第一章-信號與系統

1、理解沖激信號的特性,第一章 信號與系統,認識本課程領域的一些名詞、術語,學習信號運算規(guī)律、熟悉表達式與波形的對應關系,了解本課程研究范圍、學習目標,初步了解本課程用到的主要方法和手段,學習的主要內容：,什么是信號？什么是系統？為什么把這兩個概念連在一起？,系統的概念,1.1 緒論,第一章 信號與系統,信號的概念,消息 (message):,信息 (information):,信號 (signal):,人們常常把來自外界的各種報道統稱為消息。,通常把消息中有意義的內容稱為信息。 本課程中對“信息”和“消息”兩詞不加嚴格區(qū)分。,信號是信息的載體，通過信號傳遞信息。,一、信號的概念,信號實例,信號我

2、們并不陌生。如 剛才鈴聲聲信號，表示該上課了； 十字路口的紅綠燈光信號，指揮交通； 電視機天線接受的電視信息電信號； 廣告牌上的文字、圖象信號等等。,信號的產生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統。,一般而言，系統(system)是指若干相互關聯的事物組合而成具有特定功能的整體。,如手機、電視機、通信網、計算機網等都可以看成系統。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號。,系統的基本作用是對信號進行傳輸和處理。,輸入信號,激勵,輸出信號,響應,二、系統的概念,？,信號處理,對信號進行某種加工或變換。,目的： 消除信號中的多余內容； 濾除混雜的噪聲和干擾； 將信號變

3、換成容易分析與識別的形式，便于估計和選擇它的特征參量。 信號處理的應用已遍及許多科學技術領域。,信號傳輸,通信的目的是為了實現消息的傳輸。,原始的光通信系統古代利用烽火傳送邊疆警報；,聲音信號的傳輸擊鼓鳴金。,利用電信號傳送消息。 1837年，莫爾斯(F.B.Morse)發(fā)明電報； 1876年，貝爾(A.G.Bell)發(fā)明電話。,利用電磁波傳送無線電信號。 1901年，馬可尼(G.Marconi)成功地實現了橫渡大西洋的無線電通信；全球定位系統GPS(Global Positioning System)；個人通信具有美好的發(fā)展前景。,通信系統,為傳送消息而裝設的全套技術設備,信號的描述,1.2

4、 信號的描述和分類,幾種典型確定性信號,信號的分類,一、信號的描述,信號：是信息的一種物理體現，它一般是隨時間位,信號：按物理屬性分：電信號和非電信號，它們可,電信號的基本形式：隨時間變化的電壓或電流。,描述信號的常用方法：,本課程討論電信號-簡稱“信號”。,（2）信號的圖形表示-波形,（1）表示為時間的函數,“信號”與“函數”兩詞常相互通用。,置變化的物理量。,以相互轉換。,二、信號的分類,按實際用途劃分： 電視信號、雷達信號、控制信號、通信信號,信號的分類方法很多，可以從不同的角度對信號進行分類。,按所具有的時間特性劃分： 確定信號和隨機信號； 連續(xù)信號和離散信號； 周期信號和非周其信號；

5、 能量信號和功率信號； 一維信號和多維信號； 因果信號與反因果信號； 實信號與復信號； 左邊信號與右邊信號。,1. 確定信號和隨機信號,可用確定的時間函數表示的信號：f(t),隨機信號：,確定性信號：,偽隨機信號：,貌似隨機而遵循嚴格規(guī)律產生的信號：,電子系統中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號。,但實際傳輸的信號是不確定的，常受,到各種干擾及噪聲的影響。,取值具有不確定性的信號：,偽隨機碼。,2. 連續(xù)信號和離散信號,連續(xù)時間信號：在一定的連續(xù)的時間范圍內，對于,值域連續(xù),值域不連續(xù),任意的時間值，都有對應的函數值,“連續(xù)”指函數的定義域時間連續(xù)，但可含間斷點,簡稱連續(xù)信號。,，至于值域可連續(xù)也可不

6、連續(xù)。,離散時間信號：,僅在一些離散的瞬間才有定義的信號，簡稱離散信號。,定義域時間是離散的,離散點間隔,離散時刻tk(k = 0,1,2,)有定義,Tk= tk+1-tk可以相等也可不等；,其余時間無定義。,通常取等間隔T，表示為f(kT)，簡寫為f(k)；,等間隔的離散信號稱為序列，其中k稱為序號。,上述離散信號可簡畫為：,用表達式可寫為：,或寫為：,對應某序號k的序列值稱為第k個樣點的“樣值”。,模擬信號、抽樣信號、數字信號,數字信號：,模擬信號：,抽樣信號：,量化,抽樣,連續(xù)信號,幅值,時間,均連續(xù),時間,幅值,離散,連續(xù),時間,幅值,均離散,離散信號,模擬信號,數字信號,3. 周期信

7、號和非周期信號,定義在(-，)區(qū)間，每隔一定時間T (或整數N），按相同規(guī)律重復變化的信號。,連續(xù)周期信號f(t)滿足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,離散周期信號f(k)滿足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,滿足上述關系的最小T(或整數N)稱為該信號的周期。,不具有周期性的信號稱為非周期信號。,連續(xù)周期信號舉例,例 判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint,分析,兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數

8、，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數。,解答,解答,（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s 由于T1/T2= 3/2為有理數，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數2。,（2） cos2t 和sint的周期分別為T1= s， T2= 2 s，由于T1/T2為無理數，故f2(t)為非周期信號。,離散周期信號舉例1,例 判斷正弦序列f(k) = sin(k)是否為周期信號，若是，

9、確定其周期。,解 f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0,1,2,式中稱為數字角頻率，單位：rad。由上式可見： 僅當2/ 為整數時，正弦序列才具有周期N = 2/ 。 當2/ 為有理數時，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N= M(2/ )，M取使N為整數的最小整數。 當2/ 為無理數時，正弦序列為非周期序列。,離散周期信號舉例2,例 判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。 （1）f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k) （2）f2(k) = sin(2k),解 （1）sin(3k/4) 和cos(0.5k)的數字角頻率分別為 1

10、= 3/4 rad， 2 = 0.5 rad 由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4為有理數，故它們的周期分別為N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數8。 （2）sin(2k) 的數字角頻率為 1 = 2 rad；由于2/ 1 = 為無理數，故f2(k) = sin(2k)為非周期序列 。,舉例,由上面幾例可看出： 連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是周期序列。 兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。,例1,例2,例3,連續(xù)周期信號示例,離散周期信號示例1,離散周期信號示例2,4能量信號與功率信號,

11、將信號f (t)施加于1電阻上，它所消耗的瞬時功率為| f (t) |2，在區(qū)間( , )的能量和平均功率定義為,（1）信號的能量E,（2）信號的功率P,若信號f (t)的能量有界，即 E ,則稱其為能量有限信號，簡稱能量信號。此時 P = 0,若信號f (t)的功率有界，即 P ,則稱其為功率有限信號，簡稱功率信號。此時 E = ,離散信號的功率和能量,離散信號，也有能量信號、功率信號之分。,若滿足 的離散信號，稱為能量信號。,若滿足 的離散信號，稱為功率信號。,一般規(guī)律 , 一般周期信號為功率信號。, 時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的非周期信號)為能量信號。, 還有一些非周期信號，也是非

12、能量信號。,如：(t)是功率信號；,t(t)、 e t為非功率非能量信號;,(t)是無定義的非功率非能量信號。,5一維信號和多維信號,一維信號： 多維信號：,還有其他分類，如：,只由一個自變量描述的信號，如語音信號。,由多個自變量描述的信號，如圖像信號。,實信號與復信號,左邊信號與右邊信號,因果信號和反因果信號,三幾種典型確定性信號,本課程討論確定性信號,先連續(xù)，后離散；先周期，后非周期。,指數信號,重要特性：其對時間的微分和積分仍然是指數形式。,單邊指數信號-衰減,通常把 稱為指數信號的時間常數，記作 ,代表信號衰減速度，具有時間的量綱。,l 指數衰減,l 直流(常數),l 指數增長,K,正

13、弦信號,振幅：K 周期： 頻率：f 角頻率： 初相：,衰減正弦信號：,復指數信號,討論,不能產生 用來描述各種信號 信號分析及運算簡化,ejt=cos(t)+jsin(t),抽樣信號(Sampling Signal),兩信號的相加和相乘 信號的時間變化 平移 反轉 尺度變換 信號的微分和積分,1.3 信號的基本運算,一、信號的加法和乘法,同一瞬時兩信號對應值相加（相乘）。,離散序列相加、乘,二、信號的時間變換,1.信號的反轉； 2.信號的平移； 3.信號的展縮（尺度變換）；. 4.混合運算舉例。,1. 信號反轉,將 f (t) f ( t) ， f (k) f ( k) 稱為對信號f (),t

14、-t,沒有實現此功能的實際器件，數字信號處理中可,的反轉或反折。,從圖形上看是將f ()以縱坐標為軸反轉180o。如,以實現此概念，例如堆棧中的“后進先出”。,2.信號的平移,將 f (t) f (t t0) ， f (k) f (k k0)稱為對信號f ()的,雷達接收到的目標回波信號就是平移信號。,平移或移位。若t0 (或k0) 0，則將f ()右移；否則左移。,如：,3.信號的展縮(尺度變換）,將 f (t) f (a t) ， 稱為對信號f (t)的尺度變換。,離散信號：由于 f (a k) 僅在為a k 為整數時才有意義， 進行尺度,如：,若a 1 ，則波形沿橫坐標壓縮；若0 a 1

15、 ，則擴展 。,變換時可能會使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。,4. 混合運算舉例,例1,例3,平移與反轉相結合,平移、反轉、尺度變換相結合，正逆運算。,例2,平移與尺度變換相結合,注意：,對正向運算，先平移，后反轉和展縮不易出錯；,意一切變換都是相對t而言；,對逆運算，反之。,混合運算時，三種運算的次序可任意。但一定要注,平移與反轉相結合舉例,例 已知f (t)如圖所示，畫出 f (2 t)。,解答,法一：先平移f (t) f (t +2),再反轉 f (t +2) f ( t +2),法二：先反轉 f (t) f ( t),再右移 f ( t) f ( t +2),左移,右移,=

16、 f (t 2),平移與展縮相結合舉例,例 已知f (t)如圖所示，畫出 f (3t + 5),解答,時移,尺度 變換,尺度 變換,時移,平移、展縮、反折相結合舉例,例 已知f (t)如圖所示，畫出 f (- 2t - 4)。,解答,也可以先壓縮、再平移、最后反轉。,三微分和積分,沖激信號,階躍函數； 沖擊函數； 階躍序列和單位樣值序列。,1.4 階躍函數和沖激函數,函數本身有不連續(xù)點(跳變點)或其導數與積,分有不連續(xù)點的一類函數統稱為奇異信號或奇異,函數。,一、單位階躍函數,電路如圖：,持續(xù)下去。,1. 定義,在t=0時刻，電路接入電源，,波形圖如上圖：,注意：在t=0處，發(fā)生跳變,未定義或

17、1/2。,單位階躍函數,1,且無限,2. 延遲單位階躍信號,3. 階躍函數的性質,（1）可以方便地表示某些信號,f(t) = (t) -(t-T),（2）用階躍函數表示信號的作用區(qū)間,（3）積分,二單位沖激函數,單位沖激函數是個奇異函數，它是對強度極大，,矩形脈沖演變?yōu)闆_擊函數； 狄拉克（Dirac)定義定義； 沖擊函數與階躍函數關系； 沖擊函數的性質。,作用時間極短一種物理量的理想化模型。,1.矩形脈沖演變?yōu)闆_擊函數(t),含義：,寬為 ,高為/1 ,面積為1,變化：,面積1不變，脈沖寬度,脈沖幅度,t,單位沖擊函數,函數，在t=0點有一“沖激”，,在t=0點以外各處，函數值為零。,0,/1

18、,注意：如果矩形面積=E，,E,沖激強度為E,矩形脈沖 如右圖：,2. 狄拉克(Dirac)定義,函數值只在t = 0時不為零；,積分面積為1；,t =0 時， ，為無界函數。,3. (t)與(t)的關系,引入沖激函數之后，間斷點的導數也存在,f(t) = 2(t +1)-2(t -1),f(t) = 2(t +1)-2(t -1),三 沖激函數的性質,取樣性 沖擊偶 尺度變換 復合函數形式的沖擊函數,1. 取樣性(篩選性), 對于平移情況：, 如果f(t)在t = 0處連續(xù)，且處處有界，則有,取樣性證明,分t = 0和t 0 兩種情況討論,1. 當t 0 時，,(t)= 0，,f(t)(t)

19、= 0，,積分結果為0,2. 當t = 0 時，,(t) 0，,f(t)(t)= f(0)(t) ，,取樣性質舉例,0,(t),2.沖激偶 規(guī)則函數求極限定義,t,t,沖激偶的性質, f(t)(t) = f(0)(t) f (0) (t),證明, f(t)(t) = f(t)(t) + f (t) (t),f(t)(t) = f(t)(t) f (t) (t),= f(0)(t) f (0) (t),證明,沖激偶的性質,(n)(t)的定義：,(t)的平移：,不能按常規(guī)函數對待,t,+、-面積抵消,3. 對(t)的尺度變換,證明,推論:,(1),(2t) = 0.5 (t),當a = 1時,(

20、t) = (t) 為偶函數， ( t) = (t)為奇函數,舉例,(2),沖激信號尺度變換的證明,從 定義看：,p(t)面積為1， 強度為1,p(at)面積為 ， 強度為,沖激信號尺度變換舉例,例1,例2,舉例,已知f(t)，畫出g(t) = f (t)和 g(2t),4. 復合函數形式的沖激函數,實際中有時會遇到形如f(t)的沖激函數，其中f(t)是普通函數。并且f(t) = 0有n個互不相等的實根 ti ( i=1，2，n),(t2 4)=1 (t+2)+(t 2),f(t)圖示說明 例f(t)= t2 4,一般地，,這表明，f(t)是位于各ti處，強度為 的n個沖激函數構成的沖激函數序列

21、。,注意：如果f(t)=0有重根，f(t)無意義。,( t 2 4) =1 (t+2)+(t 2),沖激函數的性質總結,（1）取樣性,（2）奇偶性,（3）比例性,（4）微積分性質,（5）沖激偶,四. 序列(k)和(k),這兩個序列是普通序列-非奇異函數,1. 單位(樣值)序列(k),取樣性質：,f(k)(k) = f(0)(k),f(k)(k k0) = f(k0)(k k0),例,定義,1,-1,-2,2,0,1,2. 單位階躍序列(k) 定義,(k)與(k)的關系,(k) = (k) (k 1),或,(k) = (k)+ (k 1)+,定義,系統的分類 系統的數學模型 系統的框圖描述,1.

22、5 系統的描述,一、系統的分類,1.廣義定義：是一個由若干個有相互關聯的單元組合,而成的具有特定功能的整體。,如：通信系統、控制系統、計算機系統，但要注意,其概念很寬泛，不僅僅限于電路、通信等方面,課程：電路、網絡、系統通用,2.系統的分類：,可以從多種角度來觀察、分析研究系統的特征，提出對系統進行分類的方法。,系統的分類,連續(xù)系統與離散系統 動態(tài)系統與即時系統 但輸入單輸出與多輸入多輸出系統 線性系統與非線性系統 時不變與時變系統 因果系統與非因果系統 穩(wěn)定系統與不穩(wěn)定系統,常用分類方法：,系統的分類,連續(xù)(時間)系統：系統的激勵和響應均為連續(xù)信號；,離散(時間)系統：系統的激勵和響應均為離

23、散信號；,混合系統：連續(xù)系統與離散系統的組合；,是連續(xù)信號，一個為離散信號。,如A/D，D/A變換器，系統的激勵和響應一個是,.連續(xù)系統與離散系統,系統的分類,若系統在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵,有關，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為動態(tài),系統或記憶系統。,如：含有記憶元件(電容、電感等)的電路是動態(tài)系統,否則稱：即時系統或無記憶系統（電阻串并聯）。,.動態(tài)系統與即時系統,課程：動態(tài)系統,二、系統的數學模型,連續(xù)系統解析描述：微分方程 離散系統解析描述：差分方程,1. 連續(xù)系統的解析描述,圖示RLC電路，以uS(t)作激勵，以uC(t)作為響應，由KVL和VAR列方程，并整理得,二階常

24、系數線性微分方程,抽去具有的物理含義，微分方程寫成,這個方程也可以描述下面的一個二階機械減振系統,機械減振系統,其中，k為彈簧常數，M為物體質量，C為減振液體的阻尼系數，x為物體偏離其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。其運動方程為,能用相同方程描述的系統稱為：,物理系統不同： 數學模型相同,2. 離散系統的解析描述,例：某人每月初在銀行存入一定數量的款，月息為元/月，求第k個月初存折上的款數。 設第k個月初的款數為y(k),這個月初的存款為f(k),上個月初的款數為y(k-1)，利息為y(k-1),則 y(k)= y(k-1)+y(k-1)+f(k) 即： y(k)-(1+)y(k-1) =

25、 f(k) 若設開始存款月為k=0，則有y(0)= f(0)。 上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項與輸入序列項構成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數，稱為差分方程的階數。上述為一階差分方程。,由n階差分方程描述的系統稱為n階系統。,三系統的框圖描述,連續(xù)系統的基本單元 離散系統的基本單元 系統模擬,系統的模型（微分方程、差分方程）：,微分,差分,運算,包含,表示,單元符號并連接成系統,加法,乘法,1. 連續(xù)系統的基本單元,延時 器,加 法 器,積 分 器,數 乘 器,乘 法 器,注意：沒有微分器？,實際：用積分單元代替,2. 離散

26、系統的基本單元,加法器,遲延單元,數乘器,3. 系統模擬,實際系統方程模擬框圖 實驗室實現（模擬系統）指導實際系統設計,例1,例2,例3,例4,方程框圖用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論。,由微分方程畫框圖例1,例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。,解：將方程寫為 y”(t) = f(t) ay(t) by(t),由微分方程畫框圖例2,例2 請畫出如下微分方程所代表的系統的系統框圖。,解：,解法二,解2：該方程含f(t)的導數，可引入輔助函數畫出框圖。 設輔助函數x(t)滿足 x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推導出 y(t) =

27、 x(t) + x(t)，它滿足原方程。,例3由框圖寫微分方程,例3：已知框圖，寫出系統的微分方程。,設輔助變量x(t)如圖,x(t),x(t),x”(t),x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t),y(t) = 4x(t)+ 3x(t),根據前面，逆過程，得,y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t),例4由框圖寫差分方程,例4：已知框圖，寫出系統的差分方程。,解：設輔助變量x(k)如圖,x(k),x(k-1),x(k-2),即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(

28、k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2),x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2),系統的特性 系統的分析方法,1.6 系統的特性與分析方法,一、系統的特性,連續(xù)系統與離散系統 動態(tài)系統與即時系統 但輸入單輸出與多輸入多輸出系統 線性系統與非線性系統 時不變與時變系統 因果系統與非因果系統 穩(wěn)定系統與不穩(wěn)定系統,常用分類方法：,系統的特性,線性性質 時不變性 因果性 穩(wěn)定性,1. 線性,y(t):系統的響應、f(t):系統的激勵, 線性性質：齊次性和可加性,可加性：,齊次性

29、：,f() y(),y() = T f () f () y(),a f() a y(),f1() y1(),f2() y2(),f1() +f2() y1()+y2(),af1() +bf2() ay1()+by2(),綜合，線性性質：,線性系統的條件, 動態(tài)系統響應不僅與激勵 f () 有關，而且與,可分解性,零狀態(tài)線性,y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0,零輸入線性, 動態(tài)系統是線性系統，要滿足下面3個條件：,系統的初始狀態(tài)x(0)有關, 初始狀態(tài)也稱“內部激勵”。,線性系統的條件,可分解性： y () = yzi(

30、)+ yzs(),零狀態(tài)線性： Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0,y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0,零輸入線性： T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0),舉例1,舉例2,線性系統（連續(xù)、離散）,線性微分（差分）方程,判斷線性系統舉例,例1：判斷下列系統是否為線性系統？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)

31、| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t),解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1 顯然， y (t) yzs(t) yzi(t) 不滿足可分解性，故為非線性 （2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 滿足可分解性； 由于 Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t) 不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統。 （3） yzi(t) = x2(0)，T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不滿足零輸入線性。故為

32、非線性系統。,例2：判斷下列系統是否為線性系統？,解：,y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 滿足可分解性；,Ta f1(t)+ b f2(t) , 0,= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，滿足零狀態(tài)線性；,T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 滿足零輸入線性；,所以，該系統為線性系統。,2. 時不變性,時不變系統：系統參數不隨時間變化,線性系統,時不變,常系數微分方程,時變,變系數微分方程,線性時不變系統：,yzs() = T

33、f () , 0,yzs( t-td) = T f (t-td) , 0,yzs(k-kd) = T f (k-kd) , 0,時不變性,f(t - td) yzs(t - td),f(t ) yzs(t ),舉例,判斷時不變系統舉例,例：判斷下列系統是否為時不變系統？ （1） yzs(k) = f (k) f (k 1) （2） yzs (t) = t f (t) （3） y zs(t) = f ( t),解 (1) 令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而 yzs (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 顯然 T0，f(k kd) = yzs (k kd) 故該系統是時不變的。 (2) 令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而 yzs (t td)= (t td) f (t td) 顯然T0，f(t td) yzs (t td) 故該系統為時變系統,(3) yzs(t) = f ( t) 令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而 yzs (t td) = f ( t td) 顯然 T0，