熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理(A參考答案)

1、寶雞文理學(xué)院試題課程名稱 中學(xué)物理教育理論與實(shí)踐研究適 用 時(shí) 間 2011年7月 試卷類別 a 適用專業(yè)、年級、班 專升本 一. 填空題（本題共 7 題，每空 3 分，總共 21 分）1. 假設(shè)一物質(zhì)的體漲系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)經(jīng)過實(shí)驗(yàn)測得為： ，則該物質(zhì)的物態(tài)方程為： 。2. 1 mol 理想氣體，保持在室溫下（ k）等溫壓縮，其壓強(qiáng)從1 準(zhǔn)靜態(tài)變?yōu)?0 ，則氣體在該過程所放出的熱量為： 焦耳。3. 計(jì)算機(jī)的最底層結(jié)構(gòu)是由一些數(shù)字邏輯門構(gòu)成的，比如說邏輯與門，有兩個(gè)輸入，一個(gè)輸出，請從統(tǒng)計(jì)物理的角度估算，這樣的一個(gè)邏輯與門，室溫下（ k）在完成一次計(jì)算后，產(chǎn)生的熱量是： 焦耳。4. 已知巨熱力

2、學(xué)勢的定義為 ，這里 是系統(tǒng)的自由能， 是系統(tǒng)的粒子數(shù)， 是一個(gè)粒子的化學(xué)勢，則巨熱力學(xué)勢的全微分為： 。5. 已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為 ，其中 是常數(shù)，則粒子的平均能量為： 。6. 溫度 時(shí)，粒子熱運(yùn)動的熱波長可以估算為： 。7. 正則分布給出了具有確定的粒子數(shù) 、體積 、溫度 的系統(tǒng)的分布函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)的配分函數(shù)為 ，微觀狀態(tài) 的能量為 ，則處在微觀狀態(tài) 上的概率為： 。二. 簡答題(本題共 3 題，總共 30 分) 1. 請從微觀和統(tǒng)計(jì)物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數(shù)為零的原因。 (10分)2. 請說說你對玻耳茲曼分布的理解。 (10分)3. 等概率原理以及在統(tǒng)

3、計(jì)物理學(xué)中的地位。 (10分)三. 計(jì)算題(本題共 4 題，總共 49 分) 1. 一均勻桿的長度為 l，單位長度的定壓熱容量為 ，在初態(tài)時(shí)左端溫度為 t1，右端溫度為 t2，t1 t2，從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統(tǒng)，請計(jì)算桿達(dá)到均勻溫度分布后桿的熵增。（你可能要用到的積分公式為 ）(10分)2. 設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式： ，試證明其內(nèi)能和體積無關(guān)。(10分)3. 表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動，可以看作是二維氣體。請用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論計(jì)算：（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。(9分)（2）二維氣體分子的最概然速率。(4分)4. （1）證明，在二維情況下，對

4、于非相對論粒子，壓強(qiáng)和內(nèi)能的關(guān)系為： 這里， 是面積。這個(gè)結(jié)論對于玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都是成立的。（8分）（2）假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動，電子運(yùn)動為非相對論性的，面密度為 ，試求: 0 k 時(shí)電子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡并壓強(qiáng)。(8分)熱力學(xué). 統(tǒng)計(jì)物理（a卷）答案一. 填空題（本題共 7 題，每空 3 分，總共 21 分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 二. 簡答題(本題共 3 題，總共 30 分) 1. 請從微觀和統(tǒng)計(jì)物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數(shù)為零的原因。 (10分)答：（1）熱力學(xué)中研究的熱平衡輻射系統(tǒng)，是一個(gè)和腔壁達(dá)到熱力學(xué)平衡的系統(tǒng)，熱力學(xué)理論可

5、以證明，它的吉布斯函數(shù)為零。（2分）（2）從微觀角度看，平衡輻射場可以認(rèn)為是光子氣體，每一個(gè)單色平面波對應(yīng)于一個(gè)能量和動量確定的光子，腔壁中的輻射場對應(yīng)于能量和動量從零到無窮大連續(xù)取值的光子氣體。輻射場和腔壁不斷發(fā)生熱交換，從微觀角度來看，相當(dāng)于交換光子，因此，腔壁中的光子數(shù)不守恒。（2分）（3）光子是玻色子，滿足玻色分布。在確定玻色分布公式的時(shí)候，由于光子數(shù)不守恒，因此確定第一個(gè)拉氏乘子的條件不存在，從物理上理解，這個(gè)拉氏乘子就應(yīng)該為零，因?yàn)?，故化學(xué)勢為零。（4分）（4）化學(xué)勢即為摩爾吉布斯函數(shù)（或者單個(gè)光子的吉布斯函數(shù)），光子氣體的吉布斯函數(shù)等于摩爾數(shù)（或者平均分子數(shù)）乘上化學(xué)勢，因此光子

6、氣體的吉布斯函數(shù)為零。（2分）2. 請說說你對玻耳茲曼分布的理解。 (10分)答：（1）系統(tǒng)各個(gè)能級中的粒子數(shù)，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，稱為分布。物理上，需要在給定的分布下，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。（3分）（2）玻耳茲曼系統(tǒng)是這樣的一個(gè)系統(tǒng)，它的各個(gè)粒子是可以分辨的，因此，要確定玻耳茲曼的微觀狀態(tài)，就需要確定每一個(gè)粒子的微觀狀態(tài)，給出玻耳茲曼系統(tǒng)的一個(gè)分布，只是確定了每一個(gè)能級的粒子數(shù)，但是這些粒子是哪一些粒子并沒有確定。（3分）（3）由于等概率原理，在給定的宏觀狀態(tài)下，任何一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是一樣的。不同的分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不一樣的，因此，對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，這就是最概然分布

7、。玻耳茲曼系統(tǒng)的最概然分布就是玻耳茲曼分布。（4分）3. 等概率原理以及在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的地位。 (10分)答：（1）作為熱運(yùn)動的宏觀理論，熱力學(xué)討論的狀態(tài)是宏觀狀態(tài)，由幾個(gè)宏觀參量表征，例如對于一個(gè)孤立系統(tǒng)，可以用粒子數(shù)n、體積v 和能量e 來表征系統(tǒng)的平衡態(tài)，狀態(tài)參量給定之后，處于平衡態(tài)的系統(tǒng)的所有宏觀物理量都具有確定值。（2分）（2）系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是指構(gòu)成系統(tǒng)的每一個(gè)粒子的力學(xué)運(yùn)動狀態(tài)，顯然，在確定的宏觀狀態(tài)之下，系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)是大量的，而且微觀狀態(tài)不斷地發(fā)生及其復(fù)雜的變化，例如，對于一個(gè)沒有相互作用的系統(tǒng)中，總能量是由n 個(gè)單粒子能量的簡單求和得到的，因此，將會有大量不同的方式選擇個(gè)

8、別粒子的能量使其總和等于總能量。（2分）（3）等概率原理認(rèn)為：在任意時(shí)刻，該系統(tǒng)處于各個(gè)微觀態(tài)中的任意一個(gè)狀態(tài)都是同等可能的，也就是概率是一樣的。對于一個(gè)孤立系統(tǒng)，數(shù)學(xué)表述就是：設(shè)所有可能的微觀狀態(tài)的數(shù)目是粒子數(shù)n、體積v 和能量e的函數(shù)：，則每一個(gè)微觀狀態(tài)的概率為。（3分）（4）統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為，宏觀物理量是相應(yīng)的微觀物理量的系綜平均值，要求系綜平均值，就必須知道系統(tǒng)在各個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。等概率原理給出了孤立系統(tǒng)的各個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，因此，只要知道總的微觀狀態(tài)數(shù)，就可以計(jì)算各種宏觀物理量。這樣，等概率原理在連接宏觀物理量和相對應(yīng)的微觀物理量之間建立了一個(gè)可以計(jì)算的橋梁。當(dāng)然，實(shí)際上，對給

9、定的孤立系統(tǒng)，計(jì)算總的微觀狀態(tài)數(shù)一般是很困難的，但是它是分析其他問題（如分析正則分布和巨正則分布）的基礎(chǔ)，等概率原理也稱為微正則分。（3分）三. 計(jì)算題(本題共 4 題，總共 49 分) 1. 一均勻桿的長度為，單位長度的定壓熱容量為，在初態(tài)時(shí)左端溫度為 ，右端溫度為，從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統(tǒng)，請計(jì)算桿達(dá)到均勻溫度分布后桿的熵增。（你可能要用到的積分公式為。）(10分)答：設(shè)桿的初始狀態(tài)是左端溫度為 ，右端為，從左到右端，位于到的初始溫度為，達(dá)到平衡后溫度為，這一小段的熵增加值為：（4分） 根據(jù)熵的可加性，整個(gè)均勻桿的熵增加值為（6分）2. 設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式

10、：，試證明其內(nèi)能和體積無關(guān)。(10分)證明：以作為自變量，則熵的全微分為：（3分）利用熱力學(xué)基本微分方程，有：因此有： （3分）由麥?zhǔn)详P(guān)系代入上式，可以得到： 利用物態(tài)方程可以知：故有：（4分）得證。3. 表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動，可以看作是二維氣體。請用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論計(jì)算：（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。(9分)（2）二維氣體分子的最概然速率。(4分)答：玻耳茲曼分布的經(jīng)典表達(dá)式是（2分）在沒有外場時(shí)，二維情況下的分子質(zhì)心運(yùn)動能量的經(jīng)典表達(dá)式為在面積內(nèi)，分子質(zhì)心平動動量在范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為因此，在面積內(nèi)，分子質(zhì)心平動動量在范圍內(nèi)的分子數(shù)為參數(shù)由總分子數(shù)為的條件定出積分出，

11、得 因此，質(zhì)心動量在范圍內(nèi)的分子數(shù)為用速度作為變量，上式化為： 這就是在面積內(nèi)，分子在范圍內(nèi)的分子數(shù)。用表示單位面積內(nèi)的分子數(shù)，則在單位面積內(nèi)，速度在范圍內(nèi)的分子數(shù)為（5分）這就是二維情況下的速度分布律。歸一化條件為：化為極坐標(biāo)，并對角度進(jìn)行積分，可得二維情況下的速率分布律（2分）最概然速率滿足條件：由此得到：（4分）在這個(gè)速率附近，分子數(shù)最多。4.（1）證明，在二維情況下，對于非相對論粒子，壓強(qiáng)和內(nèi)能的關(guān)系為：這里，是面積。這個(gè)結(jié)論對于玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都是成立的。（8分）（2）假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動，電子運(yùn)動為非相對論性的，面密度為，試求 0 k 時(shí)電子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡并壓強(qiáng)。(8分)答：（1）不妨假設(shè)二維空間為正方形，邊長為，根據(jù)周期性邊界條件，二維自由粒子在和方向的動量分量的可能取值為：因此對于非相對論的自由粒子，能量為：以單一指標(biāo)代替，上式可以記為： 因此當(dāng)有個(gè)粒子存在時(shí)，產(chǎn)生的壓強(qiáng)為：（8分） （2）在面積內(nèi)，在內(nèi)，自