fsin t 滯后一個相位角 ，,但因很小，可近似地認為：,當時,0體系振動得很慢，F(xiàn)I、R較小，動荷主要由S平衡，S與y反向，y與P基本上同步；荷