高考數(shù)學一輪復習第二十二章選修4系列22.1矩陣與變換課件.ppt

1、第二十二章選修4系列 22.1矩陣與變換,高考數(shù)學,1.矩陣的概念 在數(shù)學中,我們把形如,這樣的矩形數(shù)字(或字母)陣列稱 為矩陣(matrix). 記法:矩陣通常用大寫的黑體拉丁字母來表示,比如A,B,C,或(aij)(其中i,j分別為元素aij所在的行和列). 矩陣相等:設有兩個矩陣A,B,如果它們適合如下條件: (1)A與B的行數(shù)與列數(shù)分別相等;,知識清單,(2)A與B對應位置的元素也分別相等. 則稱A與B相等并記為A=B. 說明:如果A=(aij)mn中行數(shù)與列數(shù)相等,即m=n,比如,則稱A為m階方 矩陣或m階方陣.方陣在矩陣理論中占有重要的地位. 2.矩陣乘法定義 一般地,我們規(guī)定行矩

2、陣a11,a12與列矩陣的乘法規(guī)則為a11,a12 =a11b11+a12b21,二階矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則為= .,說明:矩陣乘法MN的幾何意義為對向量連續(xù)實施的兩次幾何變換(先TN后TM)的復合變換. 一般地,對于平面上的任意一個向量P=,若按照對應法則T,總能對應 唯一的一個向量P= ,則稱T為一個變換(transformation),簡記為: T:(x,y)(x,y)或T:. 3.幾種常見的平面變換 恒等變換:對平面上任何一點(向量)或圖形施以矩陣對應的變換,都 把自己變成自己.因此,我們把這種特殊的矩陣稱為恒等變換矩陣或單位矩陣,所實施的對應變換稱作恒等變換.,伸壓變換:像,(m,n

3、0,|m|,|n|1),這種將平面圖形作沿y軸 方向伸長或壓縮,或作沿x軸方向伸長或壓縮的變換矩陣,通常稱作沿y軸或x軸的垂直伸壓變換矩陣,對應的變換稱為垂直伸壓變換,簡稱伸壓變換. 反射變換:像,這樣將一個平面圖形F變?yōu)殛P于定直 線或定點對稱的平面圖形的變換矩陣,稱為反射變換矩陣,相應的變換稱為反射變換.,對應于軸反射,對應于中心反射. 旋轉變換:矩陣通常叫做旋轉變換矩陣,對應的變換稱作旋 轉變換,其中的角叫做旋轉角.,投影變換:像,這類將平面內(nèi)圖形投影到某條直線(或某個點) 上的變換矩陣,我們稱之為投影變換矩陣,相應的變換稱作投影變換. 切變變換:矩陣把平面上的點P(x,y)沿x軸方向平移

4、|ky|個單位;當 ky0時,沿x軸正方向移動;當ky0時,沿x軸負方向移動;當ky=0時,原地不動.上述這種變換通常叫做切變變換,對應的矩陣叫做切變變換矩陣. 4.矩陣的逆矩陣 有的變換能夠“找到回家的路”,稱為原變換的逆變換,逆變換也對應著一個矩陣.但并不是所有的二階矩陣A,都存在二階矩陣B,使得AB=BA=E. 定義:若二階方陣A、B滿足AB=BA=E(E為二階單位矩陣),則稱A是可,逆的.B為A的逆矩陣,記為A-1,B=A-1. 說明:(1)若B為A的逆矩陣,則A同時也為B的逆矩陣,即A=B-1,所以(A-1)-1=A; (2)若二階矩陣A存在逆矩陣,則逆矩陣唯一. 5.二元一次方程組

5、與二階行列式 關于x,y的二元一次方程組 (1)方程組的解的分母是系數(shù)矩陣的主對角線上的數(shù)的乘積減去 副對角線上的數(shù)的乘積. (2)二階行列式的定義:我們把稱為二階行列式,它的運算結果是一,個數(shù)值或多項式,記為: det A=ad-bc. 則方程組的解的分母就是,再將記為D,記為Dx,記 為Dy,所以方程組的解為 6.二階矩陣的特征值和特征向量 (1)特征值與特征向量的概念 設A是一個二階矩陣,如果對于實數(shù),存在一個非零向量,使得A=,那么稱為A的一個特征值,而稱為A的屬于特征值的一個特征向量.,(2)特征向量的幾何意義 特征向量的方向經(jīng)過變換矩陣A的作用后,保持在同一條直線上,這時特征向量或

6、者方向不變(0),或者方向相反(0),特別地,當=0時,特征向量就被變成了0. (3)特征多項式 設是二階矩陣A=的一個特征值,它的一個特征向量為=,則A =,即滿足二元一次方程組 故(*) 由特征向量的定義知0,因此x,y不全為0,若要上述二元一次方程組有,不全為0的解,則必須有D=0,即=0. 定義:設A=是一個二階矩陣,R,我們把多項式 f()=2-(a+d)+ad-bc稱為A的特征多項式. (4)求矩陣的特征值與特征向量 如果是二階矩陣A的特征值,則一定是二階矩陣A的特征多項式的一個根,它滿足f()=0.此時,將代入二元一次方程組(*),就可以得到一組非零解,于是,非零向量即為A的屬于

7、的一個特征向量.,求解逆矩陣 求逆矩陣常用的三種方法: (1)待定系數(shù)法:設A是一個二階可逆矩陣,則AA-1=A-1A=E(E為單位 矩陣). (2)公式法:=ad-bc,記為det A,有A-1=(當且僅當det A=ad -bc0時可用). (3)從幾何變換的角度求解二階矩陣的逆矩陣.,方法技巧,例1(2017江蘇南通中學期中)設矩陣A=的逆矩陣為A-1,矩陣B滿 足AB=,求A-1,B.,解析因為A=,所以|A|=-7+6=-1. 由逆矩陣公式得,A-1=. 因為AB=,所以B=A-1AB=.,矩陣變換的應用 利用矩陣求曲線方程或圖形中相關點的坐標,再利用曲線或圖形的性質(zhì)求解相關問題. 例2(2017江蘇蘇北四市摸底考試)求橢圓