大地測量學基礎[1].8控制

1、南京工業(yè)大學土木學院,1,第八章 橢球面元素歸算至高斯平面 高斯投影 高斯在18201830年間在對德國漢諾威三角測量成果進行數(shù)據(jù)處理時提出。 史賴伯于1866年出版的名著漢諾威大地測量投影方法的理論中進行了整理和加工。 克呂格1912年對高斯投影進行了比較深入的研究和補充，從而使之在許多國家得以應用，稱之為高斯.克呂格投影。,南京工業(yè)大學土木學院,2,8.1 高斯投影概述 8.1.1控制測量對地圖投影的要求 應當采用等角投影(又稱為正形投影) 長度和面積變形不大 能按高精度的、簡單的、同樣的計算公式把各區(qū)域聯(lián)成整體,南京工業(yè)大學土木學院,3,8.1.2高斯投影描述 想象有一個橢圓柱面橫套在地

2、球橢球體外面，并與某一條子午線(此子午線稱為中央子午線或軸子午線)相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側各一定經差范圍內的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面 。 我國規(guī)定按經差 6和3進行投 影分帶。,南京工業(yè)大學土木學院,4,工程測量控制網也可采用.5帶或任意帶，但為了測量成果的通用，需同國家6或3帶相聯(lián)系。 高斯投影6帶，自0子午線起每隔經差6自西向東分帶，依次編號1，2，3，。 我國6帶中央子午線的經度，由69起每隔6而至135，共計12帶，帶號用n表示，中央子午線的經度用表示，它們的關系是 高斯投影3帶， L,南京工業(yè)大學土木學院,5,高

3、斯平面直角坐標,南京工業(yè)大學土木學院,6,在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點O作為坐標原點，以中央子午線的投影為縱坐標軸，以赤道的投影為橫坐標軸,南京工業(yè)大學土木學院,7,在我國x坐標都是正的，y坐標的最大值(在赤道上)約為330km。為了避免出現(xiàn)負的橫坐標，可在橫坐標上加上500 000m。此外還應在坐標前面再冠以帶號。這種坐標稱為國家統(tǒng)一坐標。 Y=19 123 456.789m，該點位在19帶內，其相對于中央子午線而言的橫坐標則是：首先去掉帶號，再減去500 000m，最后得y=-376 543.211m。,南京工業(yè)大學土木學院,8,高斯投影由于是正

4、形投影，故保證了投影的角度的不變性，圖形的相似性以及在某點各方向上的長度比的同一性。由于采用了同樣法則的分帶投影，這既限制了長度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡便公式和數(shù)表進行由于變形引起的各項改正的計算，并且?guī)c帶間的互相換算也能用相同的公式和方法進行。,南京工業(yè)大學土木學院,9,8.1.3 橢球面元素化算到高斯投影面 橢球面三角形投影后變?yōu)檫呴Lsi的曲線三角形，且這些曲線都凹向縱坐標軸,南京工業(yè)大學土木學院,10,將橢球面三角系歸算到高斯投影面 1) 將起始點P的大地坐標(L，B)歸算為高斯平面直角坐標x,y；為了檢核還應進行反算，亦即根據(jù)x,y反算B，L，這項工作統(tǒng)稱為高斯投影坐

5、標計算。 2) 將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應邊PK的坐標方位角，這是通過計算該點的子午線收斂角及方向改化實現(xiàn)的。,南京工業(yè)大學土木學院,11,3)將橢球面上各三角形內角歸算到高斯平面上的由相應直線組成的三角形內角。這是通過計算各方向的曲率改化即方向改化來實現(xiàn)的。 4) 將橢球面上起算邊PK的長度S歸算到高斯平面上的直線長度s。這是通過計算距離改化實現(xiàn)的。,南京工業(yè)大學土木學院,12,要將橢球面三角系歸算到平面上，包括坐標、曲率改化、距離改化和子午線收斂角等項計算工作。 當控制網跨越兩個相鄰投影帶，以及為將各投影帶聯(lián)成統(tǒng)一的整體，還需要進行平面坐標的鄰帶換算。,南京工業(yè)大學土木

6、學院,13,8.2 正形投影的一般條件 特點:正形投影中長度比與方向無關但隨點位而異 8.2.1 長度比的通用公式 投影前長度 投影后長度,南京工業(yè)大學土木學院,14,令: 則:,南京工業(yè)大學土木學院,15,則長度比 的表達式為: 由上式全微分得: 將其代入上式并令,南京工業(yè)大學土木學院,16,南京工業(yè)大學土木學院,17,8.2.2 柯西.黎曼條件 代入 式:,南京工業(yè)大學土木學院,18,并化簡得: 如前所述,欲使投影為正形投影,則 應與 無關,為此,必須滿足:,南京工業(yè)大學土木學院,19,即: 由第一式得: 代入第二式,南京工業(yè)大學土木學院,20,得: 消去共同項得:,南京工業(yè)大學土木學院,

7、21,將上式開方并代入由第一式得到的表達式得: 上式就是著名的柯西黎曼微分方程式,南京工業(yè)大學土木學院,22,通常我們在選取橢球面和平面的坐標軸時 要求橢球面上沿經線方向 增加時,平面上的 也增加，即 要求為正， 沿經線方向 增加時,平面上的也增加，即 要求 也為正。,南京工業(yè)大學土木學院,23,順便指出，在滿足 的條 件下： 上式在今后推導長度比公式時常用到,南京工業(yè)大學土木學院,24,8.3 高斯投影坐標正反算公式 8.3.1高斯投影坐標正算公式 高斯投影必須滿足以下三個條件： (1)中央子午線投影后為直線； (2)中央子午線投影后長度不變； (3)投影具有正形性質，即正形投影條件。,南京

8、工業(yè)大學土木學院,25,復變函數(shù)中有關保角映射的定義及定理 定義：凡是具有保角性和伸縮率不變性的映 射稱為保角映射。 定理：如果函數(shù) 在 處解析，且 那么這個映射 在 處是保角的。 定理（關于函數(shù)解析的充要條件） 函數(shù) 在其定義 域 內解析的充要條件是： 和,南京工業(yè)大學土木學院,26,在 內任意一點 可 微，且滿足柯西黎曼條件方程式： 由于高斯投影是正形投影，故 和 必須滿足正形投影公式： 用復變函數(shù)理論可證明上式是保角映射，即 可證明：,南京工業(yè)大學土木學院,27,說明： 是將橢球面正 形投影到平面上的一般公式 在橢球面上過 作一平行圈與中央子午線 相交于 處，設赤道到 的子午線弧 長為,

9、南京工業(yè)大學土木學院,28,點 在平面上的投影點為 ，它的縱坐標 為 由于高斯投影規(guī)定中央子午線投影為 軸， 且長度保持不變，即 則 且 高斯投影中規(guī)定 為一小量，故 可按臺勞級數(shù)在 點上展開，得：,南京工業(yè)大學土木學院,29,因為： 故上式可改寫為： 有復數(shù)相等的條件得：,南京工業(yè)大學土木學院,30,因為： 所以： 其次：,南京工業(yè)大學土木學院,31,繼續(xù)求得：,南京工業(yè)大學土木學院,32,代入,南京工業(yè)大學土木學院,33,得：,南京工業(yè)大學土木學院,34,得：,南京工業(yè)大學土木學院,35,8.3.2高斯投影坐標反算公式 在高斯投影坐標反算時，原面是高斯平 面，投影面是橢球面，已知的是平面坐

10、標 (x,y)，要求的是大地坐標(B，L)，相應地有 如下投影方程: 同正算一樣，對投影函數(shù)提出三個條件： (1)x坐標軸投影成中央子午線，是投影的對稱軸;,南京工業(yè)大學土木學院,36,(2)x軸上的長度投影保持不變； (3)正形投影條件。 反算公式的推導基本思路是:首先根據(jù) 計算縱坐標在橢球面上的投影的垂足緯度 , 接著計算 及經差 ,最后得到:,南京工業(yè)大學土木學院,37,已知 求 ，這是高斯投影的反 算問題。因投影是正形的，故 與 必須滿足： 式中 值和橢球半 徑相比也是不大的，故 上式可在點 的底點 處按臺勞級數(shù)展開， 點的坐標為,南京工業(yè)大學土木學院,38,于是有: 根據(jù)高斯投影條件

11、2：中央子午線投影后應 為 軸，且長度保持不變，故有 則： 即： 且: ( 為底點 的子午線弧長) 故:,南京工業(yè)大學土木學院,39,所以有: 再根據(jù): 可進一步導出其他各階導數(shù),將各階導數(shù)代入,南京工業(yè)大學土木學院,40,并把虛實兩部分分開,可得:,南京工業(yè)大學土木學院,41,實際應用時,還應把 換以 ，為此要運用下面兩式：,南京工業(yè)大學土木學院,42,先將該兩式中凡有下標0的各量換以下標 隨后將上式中的 一律用推導 出來的結果代入，經整理后便得：,南京工業(yè)大學土木學院,43,8.3.3高斯投影坐標正反算公式的幾何解釋,南京工業(yè)大學土木學院,44,反算公式：,南京工業(yè)大學土木學院,45,高斯

12、投影的特點 (1)當 等于常數(shù)時，隨著B的增加x值增大，y值減小；又因，所以無論B值為正或負，y值不變。這就是說，橢球面 上除中央子午線外，其他子 午線投影后，均向中央子午 線彎曲，并向兩極收斂，同 時還對稱于中央子午線和 赤道。,南京工業(yè)大學土木學院,46,(2)當B等于常數(shù)時，隨著l的增加，x值和y值都增大。所以在橢球面上對稱于赤道的緯圈，投影后仍成為對稱的曲線，同時與子午線的投影曲線互相垂直凹向兩極。 (3)距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈厲害，長度變形也愈大。,南京工業(yè)大學土木學院,47,8.4 高斯投影坐標計算的實用公式及 算例 8.4.1 高斯投影正算公式: 縱坐標：,南京工

13、業(yè)大學土木學院,48,橫坐標：,南京工業(yè)大學土木學院,49,在編表時引用下列符號:,南京工業(yè)大學土木學院,50,同樣,南京工業(yè)大學土木學院,51,于是有: 這就是用于查表的實用公式 都可以緯度為引數(shù), 和 以 為引數(shù)。其中 需進 行二次內插,南京工業(yè)大學土木學院,52,8.4.2.高斯投影反算公式,南京工業(yè)大學土木學院,53,經差 ：,南京工業(yè)大學土木學院,54,在編表時引用下列符號:,南京工業(yè)大學土木學院,55,同樣：,南京工業(yè)大學土木學院,56,于是有:,南京工業(yè)大學土木學院,57,8.4.3.適用于電算的高斯坐標計算公式 1.高斯投影正算公式: 令：,南京工業(yè)大學土木學院,58,式中有關

14、參數(shù)如下： 對于克拉索夫斯基橢球,南京工業(yè)大學土木學院,59,對于1975國際橢球： 其中子午線弧長 可按下式計算： 對于克拉索夫斯基橢球：,南京工業(yè)大學土木學院,60,對于克拉索夫斯基橢球： 對于1975國際橢球：,南京工業(yè)大學土木學院,61,當把有關克氏橢球參數(shù)代入原始式后，經 過簡單變化，可以得到更實用的正算電算公 式：,南京工業(yè)大學土木學院,62,式中：,南京工業(yè)大學土木學院,63,當把1975國際橢球參數(shù)代入原始式后，經過簡 單變化，可以得到更實用的正算電算公式：,南京工業(yè)大學土木學院,64,式中：,南京工業(yè)大學土木學院,65,2.高斯投影反算公式:,南京工業(yè)大學土木學院,66,底點

15、緯度 可直接按下式求解： 對于克拉索夫橢球，當 時,南京工業(yè)大學土木學院,67,當 時：,南京工業(yè)大學土木學院,68,對于1975國際橢球：當 時,南京工業(yè)大學土木學院,69,當 時 式中 均以“千公里”為單位。,南京工業(yè)大學土木學院,70,當把有關克氏橢球參數(shù)代入原始式后，經 過簡單變化，可以得到更實用的正算電算公 式：,南京工業(yè)大學土木學院,71,式中：,南京工業(yè)大學土木學院,72,且：,南京工業(yè)大學土木學院,73,當把1975國際橢球參數(shù)代入原始式后，經過 簡單變化，可以得到更實用的正算電算公式： 式中：,南京工業(yè)大學土木學院,74,南京工業(yè)大學土木學院,75,8.5平面子午線收斂角公式

16、 8.5.1平面子午線收斂角的定義,南京工業(yè)大學土木學院,76,8.5.2公式推導 1.由大地坐標L、B計算平面子午線收斂角的公式,南京工業(yè)大學土木學院,77,南京工業(yè)大學土木學院,78,(1) 為 的奇函數(shù)，而且 愈大， 也愈大； (2) 有正負，當描寫點在中央子午線以東時， 為正；在西時， 為負； (3)當 不變時，則 隨緯度增加而增大。,南京工業(yè)大學土木學院,79,2.由平面坐標 計算平面子午線收斂角的公式,南京工業(yè)大學土木學院,80,8.6 方向改化公式,南京工業(yè)大學土木學院,81,8.6.1方向改化近似公式的推導 在球面上四邊形ABED的內角之和等于 由于是等角投影，所以這兩個四邊形

17、內角之和應該相等，即,南京工業(yè)大學土木學院,82,而:,南京工業(yè)大學土木學院,83,8.6.2方向改化較精密公式 ： 上式精確至 ，故通常用于二等三角 測量計算。,南京工業(yè)大學土木學院,84,若 ，則需用下面的精密公式計算：,南京工業(yè)大學土木學院,85,8.6.3實用公式及算例,南京工業(yè)大學土木學院,86,于是，可把方向改正的實用公式匯總如下： 對于一等三角測量，有 對于二等三角測量，有,南京工業(yè)大學土木學院,87,對于三、四等三角測量，有,南京工業(yè)大學土木學院,88,8.7 距離改化公式,南京工業(yè)大學土木學院,89,8.7.1 s與D的關系,南京工業(yè)大學土木學院,90,8.7.2長度比和長度

18、變形 1.用大地坐標 表示的長度比 的公式,南京工業(yè)大學土木學院,91,對 求偏導： 或,南京工業(yè)大學土木學院,92,上式即為用大地坐標 求長度比的 近似公式，現(xiàn)不加推導直接寫出更精確的長 度比的計算公式：,南京工業(yè)大學土木學院,93,或寫成： 式中：,南京工業(yè)大學土木學院,94,2.用平面坐標 表示的長度比 的公式 為此取下式的主項， 解出,南京工業(yè)大學土木學院,95,代入： 得： 因為： 所以上式變?yōu)椋?南京工業(yè)大學土木學院,96,同理也可以得到更精確的長度比公式： 或寫成： 式中,南京工業(yè)大學土木學院,97,下表給出長度比的大約數(shù)值 (1)長度比 只與點的位置 或 有關 (2)中央子午線

19、投影后長度不變 (3)當 (或 )時， 恒大于1,南京工業(yè)大學土木學院,98,(4)長度變形 與 （或 ）成比例地增大 ,而對某一條子午線來說，在赤道處有最大的變形。 8.7.3 距離改化公式 將橢球面上大地線長度 描寫在高斯投影 面上，變?yōu)槠矫骈L度,南京工業(yè)大學土木學院,99,故距離改化公式為 更精密的距離改化公式為 上式計算精度可達 。要使計算要求達 ，則有更精確的距離改化公式,南京工業(yè)大學土木學院,100,即：,南京工業(yè)大學土木學院,101,8.8 高斯投影的鄰帶坐標換算 (1)位于兩個相鄰帶邊緣地區(qū)并跨越兩個投影帶(東、西帶)的控制網,南京工業(yè)大學土木學院,102,(2)在分界子午線附

20、近地區(qū)測圖時，往往需要用到另一帶的三角點作為控制，因此必須將這些點的坐標換算到同一帶中 (3)當大比例尺(110 000或更大)測圖時，特別是在工程測量中，要求采用3帶、1.5帶或任意帶，而國家控制點通常只有6帶坐標，這時就產生了6帶同3帶(或1.5帶、任意帶)之間的相互坐標換算問題。,南京工業(yè)大學土木學院,103,8.8.1用高斯投影正、反算公式進行鄰帶換算 - 間接換帶 利用高斯投影正反算公式進行鄰帶坐標換 算的實質是把橢球面上的大地坐標作為過渡 坐標。 計算步驟: (1) (2)求出 (對于相鄰帶中央子 午線的經差) (3),南京工業(yè)大學土木學院,104,8.8.2 直接換帶法-金揚善換

21、帶公式 1.基本原理 將 (1)對稱點的選擇及其作用 設: 則: 將一點兩帶的問題轉化為兩點一帶,南京工業(yè)大學土木學院,105,如圖:,南京工業(yè)大學土木學院,106,如圖: 為西帶的坐標系 和 分別為 點和 點在西帶的投 影。 （2）輔助點的選擇 建立 和 間的關系，通過選擇 輔助點實現(xiàn)之。 將輔助點選擇在 分帶子午線上。,南京工業(yè)大學土木學院,107,（3）公式的建立： 有圖知： 則： 而：,南京工業(yè)大學土木學院,108,由坐標增量公式得：,南京工業(yè)大學土木學院,109,顯然：欲求 只要求得 為已知 而欲求 只要求得 即可，因為 也是已知的。 也是可求的,南京工業(yè)大學土木學院,110,若令：

22、 （見圖），則公式推導就簡單了。,南京工業(yè)大學土木學院,111,以上就是鄰帶換算的基本原理 下面進一步討論求得 和 的方法： 2.公式推導 由 得,南京工業(yè)大學土木學院,112,得 ： 因為 很小，略去 項，并展開,南京工業(yè)大學土木學院,113,得： 由于： 則：,南京工業(yè)大學土木學院,114,所以： 同理： 則：,南京工業(yè)大學土木學院,115,略去： 和 項得：,南京工業(yè)大學土木學院,116,顧及： 式中：,南京工業(yè)大學土木學院,117,而：,南京工業(yè)大學土木學院,118,所以： 略去： 得：,南京工業(yè)大學土木學院,119,同理：,同理：,同理：,南京工業(yè)大學土木學院,120,上式不能直接應

23、用，因為右端含有 和 因此，必須用逐次趨近法來求它們。有上式 右端第一項作為 和 的近似值，即： 代入上式得,南京工業(yè)大學土木學院,121,即:,南京工業(yè)大學土木學院,122,又因為: 故: 以上我們推出了公式的主要項,實際上上式中 項的系數(shù)比這里寫的要復雜得多。,南京工業(yè)大學土木學院,123,于是得到換帶公式： 用上面推導的公式進行換帶計算時，在最 不利的情況下，誤差不超過一米，若需換算 誤差不大于0.002m的公式則有:,南京工業(yè)大學土木學院,124,有:,南京工業(yè)大學土木學院,125,同樣:,南京工業(yè)大學土木學院,126,3.三度帶與六度帶的相互換算 有圖可知: 三度帶和六度帶有以 下關系: 即半數(shù)三度帶(帶號 為奇數(shù))的中央子午 線和六度帶的中央子 午線重合;而半數(shù)三 度帶(帶號為偶數(shù)) 的中央子午線和六 度帶的分帶子午線,南京工業(yè)大學土木學院,127,重合。因此，對于前者，由于軸子午線