現(xiàn)代控制理論——分析

1、第二章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解,對于線性定常系統(tǒng)，為保證狀態(tài)方程解的存在性和唯一性，系統(tǒng)矩陣,和輸入矩陣,中各元必須有界。,2.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）,線性定常系統(tǒng)在沒有外加輸入作用下，即 ，由初始條件,引起的運動稱為自由運動，亦稱為零輸入響應。,解可以表示為,結(jié)論1：前式系統(tǒng)的零輸入響應表達式為,其中,狀態(tài)方程的解實質(zhì)上可歸結(jié)為計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即矩陣指數(shù)函數(shù),2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,的解。,重要性質(zhì)：,時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的公式,有,Caley-Hamilton定理,考慮nn維矩陣A及其特征方程,則,證明：,可得,的計算分析方法,2.2.1 方法一：直接計算法

2、(矩陣指數(shù)函數(shù)),可證明，對常數(shù)矩陣A和有限t值來說，該無窮級數(shù)是收斂的。,2.2.2 方法二：對角線標準形與Jordan標準形法,式中，P是將A對角線化的非奇異線性變換矩陣。,可由下式確定出,例2.1 考慮如下矩陣,解 該矩陣的特征方程為,將矩陣A變換為Jordan標準形的變換矩陣為,2.2.3 方法三：拉氏變換法,例2.2 考慮如下矩陣,故可求得所需的變換矩陣為,方法二 由于,因此,2.2.4 方法四： Caley-Hamilton定理法,(k=0,1,2，m-1),凱萊-哈密爾頓定理,例2.3 考慮如下矩陣,解 矩陣A的特征方程為,可得相異特征值為1=0，2= -2。,首先，由,。由于1

3、=0，2= -2，上述兩式變?yōu)?求解此方程組，可得,或者根據(jù)前面所列寫方程，可以直接得到,2.3 線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解,給定線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程為,：,故可求出其解為,將上式由0積分到t，得,即,2.4 線性時變系統(tǒng)的解,一、時變系統(tǒng)狀態(tài)方程解的特點,考慮標量時變系統(tǒng),即,令,因此,二、線性時變齊次矩陣微分方程的解,對于齊次矩陣微分方程,也可表示為狀態(tài)轉(zhuǎn)移形式，即：,三、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì),與線性定常系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣（矩陣指數(shù)函數(shù)）的性質(zhì)相似；,四、線性時變非齊次狀態(tài)方程式的解,五、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算,2.5 離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,一.數(shù)字控制系統(tǒng),數(shù)字控制系統(tǒng)是一種以數(shù)字計

4、算機為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。,二.采樣過程,(2).采樣頻率:,(1).采樣周期:,(3).采樣脈沖序列:,三.采樣定理(Shannon定理),信號保持是指將離散信號 脈沖序列轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號的過程。用于這種轉(zhuǎn)換的元件為保持器。,零階保持器(zero order holder),一階保持器,四.Z變換(Z-transforms)與反變換,(1) 級數(shù)求和,1、Z變換,例1.試求單位階躍函數(shù)的Z變換,例2.試求取衰減的指數(shù)函數(shù)e-at(a)的Z變換。,解:,解:,(2) 部分分式法,解：,例3.求取具有拉氏變換為 的連續(xù)函數(shù)X(t)的Z變換。,2、Z反變換,五、離散

5、系統(tǒng)的差分方程模型,例.下圖所示為采樣控制系統(tǒng)采樣器的采樣周期為T.試求其差分方程。,解:,六、脈沖傳遞函數(shù),定義：輸出脈沖序列的Z變換與輸入脈沖序列的Z變換之比。,脈沖傳遞函數(shù)在數(shù)字系統(tǒng)的地位與傳遞函數(shù)在連續(xù)系統(tǒng)中的地位相仿。,七、連續(xù)時間狀態(tài)空間表達式的離散化,離散化,系統(tǒng)離散化的原則是：在每個采樣時刻 ，其中T為采樣周期），,系統(tǒng)離散化前后的 保持不變。,采樣方法是在t=kT時刻對U(t)值采樣得U(kT)，并通過零階段保持器，使 的值在 時間段保持不變。,離散化后的動態(tài)方程為：,表示kT時刻離散系統(tǒng)的輸出Y(kT)和輸入U(kT)及其系統(tǒng)狀態(tài)量X(kT)的關(guān)系,求,也只與采樣周期T有關(guān)

6、,忽略時刻 中的 符號，直接用k代表kT時刻，得到連續(xù)系統(tǒng)離散化公式,G,H=c2d(A,B,T),八、離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程求解,離散時間狀態(tài)方程求解有兩種方法：遞推法（迭代法）和Z變換法,對于線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程,依次取 ，得,稱為離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,第三章 線性多變量系統(tǒng)的能控性與能觀測性分析,能控性(controllability),能觀測性(observability),揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系,Kalman于60年代初首先提出并研究,決定了最優(yōu)控制問題解的存在性,3.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性,3.1.1 概述,能控性和能觀測性就是研究系統(tǒng)這個“黑箱”的內(nèi)部的狀態(tài)是否可由輸入影響

7、和是否可由輸出反映,例1、給定系統(tǒng)的描述為,將其表為標量方程組的形式，有：,例2：判斷下列電路的能控和能觀測性,UCUO,UC完全,UO完全,3.1.2 能控性的定義,考慮線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程,，,，,給出系統(tǒng)能控和不能控的定義,是能控的。,是不完全能控的。,1 對軌跡不加限制，是表征系統(tǒng)狀態(tài)運動的一種定性特性；,2 容許控制的分量幅值不加限制，且在 上平方可積；,3 線性系統(tǒng)的能控性與 無關(guān)；,4 如果將上面非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，改為零狀態(tài)到非零狀態(tài)，則稱為系統(tǒng)的能達性。,5 系統(tǒng)不完全能控為一種“奇異”情況。,說明：,3.1.2 能觀測性的定義,系統(tǒng)的狀態(tài)為：,系統(tǒng)輸出：,若,則,原系統(tǒng)

8、的能觀測性研究等價于下列系統(tǒng),定義1：如果系統(tǒng)的狀態(tài)x(to)在有限的時間間隔內(nèi)可由輸出的觀測值確定，那么稱系統(tǒng)在時刻to是能觀測的。,3.2 定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性判據(jù),3.2.1 定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù),考慮線性連續(xù)時間系統(tǒng),如果每一個狀態(tài)都能控，則稱該系統(tǒng)為狀態(tài)(完全)能控的。,引理1格拉姆矩陣判據(jù)線性定常系統(tǒng)為完全能控的充分必要條件是，存在,使如下定義的格拉姆矩陣,，,非奇異。,采用構(gòu)造法證明，構(gòu)造的控制量為,，,充分性得證。,采用反證法。,要使上式成立，應有,，,進而有,由此得出,必要性得證,矛盾！,定理1代數(shù)判據(jù)前述線性定常系統(tǒng)為完全能控的充分必要條件為,證明： 充分性：已知 ，

9、欲證系統(tǒng)為完全能控。,采用反證法。反設系統(tǒng)不完全能控，則格拉姆矩陣,行線性相關(guān),假設,矛盾,系統(tǒng)完全能控,必要性：已知系統(tǒng)完全能控，欲證,反設,行線性相關(guān),出于問題的一般性,凱萊哈密頓定理,所以,則,表明,為奇異,系統(tǒng)不完全能控,考慮由下式確定的系統(tǒng),例3,例4 考慮由下式確定的系統(tǒng),3.2.2 PBH 判據(jù),Popov Belevitch提出 Hautus發(fā)揚,（1）秩判據(jù),或,證明：必要性：已知系統(tǒng)能控，欲證,考慮到一般性，上式得到,進而，,所以,系統(tǒng)為不完全能控，與已知條件矛盾,反設不成立,例5 設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,可直接導出,特征值,系統(tǒng)能控,即,（2）特征向量判據(jù),的特征向量

10、,則有,系統(tǒng)不能控,3.2.3 狀態(tài)能控性條件的標準形判據(jù),設,系統(tǒng)才是狀態(tài)能控的。,系統(tǒng)狀態(tài)能控性條件：當且僅當,則系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。,例6,3.2.4 用傳遞函數(shù)矩陣表達的狀態(tài)能控性條件,狀態(tài)能控性的充要條件是在傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣中不出現(xiàn)相約現(xiàn)象。如果發(fā)生相約，那么在被約去的模態(tài)中，系統(tǒng)不能控。,狀態(tài)能控的條件也可用傳遞函數(shù)或傳遞矩陣描述。,例7,存在可約的因子，系統(tǒng)狀態(tài)不能控。,3.2.5 輸出能控性,定義：,內(nèi)，,系統(tǒng)輸出能控的充要條件：當且僅當,m(n+1)r 維輸出能控性矩陣,的秩為m。,3.3 線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性,考慮系統(tǒng),如果每一個狀態(tài)x(to)都可通過在有限時間間隔t

11、ott1內(nèi)，由y(t)觀測值確定，則稱系統(tǒng)為(完全)能觀測的。本節(jié)僅討論線性定常系統(tǒng)。不失一般性，設to=0。,在實際問題中，狀態(tài)反饋控制遇到的困難是一些狀態(tài)變量不易直接量測。因而在構(gòu)造控制器時，必須首先估計出不可量測的狀態(tài)變量。,當且僅當系統(tǒng)是能觀測時，才能對系統(tǒng)狀態(tài)變量進行觀測或估計。,最后兩項為已知，因而它們可以從被量測值中消去。,能觀測性的充要條件只需要研究零輸入系統(tǒng)即可,3.3.1 定常系統(tǒng)狀態(tài)能觀測性的代數(shù)判據(jù),考慮系統(tǒng)：,輸出：,可表示為,即,若系統(tǒng)是能觀測的 ，則在0tt1時間內(nèi)，給定輸出y(t)，由式唯一地確定x(0),需要,的秩為n。,代數(shù)判據(jù)：上述線性定常系統(tǒng)，當且僅當n

12、nm維能觀測性矩陣,試判斷系統(tǒng),所描述的系統(tǒng)是否為能控和能觀測的。,例8,解,能控性矩陣,故該系統(tǒng)是狀態(tài)能控的,能觀測性矩陣,系統(tǒng)是能觀測的。,均成立,或等價地表為,3.3.2 用傳遞函數(shù)矩陣表達的能觀測性條件,能觀測性的充要條件：在傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣中不發(fā)生相約現(xiàn)象。如果存在相約，則約去的模態(tài)其輸出就不能觀測了。,例7 證明下列系統(tǒng)是不能觀測的。,式中,解 由于能觀測性矩陣,該系統(tǒng)是不能觀測的,傳遞函數(shù),系統(tǒng)是不能觀測,當且僅當系統(tǒng)是狀態(tài)能控和能觀測時，其傳遞函數(shù)才沒有相約因子。這意味著，可相約的傳遞函數(shù)不具有表征動態(tài)系統(tǒng)的所有信息。,3.3.3 狀態(tài)能觀測性條件的標準形判據(jù),如果mn維

13、矩陣CP的任一列中都不含全為零的元素，那么系統(tǒng)是能觀測的。,I 若A可對角化,II. 若A可化為Jordan標準形,系統(tǒng)能觀測的充要條件為：,例8 下列系統(tǒng)是能觀測的：,（1） J中沒有兩個Jordan塊與同一特征值有關(guān)；,（2）與每個Jordan塊的第一行相對應的矩陣CS列中，沒有一列元素全為零；,（3）與相異特征值對應的矩陣CS列中，沒有一列包含的元素全為零。,下列系統(tǒng)是不能觀測的,3.3.4 對偶原理,能控性,能觀測性,當且僅當系統(tǒng)S2狀態(tài)能觀測（狀態(tài)能控）時，系統(tǒng)S1才是狀態(tài)能控（狀態(tài)能觀測）的。,能控性矩陣,能觀測性矩陣,能控性矩陣,能觀測性矩陣,對偶原理：,第四章 Lyapunov

14、穩(wěn)定性分析,4.1 概述,線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法很多。,Lyapunov穩(wěn)定性分析是解決非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的一般方法。,偉大的俄國數(shù)學力學家亞歷山大 米哈依諾維奇李亞普諾夫(A.M.Lyapunov) (1857-1918),1892年發(fā)表了其博士論文“運動穩(wěn)定性的一般問題”。,論文給出了穩(wěn)定性概念的嚴格數(shù)學定義，并提出了解決穩(wěn)定性問題的方法，從而奠定了現(xiàn)代穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)。,文中研究了平衡狀態(tài)及其穩(wěn)定性、運動及其穩(wěn)定性、擾動方程的穩(wěn)定性。,系統(tǒng),給定運動,的穩(wěn)定性,擾動方程,給定運動,原點的穩(wěn)定性,等價,Lyapunov提出了兩類解決穩(wěn)定性問題的方法,第一法通過求解微分方程的解來分析

15、運動穩(wěn)定性，即通過分析非線性系統(tǒng)線性化方程特征值分布來判別原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性；,第二法則是一種定性方法構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù)，研究其正定性及其對時間的沿系統(tǒng)方程解的全導數(shù)的負定或半負定，得到穩(wěn)定性的結(jié)論 ；,一般所說的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。,4.2 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題,4.2.1 平衡狀態(tài)、給定運動與擾動方程之原點,1）,2） 若,為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點,對于線性定常,1）A為非奇異矩陣時，系統(tǒng)存在一個唯一的平衡狀態(tài)； 2）A為奇異矩陣時，系統(tǒng)將存在無窮多個平衡狀態(tài) 。,對于非線性系統(tǒng)，則有一個或多個平衡狀態(tài)，這些狀態(tài)對應于系統(tǒng)的常值解。,

16、任意一個孤立的平衡狀態(tài)通過坐標變換，統(tǒng)一化為擾動方程,僅討論擾動方程關(guān)于原點處之平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題(“原點穩(wěn)定性問題” ),4.2.2 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性定義,定義4.1,定義球域S(）和S(）,一般地，實數(shù)與有關(guān)，通常也與t0有關(guān)。,的吸引域。,即對于先選擇的每一球域S(），必存在一球域S(），使得當t趨于無窮時，始于S(）的軌跡總不脫離球域S(）。,非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性是一個局部概念，簡單地確定漸近穩(wěn)定性并不意味著系統(tǒng)能正常工作。有必要確定漸近穩(wěn)定性的最大范圍或吸引域（發(fā)生漸近穩(wěn)定軌跡的那部分狀態(tài)空間），發(fā)生于吸引域內(nèi)的每一個軌跡都是漸近穩(wěn)定的。,(3) 狀態(tài)空間中的所有狀

17、態(tài)，如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定性，,漸近穩(wěn)定的吸引域為整個狀態(tài)空間，則稱此時系統(tǒng)的平衡狀態(tài),為大范圍漸近穩(wěn)定的。,系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定,系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài),(4) 如果對于某個實數(shù)0和任一個實數(shù) 0，不管這兩個實數(shù)多么小，在S（）,實際上，漸近穩(wěn)定性比Lyapunov意義下的穩(wěn)定性更重要。,在經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性概念與Lyapunov意義下的穩(wěn)定性概念有一定區(qū)別。,4.2.3 預備知識,1、純量函數(shù)的正定性,，使得, 對所有, 對所有,2、純量函數(shù)的負定性,3、純量函數(shù)的正半定形,4、純量函數(shù)的負半定性,稱為不定的純量函數(shù)。,5、純量函數(shù)的不定性,例1 本例給出按

18、照以上分類的幾種純量函數(shù)，這里假設x為二維向量。,正定,正半定,負定,不定,正定,建立在Lyapunov第二法基礎(chǔ)上的穩(wěn)定性分析中，有一類純量函數(shù)起著很重要的作用，即二次型函數(shù)。例如，,6、二次型,7、復二次型或Hermite型,矩陣P的所有主子行列式均為正值，即,。,如果P是奇異矩陣，且它的所有主子行列式均非負，則,是正半定的。,例2 試證明下列二次型是正定的。,解,利用賽爾維斯特準則，可得,4.3 Lyapunov穩(wěn)定性理論,Lyapunov提出了兩種方法（稱為第一法和第二法），用于確定由常微分方程描述的動力學系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,第一法 利用微分方程顯式解進行系統(tǒng)分析，也稱為間接法。,第二法 不需求出微分方程的解的條件下，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也稱為 直接法。,求解非線性系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常十分困難,4.3.1 Lyapunov第一法,非線性系統(tǒng)：首先線性化，然后計算線性化方程的特征值，最后判定原非 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,線性系統(tǒng)： 根據(jù)系統(tǒng)的特征值，判定原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性；,或,則有,Jacobian矩陣,線性化方程(忽略高階小量)，是一重要且廣泛使用的近似分析方法。因為，很多系統(tǒng)