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文檔簡介
1、一.離散型隨機變量的概念與性質(zhì),第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,離散型隨機變量的定義,如果隨機變量 X 的取值是有限個或可列無窮個,則稱 X 為離散型隨機變量,2離散型隨機變量,返回主目錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,離散型隨機變量的分布律,設(shè)離散型隨機變量 X 的所有可能取值為,并設(shè),則稱上式或,為離散型隨機變量 X 的分布律,返回主目錄,說 明,離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃 即離散型隨機變量可完全由其的可能取值以及取這 些值的概率唯一確定,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,離散型隨機變量分布律的性質(zhì):,返回主目錄,例 1,從110這10個數(shù)字中
2、隨機取出5個數(shù)字,令: X:取出的5個數(shù)字中的最大值 試求 X 的分布律 解: X 的取值為5,6,7,8,9,10 并且,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,具體寫出,即可得 X 的分布律:,返回主目錄,例 2,將 1 枚硬幣擲 3 次,令: X:出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差 試求 X 的分布律 解: X 的取值為-3,-1,1,3 并且,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例 3,設(shè)離散型隨機變量 X 的分布律為,則,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例 3(續(xù)),第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例 4,設(shè)隨機變量
3、X 的分布律為,解:由隨機變量的性質(zhì),得,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,該級數(shù)為等比級數(shù),故有,所以,返回主目錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈,每盞信號燈以 1/2 的概率允許或禁止汽車通過. 以 X 表示汽車首次停下時,它已通過的信號燈的盞數(shù),求 X 的分布律. (信號燈的工作是相互獨立的).,PX=3=(1-p)3p,可愛的家園,例 5,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,解: 以 p 表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率,則 X 的分布律為:,X pk,0 1 2 3 4,p (1-p) p (1-p)2p (
4、1-p)3p (1-p)4,或?qū)懗?PX= k = (1- p)kp,k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4,例 5(續(xù)),返回主目錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,以 p = 1/2 代入得:,X pk,0 1 2 3 4,0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625,例 5(續(xù)),返回主目錄,二、一些常用的離散型隨機變量,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,1) Bernoulli分布,如果隨機變量 X 的分布律為,或,則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為 p 的 Bernoulli分布,返回主目錄,Bernoulli分布也稱作 0-1 分布或二點分
5、布,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,Bernoulli分布的概率背景,進(jìn)行一次Bernoulli試驗,設(shè):,令:X:在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù) 或者說:令,返回主目錄,例 6,15 件產(chǎn)品中有4件次品,11件正品從中取出1件 令 X:取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)則 X 的取值 為 0 或者 1,并且,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,2)二 項 分 布,如果隨機變量 X 的分布律為,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,說 明,顯然,當(dāng) n=1 時,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,二項分布的概率背景,進(jìn)
6、行n重Bernoulli試驗,設(shè)在每次試驗中,令 X:在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的 次數(shù),第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,分布律的驗證,由于,以及 n 為自然數(shù),可知,又由二項式定理,可知,所以,是分布律,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例7,一張考卷上有5道選擇題,每道題列出4個可能答案, 其中只有一個答案是正確的某學(xué)生靠猜測至少能 答對4道題的概率是多少? 解:每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗,,則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例 7(續(xù)),所以,
7、第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,二項分布的分布形態(tài),可知,二項分布的分布,先是隨著 k 的增大而增大,達(dá)到其最大值后再隨著 k 的增大而減少,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,這個使得,可以證明:,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例8,對同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨立射擊,設(shè)每次射擊時的命中率均為0.44,試求300次射擊最可能命中幾次?其相應(yīng)的概率是多少? 解:對目標(biāo)進(jìn)行300次射擊相當(dāng)于做300重Bernoulli 試驗令:,則由題意,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例8(續(xù)),因此,最可能射擊的命中次
8、數(shù)為,其相應(yīng)的概率為,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,3)Poisson 分布,如果隨機變量 X 的分布律為,則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為的Poisson 分布,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,分布律的驗證, 由于,可知對任意的自然數(shù) k,有,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量, 又由冪級數(shù)的展開式,可知,所以,是分布律,返回主目錄,Poisson分布的應(yīng)用,Poisson分布是概率論中重要的分布之一 自然界及工程技術(shù)中的許多隨機指標(biāo)都服從Poisson分布 例如,可以證明,電話總機在某一時間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù),放射物在某一時間間隔內(nèi)發(fā)
9、射的粒子數(shù),容器在某一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù),某一時間間隔內(nèi)來到某服務(wù)臺要求服務(wù)的人數(shù),等等,在一定條件下,都是服從Poisson分布的,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例 9,設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為的Poisson分布,且已知,解: 隨機變量 X 的分布律為,由已知,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例 9(續(xù)),得,由此得方程,得解,所以,,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例 10,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例 10(續(xù)),解:設(shè) B= 此人在一年中得3次感冒 ,則由Bayes公式,得,
10、第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,Poisson定理,證明:,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,Poisson定理的證明(續(xù)),對于固定的 k,有,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,Poisson定理的證明(續(xù)),所以,,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,Poisson定理的應(yīng)用,由 Poisson 定理,可知,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例 11,設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012,現(xiàn)射擊600次, 求至少命中3次目標(biāo)的概率(用Poisson分布近似計 算) 解:設(shè) B= 600次射擊至
11、少命中3次目標(biāo) 進(jìn)行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗.,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,例 11(續(xù)),所以,,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人,現(xiàn) 有同類型設(shè)備 300 臺,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生 故障的概率都是 0.01. 在通常情況下,一臺設(shè)備的故障 可有一人來處理. 問至少需配備多少工人,才能保 證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于 0.01 ?,解:設(shè)需配備 N 人,記同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為 X ,則 X b(300,
12、0.01),需要確定最小的 N 的取值,使得:,例 12,返回主目錄,查表可知,滿足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配備 8 個工人。,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,設(shè)有 80 臺同類型的設(shè)備,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是 0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法: 其一,由 4人維護(hù),每人負(fù)責(zé) 20 臺 其二,由 3 人,共同維護(hù) 80 臺. 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,例 13,返回主目錄,解:按第一種方法. 以 X 記 “第 1 人負(fù)責(zé)的
13、20 臺 中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”,則 X b (20,0.01).,以 Ai 表示事件 “第 i 人負(fù)責(zé)的臺中發(fā)生故障不能及 時維修”, 則 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概 率為:,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,例 13(續(xù)),返回主目錄,按第二種方法. 以 Y 記 80 臺中同一時刻發(fā)生故障 的臺數(shù), 則 Y b(80,0.01). 故 80 臺中發(fā)生故障而 不能及時維修的概率為:,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,例 13(續(xù)),第二種方法中發(fā)生故障而不能及時維修的概率小,且維 修工人減少一人。運用概率論討論國民經(jīng)濟(jì)問題,可以 有效地使用人力、物力資源。,
14、返回主目錄,4)幾 何 分 布,若隨機變量 X 的分布律為,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,分 布 律 的 驗 證, 由條件, 由條件可知,綜上所述,可知,是一分布律,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,返回主目錄,幾何分布的概率背景,在Bernoulli試驗中,,試驗進(jìn)行到 A 首次出現(xiàn)為止,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,即,返回主目錄,例 14,對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊時的命中率 為0.64,射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)時為止,令: X:所需射擊次數(shù) 試求隨機變量 X 的分布律,并求至少進(jìn)行2次射擊 才能擊中目標(biāo)的概率 解:,第二章 隨機變量及其分布,2離散型隨機變量,例 14(續(xù)),
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