高二數(shù)學(xué) 棱柱同步教案 新人教A版

1、 高 二 數(shù) 學(xué)（第23周）【教學(xué)內(nèi)容】 棱柱【教學(xué)目標(biāo)】1、 理解棱柱的概念，能分清斜、直、正棱柱。2、 掌握棱柱的性質(zhì)，能根據(jù)所給條件確認(rèn)直、正棱柱。3、 能利用添畏助線、面，分析線面半徑計(jì)算出長(zhǎng)度、角度。4、 理解平行六面體的概念，能理清長(zhǎng)方體、直平行六面體、正四棱柱、正方體的關(guān)系。5、 掌握關(guān)于長(zhǎng)方體的對(duì)角線性質(zhì)，能用其計(jì)算長(zhǎng)度、角度?！局R(shí)講解】1、 棱柱的概念棱柱是由滿足下列三個(gè)條件的面圍成的幾何體：有兩個(gè)面互相平行其余各面都是四邊形每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行那兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面稱為棱柱的側(cè)面；兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱

2、柱的頂點(diǎn)；不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做棱柱的對(duì)角線，兩個(gè)底面的距離叫做棱柱的高。要注意幾何體的對(duì)角線與幾何體某個(gè)面的對(duì)角線是兩個(gè)不同的概念，如三棱欄沒(méi)有對(duì)角線，但卻有六條面對(duì)角線。2、 棱柱的分類棱柱的分類法有兩種，一種是根據(jù)底面邊數(shù)分為：三棱柱、四棱柱、五棱柱等；另一種是按側(cè)棱與底面是否垂直分為：直棱柱、斜棱柱，直棱柱又可按底面是不是正多邊形分為：正棱柱、其他直棱柱，這種分類如下表： 正棱柱 直棱柱 棱柱 其他棱柱 斜棱柱注意在正棱柱，首先必須是直棱柱，而不能僅由底面是否是正多邊形來(lái)判定。3、 棱柱的性質(zhì)棱柱的性質(zhì)是從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第一章有關(guān)定理推導(dǎo)出來(lái)的。它們是研究棱柱的直觀圖

3、、側(cè)面展開圖的畫法以及面積和體積計(jì)算的基礎(chǔ)。三個(gè)性質(zhì)課本中均未推導(dǎo)，但同學(xué)們必須掌握其推導(dǎo)方法，性質(zhì)1的推導(dǎo)，要用到面面平行的性質(zhì)定理；性質(zhì)2的推導(dǎo)要用到性質(zhì)1、等角定理和全等多邊形定義；性質(zhì)3的推導(dǎo)用到兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理和棱柱的定義。 4、長(zhǎng)方體是一種特殊的四棱柱，它和四棱柱、平行六面體、正四棱柱、正方體的關(guān)系如下： 底面是平行四邊形 側(cè)棱垂直于底面 四棱柱 平行六面體 直平行六面體 底面是矩形 底面是正方形 側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等 長(zhǎng)方體 正四棱柱 正方形 四棱柱 平行六面體 直平行六面體 長(zhǎng)方體（底面是四邊形） （底面是平行四邊形） （底面是平行四邊形，側(cè) （底面是矩形，側(cè)棱與底 棱與底

4、面垂直） 面垂直） 正四棱柱 正方體 （底面是正方形，側(cè)棱與 （底面是正方體，側(cè)棱與底 底面垂直） 面垂直，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等）長(zhǎng)方體的一個(gè)重要性質(zhì)是：對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和。 5、棱柱直觀圖的畫法空間形體直觀圖的畫法跟平面圖形的畫法雖有相同之處，但多了一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，要注意其規(guī)則：“平行于z軸的線段的平行性質(zhì)和長(zhǎng)度均不變?！敝崩庵闹庇^圖可分四步：（1）畫軸；（2）畫底面；（3）畫側(cè)棱；（4）成圖。6、直棱柱的側(cè)面積（1）側(cè)面積公式 S直棱柱側(cè)=ch（2）用側(cè)面展開圖來(lái)求側(cè)面積是一種常用的方法，今后的學(xué)習(xí)中還會(huì)涉及。注意斜棱柱的側(cè)面展開圖不是一個(gè)平行四邊形

5、。（3）課本P56/例1中，若沿直截面將該棱柱截成兩個(gè)幾何體，再上下對(duì)調(diào)位置，使面ABCE與面ABCE重合，就形成了一個(gè)新的直棱柱，該直棱柱與原來(lái)的棱柱側(cè)面積相等，而該直棱柱的底面周長(zhǎng)為直截面周長(zhǎng)c1，高為原棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)1，從面S側(cè)=c11，故例1也可用“割補(bǔ)”的思想來(lái)求解。若將該斜棱柱側(cè)面展開，在展開圖中，直截面多邊形的各邊在同一條直線上，這條直線與側(cè)棱垂直，故可用側(cè)面展開圖來(lái)得到本題的結(jié)論。例1、設(shè)有三個(gè)命題甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體乙：底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體丙：直四棱柱是直平行六面體以上三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A、0 B、1 C、2 D、3分析：甲命題是真命

6、題，因?yàn)樗褪瞧叫辛骟w的定義；乙命題不是真命題，因?yàn)槠叫辛骟w的側(cè)棱不一定垂直底面；丙命題也不是真命題，因?yàn)樗睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅危凰詰?yīng)選B。評(píng)述：對(duì)概念，不僅僅是能背誦它，而且應(yīng)掌握諸概念間的各種關(guān)系，如同一關(guān)系，從屬關(guān)系等，只有認(rèn)清概念間的各種關(guān)系，才能加深理解概念和正確運(yùn)用要領(lǐng)進(jìn)行推理、計(jì)算。例2、長(zhǎng)方體的高等于h，底面積等于Q，垂直于底面的對(duì)角面的面積等于M，此長(zhǎng)方體的側(cè)面積等于（A） （B） (C) (D) 解：設(shè)底面兩邊長(zhǎng)分別為x、y S側(cè) 故應(yīng)選C 評(píng)述：在掌握側(cè)面積計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，還應(yīng)注意解題的靈活性。 例3、求證： (1)平行六面體的各對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在這一

7、點(diǎn)互相平分 (2)對(duì)角線相等的平行六面體是長(zhǎng)方體。 (1)已知：平行六面體ABCDA1B1C1D1求證：AC1、BD1、CA1、DB1交于一點(diǎn)且互相平分證明：AA1 BB1，BB1 CC1，AA1 CC1， AA1C1C是平行四邊形 CA1與AC1相交且互相平分設(shè)交點(diǎn)為O，即CA1過(guò)AC1的中點(diǎn)O同理可證BD1與AC1，DB1與AC1也相交，且互相平分，交點(diǎn)也是OAC1、BD1、DB1、CA1交于一點(diǎn)且互相平分(2)已知：平行六面體ABCDA1B1C1D1，對(duì)角線AC1、B1D、C1A、D1B相等 求證：平行六面體ABCDA1B1C1D1是長(zhǎng)方體（圖見(jiàn)上題）分析：要證平行六面體AC1是長(zhǎng)方體需

8、證兩條：側(cè)棱與底面垂直底面是矩形證明：平行六面體AC1的對(duì)角面A1C1CA、B1D1DB都是平行四邊形，且它們的對(duì)角線A1C、B1D、C1A、D1B相等 對(duì)角面A1C1CA、B1D1DB都是矩形 由此可得CC1A1C1、BB1B1D1 又BB1CC1，BB1A1C1 BB1平面A1C1 平行六面體A1C是直平行六面體同理可證CB平面A1B，則BCAB 平面四邊形ABCD是矩形 直平行六面體A1C是長(zhǎng)方體例4、如圖A1B1C1ABC是直三棱柱，過(guò)點(diǎn)A1、B、C1的平面和平面ABC的交線記作l(1)判定直線A1C1和l的位置關(guān)系，并加以證明。 (2)若A1A=1，AB=4，BC=3，ABC=90，

9、求頂點(diǎn)A1到直線l的距離 解：(1)IA1C1證明如下：由棱柱定義平面A1B1C1平面ABC，平面A1B1C1與平面A1BC1交于A1C1，平面A1BC1與平面ABC交于直線l根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得1A1C1（2）過(guò)點(diǎn)A1作A1E1于E，則A1E即為點(diǎn)A1到1的距離，連結(jié)AE由直棱柱可知AA1平面ABC，直線AE是直線A1E在平面的ABC上的射影，1在平面的ABC上，AE1（三垂線定理的逆定理） 由棱柱定義知，A1C1AC，1A1C1 1AC由BDAC于D，則，且AE=BDAE=，在RtA1AE中，A1E=點(diǎn)A1到直線1的距離為。例5、如圖，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)（1

10、） 證明AB1平面DBC1（2） 設(shè)AB1BC，求以BC1為棱，DBC1為棱，DBC1與OBC1為面的二面角a的度數(shù)。（1） 證明：A1B1C1ABC是正三棱柱 四邊形B1BCC1是矩形， 連結(jié)B1C交BC1于E，則B1E=EC 連結(jié)DE 在AB1CK AC=DC DEAB1 又AB1平面DBC1 DE平面DBC1 AB1平面DBC1 （II）解：作DFBC于F，則DF平面B1BCC1，連結(jié)EF，同EF是ED在平面B1BCC1上的射影 AB1BC1 由（1）知AB1DE DEBC1 則BC1EF DEF是二面角的平面角，設(shè)AC=1，則DC= ABC是正三角形，在RtDCF中，DF=DCsinC

11、= CF=DCcosC=，取BC的中點(diǎn)G，EB=EC，EGBC 在RtBEF中，EF2=BFGF 又BF=BCFC=，GF= EF2=，EF= tgDEF= DEF=45 故二面角為45 例6、若一個(gè)斜棱柱底面是等腰ABC，它的三邊分別AB=AC=10m，BC=12cm，棱柱的頂點(diǎn)A1與A、B、C三點(diǎn)等距，且側(cè)棱AA1=13cm，求棱柱的面積。解：自B點(diǎn)引BDAA1垂足為D，連CD，AA1=A1B=A1C，又底面為等腰三角形，故頂點(diǎn)A1在底面ABC上的射影O在底邊BC的高AE上，由三垂線定理AA1BC，AA1BD，得AA1平面BDCAA1CD在A1AB中，引A1FAB于F在RtA1FA中，AA

12、1=13，AF=5，A1F=12得，則又在ABC中，AEBC，AB=10，BE=6，AE=8評(píng)述：求斜棱柱側(cè)面積的基本方法是求出各個(gè)側(cè)面的面積再相加，而全面積是側(cè)面積與兩底面積之和。【一周一練】 一、選擇題 1、設(shè)M=棱柱，N=斜棱柱，P=正棱柱，則下列關(guān)系不正確的是（ ） （A） （B） （C） （D） 2、下述棱柱中為長(zhǎng)方體的是（ ） （A）直平行六面體 （B）對(duì)角面是全等矩形的四棱柱 （C）側(cè)面部是矩形的直四棱柱 （D）底面是矩形的直棱柱 3、已知四個(gè)命題（ ） 一個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱 有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱 有相鄰兩個(gè)側(cè)面垂直于底面的棱柱是直棱柱 有一條側(cè)棱與底面兩邊垂直

13、的棱柱是直棱柱 （A）四個(gè)都是假命題 （B）只有是真命題 （C）只有是假命題 （D）只有是假命題 4、若長(zhǎng)方體的三個(gè)面的面積分別是，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)是（ ） （A） （B） （C）3 （D）不同于（A）（B）（C） 5、設(shè)正三棱柱ABCA1B1C1的每條棱長(zhǎng)都是a，則經(jīng)過(guò)ABC1的截面面積等于（ ） （A） （B） （C） （D） 6、斜棱柱直截面的周長(zhǎng)為3，高為，側(cè)棱與底面所成的角是600，則它的側(cè)面積等于（ ） A、6 B、3 C、3 D、4二、填空題 7、在三棱柱ABCABC中,側(cè)面AACC是垂直于底面的棱形，BCAC則 AB與AC成 _度角。 8、長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線和同一頂點(diǎn)上的三

14、條棱中的兩條所成的角為60、45，則它和另一條棱所成的角為 _。 9、若正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為，則截面ABD與截面BDC的距離為 _。 10、正六棱柱的高為5，最長(zhǎng)對(duì)角線為13，它的側(cè)面積是 _。 11、長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)分別是AA=2，AB=3，AD=4，從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)方體的表面到C的最短距離是 _。 12、設(shè)斜棱柱的側(cè)棱與底面成60角，高為2，它的直截面的周長(zhǎng)為10，則該斜棱柱的側(cè)面積是 _。三、解答題 13、直平行六面體的底面邊長(zhǎng)是3cm、5cm，底面平行四邊形較短的對(duì)角線垂直于短邊，側(cè)棱長(zhǎng)是cm，求這直平行六面體的對(duì)角線長(zhǎng)。 14、正三棱柱ABCABC，已知BCAC，求證：ABAC。 15、直三棱柱底面為RtABC，ACB=90，AB=2，ABC=30，把這個(gè)棱柱的兩個(gè)側(cè)面C1CAA1和C1CBB1展開鋪平在一個(gè)平面內(nèi)，若C1AC1B，求棱柱的側(cè)面積。【一周一練答案】題號(hào)