高考數(shù)學(xué)理人教大一輪復(fù)習(xí)講義課件第十三章推理與證明算法復(fù)數(shù)13.3

1、13.3數(shù)學(xué)歸納法,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),數(shù)學(xué)歸納法,知識(shí)梳理,一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取 (n0N*)時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng) 時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.,第一個(gè)值n0,nk1,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立.() (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.() (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明

2、問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用.(),(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).() (5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223.() (6)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時(shí)，n03.(),考點(diǎn)自測(cè),A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3,答案,解析,當(dāng)n1時(shí)，n12，,左邊1a1a21aa2.,答案,解析,A.nk1時(shí)等式成立 B.nk2時(shí)等式成立 C.n2k2時(shí)等式成立 D.n2(k2)時(shí)等式成立,因?yàn)閚為正偶數(shù)，nk時(shí)等式成立，,即n為第k個(gè)偶數(shù)時(shí)命題成立，,所以需假設(shè)n為下一個(gè)偶數(shù)，即n

3、k2時(shí)等式成立.,3.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為 n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于,凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形，,A.1 B.2C.3 D.0,答案,解析,故第一步檢驗(yàn)n3.,答案,解析,等式左邊是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和，直到n2. 故nk1時(shí)，最后一項(xiàng)是(k1)2，而nk時(shí)，最后一項(xiàng)是k2， 應(yīng)加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.,答案,3,4,5,n1,題型分類深度剖析,題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,例1設(shè)f(n)1 (nN*).求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).,證明,當(dāng)n2時(shí)，左邊f(xié)(1)1，,左邊右邊，等式成立.,假設(shè)nk(k2，kN

4、*)時(shí)，結(jié)論成立，即,f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，,那么，當(dāng)nk1時(shí)，,f(1)f(2)f(k1)f(k),kf(k)1f(k)(k1)f(k)k,(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，,當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立.,由可知當(dāng)nN*時(shí)，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).,用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)注意 (1)明確初始值n0的取值并驗(yàn)證nn0時(shí)等式成立. (2)由nk證明nk1時(shí)，弄清左邊增加的項(xiàng)，且明確變形目標(biāo). (3)掌握恒等變形常用的方法：因式分解；添拆項(xiàng)；配方法.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明：,證明,左邊右邊，等式成立.,假設(shè)nk(k1，kN*

5、)時(shí)，等式成立.,當(dāng)nk1時(shí)，,左邊右邊，等式成立.,即對(duì)所有nN*，原式都成立.,例2(2016煙臺(tái)模擬)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上. (1)求r的值；,題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,解答,由題意，Snbnr， 當(dāng)n2時(shí)，Sn1bn1r. 所以anSnSn1bn1(b1). 由于b0且b1， 所以n2時(shí)，an是以b為公比的等比數(shù)列. 又a1br，a2b(b1)，,證明,由(1)及b2知an2n1.,因此bn2n(nN*)，,左式右式，所以結(jié)論成立.,假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)結(jié)論成立，,則當(dāng)nk1時(shí)，

6、,要證當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立，,所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立.,數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵 (1)適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法. (2)關(guān)鍵：由nk時(shí)命題成立證nk1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f(x)x22x3，定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過(guò)點(diǎn)P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直線PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，試運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：2xnxn13.,證明,即n1時(shí)結(jié)論成立.,假設(shè)當(dāng)n

7、k時(shí)，結(jié)論成立，即2xkxk13.,當(dāng)n1時(shí)，x12，f(x1)3，Q1(2，3).,所以直線PQ1的方程為y4x11，,代入上式，令y0，,即xk1xk2，,所以2xk1xk23，,即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立.,由知對(duì)任意的正整數(shù)n,2xnxn13.,題型三歸納猜想證明,命題點(diǎn)1與函數(shù)有關(guān)的證明問(wèn)題 例3(2017綿陽(yáng)質(zhì)檢)已知數(shù)列xn滿足x1 ，xn1 ，nN*.猜想數(shù)列x2n的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.,解答,由x2x4x6，猜想：數(shù)列x2n是遞減數(shù)列.,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：,當(dāng)n1時(shí)，已證命題成立.,假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即x2kx2k2，,易知xk0，那么,即x2(k1)x2(k1)2.

8、,所以當(dāng)nk1時(shí)命題也成立.,結(jié)合知，對(duì)于任何nN*命題成立.,命題點(diǎn)2與數(shù)列有關(guān)的證明問(wèn)題 例4在數(shù)列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*，0). (1)求a2，a3，a4；,解答,a2222(2)222，,a3(222)3(2)222323，,a4(2323)4(2)233424.,(2)猜想an 的通項(xiàng)公式，并加以證明.,證明,由(1)可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式為： an(n1)n2n. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n1,2,3,4時(shí)，等式顯然成立， 假設(shè)當(dāng)nk(k4，kN*)時(shí)等式成立， 即ak(k1)k2k， 那么當(dāng)nk1時(shí)， ak1akk1(2)2k (k1)k2kk12k12k

9、,(k1)k1k12k1 (k1)1k12k1，所以當(dāng)nk1時(shí)，ak1(k1)1k12k1，猜想成立， 由知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(n1)n2n(nN*，0).,命題點(diǎn)3存在性問(wèn)題的證明 例5設(shè)a11，an1 b(nN*).,解答,(1)若b1，求a2，a3及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,從而(an1)2是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式： 當(dāng)n1時(shí)結(jié)論顯然成立.,所以當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立.,(2)若b1，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2nca2n1對(duì)所有nN*成立？證明你的結(jié)論.,證明,則an1f(an).,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題：,a2nca2n11.,假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即a

10、2kca2k11.,再由f(x)在(，1上為減函數(shù)，,得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31.,易知f(x)在(，1上為減函數(shù)，,從而cf(c)f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.,因此a2(k1)ca2(k1)11.,先證：0an1(nN*). ,當(dāng)n1時(shí)，結(jié)論顯然成立.,則an1f(an).,假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即0ak1.,易知f(x)在(，1上為減函數(shù)，從而,這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立. 故成立.,即0ak11.,再證：a2na2n1(nN*). ,有a2a3，即n1時(shí)成立.,由及f(x)在(，1上為減函數(shù)，得,假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即a2ka2k1.

11、,a2k1f(a2k)f(a2k1)a2k2，,a2(k1)f(a2k1)f(a2k2)a2(k1)1.,這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)成立，,所以對(duì)一切nN*成立.,又由及f(x)在(，1上為減函數(shù)，,得f(a2n)f(a2n1)，即a2n1a2n2，,(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性. (2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見(jiàn)的問(wèn)題.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3(2015江蘇)已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，設(shè)S

12、n(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù). (1)寫(xiě)出f(6)的值；,解答,Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)滿足：,若a1，則b1,2,3,4,5,6；若a2，則b1,2,4,6；,若a3，則b1,3,6.所以f(6)13.,解答,(2)當(dāng)n6時(shí)，寫(xiě)出f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.,當(dāng)n6時(shí)，,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：,假設(shè)nk(k6)時(shí)結(jié)論成立，那么nk1時(shí)，Sk1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：,()若k16t，則k6(t1)5，此時(shí)有,()若k16t1，則k6t

13、，此時(shí)有,()若k16t2，則k6t1，此時(shí)有,()若k16t3，則k6t2，此時(shí)有,()若k16t4，則k6t3，此時(shí)有,()若k16t5，則k6t4，此時(shí)有,綜上所述，結(jié)論對(duì)滿足n6的自然數(shù)n均成立.,典例(12分)數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*). (1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an； (2)證明(1)中的猜想.,歸納猜想證明問(wèn)題,答題模板系列9,規(guī)范解答,(1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4，觀察所得數(shù)值的特征猜出通項(xiàng)公式. (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明.,答題模板,思維點(diǎn)撥,(1)解當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，a11；,當(dāng)n2時(shí)，a1a2S2

14、22a2，,當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a4S424a4，,(2)證明當(dāng)n1時(shí)，a11，結(jié)論成立. 5分,那么nk1時(shí)， 7分,假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)，結(jié)論成立，,ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak,2akak1，,2ak12ak. 9分,當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立. 11分,返回,歸納猜想證明問(wèn)題的一般步驟： 第一步：計(jì)算數(shù)列前幾項(xiàng)或特殊情況，觀察規(guī)律猜測(cè) 數(shù)列的通項(xiàng)或一般結(jié)論； 第二步：驗(yàn)證一般結(jié)論對(duì)第一個(gè)值n0(n0N*) 成立； 第三步：假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng) nk1時(shí)結(jié)論也成立； 第四步：下結(jié)論，由上可知結(jié)論對(duì)任意nn0，nN* 成立.,返回,課時(shí)作業(yè),1.如果命

15、題p(n)對(duì)nk(kN*)成立，則它對(duì)nk2也成立.若p(n)對(duì)n2也成立，則下列結(jié)論正確的是 A.p(n)對(duì)所有正整數(shù)n都成立 B.p(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立 C.p(n)對(duì)所有正奇數(shù)n都成立 D.p(n)對(duì)所有自然數(shù)n都成立,答案,解析,n2時(shí)，nk，nk2成立，,n為2,4,6，故n為所有正偶數(shù).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是 A.假設(shè)nk(kN*)，證明nk1時(shí)命題成立 B.假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk1時(shí)命題成立 C.假設(shè)n2k1(kN*)，證明nk1時(shí)命題成立

16、D.假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk2時(shí)命題成立,答案,解析,相鄰兩個(gè)正奇數(shù)相差2，故D選項(xiàng)正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.(2017淄博質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)k1成立時(shí)，總能推出f(k1)k2成立，那么下列命題總成立的是 A.若f(1)2成立，則f(10)11成立 B.若f(3)4成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k1成立 C.若f(2)3成立，則f(1)2成立 D.若f(4)5成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k1成立,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9

17、,10,11,12,當(dāng)f(k)k1成立時(shí)，總能推出f(k1)k2成立，說(shuō)明如果當(dāng)kn時(shí)，f(n)n1成立，那么當(dāng)kn1時(shí)，f(n1)n2也成立， 所以如果當(dāng)k4時(shí)，f(4)5成立，那么當(dāng)k4時(shí)，f(k)k1也成立.,4.在數(shù)列an中，a1 ，且Snn(2n1)an，通過(guò)求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN*”時(shí)，從“nk”變到“nk1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8

18、,9,10,11,12,當(dāng)nk(kN*)時(shí)，,當(dāng)nk1時(shí)，左式為(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，,左式為(k1)(k2)(kk)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的自然數(shù)n都有(Sn1)2anSn，通過(guò)計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.設(shè)S112，S2122212，Sn122232(n1)2n2(n1)22212，用數(shù)學(xué)歸納法證明Sn 時(shí)，第二步從“k”到“k1”應(yīng)添加的項(xiàng)為_(kāi).,答案,解析,(k1)2k2,由S1，S2，Sn可以發(fā)現(xiàn)由

19、nk到nk1時(shí)， 中間增加了兩項(xiàng)(k1)2k2(n，kN*).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,f(3)2，f(4)f(3)3235，,8.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n4時(shí)，f(n)_(用n表示).,5,答案,解析,f(n)f(3)34(n1),234(n1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明.,假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，結(jié)論成立，,1,2,3,4,5,6,

20、7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(1)證明：xn是遞減數(shù)列的充要條件是c0；,所以數(shù)列xn是遞減數(shù)列.,必要性：若xn是遞減數(shù)列，則x2x1，且x10.,故xn是遞減數(shù)列的充要條件是c0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,證明,(2)若0c ，證明：數(shù)列xn是遞增數(shù)列.,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,這就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,證明,由已知，得xf0(x)sin x，等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，,得f0(x)xf0(x)cos x，,類似可得,2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，,4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,當(dāng)n1時(shí)，由上可知等式成立.,因?yàn)閗fk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk