分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(優(yōu)質(zhì)課)

1、,兩類,能,26種 10種,26+10=36種,或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？,請思考:,問題1：用一個大寫的英文字母,用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號,假如你從平川到蘭州，,請問你共有多少種不同的走法？,客車每天有3個班次，火車每天有2個班次，,可以坐直達客車或直達火車，,引例,平川,蘭州,分析：完成從平川到蘭州這件事有2類方案， 所以，從平川到蘭州共有3+ 2= 5種方法.,問題1:你能否發(fā)現(xiàn)這兩個問題有什么共同特征？,1、都是要完成一件事,2、用任何一類方法都能直接完成這件事,3、都是采用加法運算,完成一件事有兩類不同的方案，,分

2、類加法計數(shù)原理,在第1類方案中有m種不同的方法，,在第2類方案中有n種不同的方法，,那么完成這件事共有 n = m + n 種不同的方法。,例1.在填寫高考志愿表時,一名高中畢業(yè)生了解到a,b兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè),具體情況如下:,如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?,變式：在填寫高考志愿表時,一名高中畢業(yè)生了解到,a,b,c三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè),具體情況如下:,如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?,n=5+4+5=14(種),如果完成一件事情有3類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3

3、類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事情有 種不同的方法,n=m1+m2+m3,分類加法計數(shù)原理的推廣,完成一件事有 n 類不同的方案，,在第1類方案中有 m1 種不同的方法，,在第2類方案中有 m2 種不同的方法，,那么完成這件事共有 種不同的方法。, ,在第n類方案中有mn種不同的方法，,分析：完成給教室里的座位編號編號這件事 分兩 步完成：第1步：先確定一個英文字母 第2步，后確定一個阿拉伯數(shù)字,字母數(shù)字 得到的號碼,1 2 3 4 5 6 7 8 9,a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9,樹形圖,a,分析：完成給教室里的座位編號這件事需要 兩個步驟， 第1步，確定一

4、個英文字母，有6種不同方法； 第2步，確定一個阿拉伯數(shù)字，有9種不同方法； 所以，編號共有69=54種方法.,例2、設(shè)某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？,例3、長征的部分電話號碼是0943665,后面每個數(shù)字來自09這10個數(shù),問可以產(chǎn)生多少個不同的電話號碼?,變式: 若要求最后4個數(shù)字不重復(fù),則又有多少種不同的電話號碼?,0943665,分析:,分析:,分類加法計數(shù)原理：,完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法.那么完成這件事共有,n=mn,分步乘法計數(shù)原理：,種不同的方法.,分步乘法計數(shù)原理的

5、推廣,那么完成這件事共有 種不同的方法。,完成一件事需要n個步驟，,做第1步有m1 種不同的方法，,做第2步有m2種不同的方法，, ,做第n步有mn種不同的方法，,兩個計數(shù)原理,用來計算“完成一件事”的方法種數(shù),每類方案中的每一種方法都能_ 完成這件事,每步_才算完成這件事情 （每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）,類類相加,步步相乘,類類獨立,步步相依,獨立,依次完成,不重不漏,步驟完整,分類完成,分步完成,解：從書架上任取1本書，,例3 書架上的第1層放著4本不同的計算機書，第2層放著3本不同的文藝書，第3層放著2本不同的體育書。,第1類方法是從第1層取1本計算機書，有4種方法；,第2類

6、方法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；,第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種方法。,根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：n=4+3+2=9.,（1）從書架上任取1本書，有幾種不同的取法？,有三類方法：,（2）從書架上的第1、2、3層各取1本書，有幾種不同的取法？,例3 書架上的第1層放著4本不同的計算機書，第2層放著3本不同的文藝書，第3層放著2本不同的體育書。,（1）從書架上任取1本書，有幾種不同的取法？,解：從書架的第1，2，3層各取1本書，,第1步：從第1層取1本計算機書，有4種方法；,第2步：從第2層取1本文藝書，有3種方法；,第3步：從第3層取1本體育書，有2種方法。,根據(jù)

7、分步計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：n=432=24.,可以分成三個步驟完成：,解答計數(shù)問題的一般思維過程：,完成一件什么事,例4 要從甲、乙、丙、3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？,甲,乙,丙,解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：,第一步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；,第二步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法。,根據(jù)分步計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：n=32=6.,思考：還有其他解答本題的方法嗎？,例4 要從甲、乙、丙、3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同

8、的掛法？,甲,乙,丙,解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：,第一步，從3幅畫中選出2幅，有3種選法； （“甲、乙”，“甲、丙”，“乙、丙”）,第二步，將選出的2幅畫掛好，有2中掛法,根據(jù)分步計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：n=32=6.,變式 要從甲、乙、丙、丁、戊5幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？,解：從5幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：,第一步，從5幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有5種選法；,第二步，從剩下的4幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有4種選法。,根據(jù)分步計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：n=54=

9、20.,例5. 五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？,解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學(xué)生都有4種報名方法，5名學(xué)生都報了項目才能算完成這一事件故報名方法種數(shù)為44444= 種 .,（2）每個項目只有一個冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項獲軍，因此每個項目獲冠軍的可能性有5種故有n=5= 種 .,例6.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首個字符要求用字母ag或uz，后兩個要求用數(shù)字19，問最多可以給多少個程序命名？,分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第一步，選首字符；第二步，

10、先中間字符；第三步，選末位字符。,解：首字符共有7+613種不同的選法，,答：最多可以給1053個程序命名。,中間字符和末位字符各有9種不同的選法,根據(jù)分步計數(shù)原理，最多可以有13991053種不同的選法,例7.核糖核酸（rna）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分，一個rna分子 是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱 為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，總共有個不同的堿基，分別用a，c，g，u表 示，在一個rna分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位 置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)。假設(shè)有一類rna分子由100個堿基組 成，那么能有多少種不同的rna分子？,分析

11、:用100個位置表示由100個堿基組成的長鏈，每個位置都可以從a、c、g、u中任選一個來占據(jù)。,解：100個堿基組成的長鏈共有100個位置，在每個位置中，從a、c、g、u中任選一個來填入，每個位置有4種填充方法。根據(jù)分步計數(shù)原理，共有,種不同的rna分子.,例8.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的計數(shù)法，即二進制，為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由個二進制位構(gòu)成，問 （1）一個字節(jié)（8位）最多可以

12、表示多少個不同的字符？ （2）計算機漢字國標碼（gb碼）包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？,如00000000，10000000， 11111111.,例9.計算機編程人員在編寫好程序以后要對程序進行測試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)。一般的，一個程序模塊又許多子模塊組 成，它的一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計一個測試方式， 以減少測試次數(shù)嗎？,分析：整個模塊的任意一條路

13、徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到a點；第2步是從a點執(zhí)行到結(jié)束。而第步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第二步可由子模塊4或子模塊5來完成。因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理。,再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為：3*2=6。 如果每個子模塊都正常工作，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就正常。,這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?172+6=178（次）,2）在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊。這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常?？偣残枰臏y試次數(shù)為：,18+45+28+38+43=172。,例10.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有個不重復(fù)的英文字母和個不重復(fù)的阿拉伯數(shù)字，并且個字母必須合成一組出現(xiàn)，個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照?,如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路可以走，從丙地到丁地有2條路。從甲地到丁地共有多少種不同地走法？,課堂練習(xí),n1=23=