工程流體力學課件第6章：流體動力學第二部分

1、6.1 連續(xù)性方程 6.2 粘性流體的運動微分方程 6.3 葛羅米柯-斯托克斯方程 6.4 理想流體流動 6.5 平面勢流 6.6 簡單勢流的疊加 6.7流體對圓柱體的無環(huán)量繞流 6.8 流體對圓柱體的有環(huán)量繞流 6.9 流體繞圓球的流動 工程實例,第6章 流體動力學II,第6章 流體動力學II,教學提示：本章推導出微分形式的連續(xù)性方程和動量方程(運動方程)。本章是求解流場的基礎。本章的重點是微分形式的流體動力學基本方程及其求解條件。 教學要求：掌握微分形式基本方程的形式、物理意義和求解方法。,6.1 連續(xù)性方程,微分形式的連續(xù)性方程可以根據(jù)積分形式的連續(xù)性方程通過高斯定理得到。將積分形式的連

2、續(xù)性方程(5-9)變形為 根據(jù)數(shù)學上的高斯定理，一物理量在控制面上的面積分，等于該物理量的散度在控制面圍成的控制體積內的體積分，應用到(6-1)式，有,6.2 粘性流體的運動微分方程,6.2.1 運動方程的推導 實際流體是有粘性的，它阻礙流體微元形狀的改變。粘性流體中切應力的存在，不僅改變了阻礙流動的摩擦力，而且也影響了法向力的性質。 下面在流場中取出一微元平行六面體來推導粘性流體的運動微分方程。如圖6-1所示，微元平行六面體ABCD的邊長分別為 。A點的坐標為(x,y,z)，由于平行六面體是微元的，所以可以認為同一作用面上各點的應力相同。 在平行六面體的各個面上，任意點的表面力分為法向力和切

3、向力。假設法向力以外法線方向為正，而過A點的三個平面上的切向力方向與坐標軸方向相反，其它三個面上的切向向力的方向與坐標軸的方向相同。,在直角坐標系中，垂直于x軸的作用面AC上任意點的應力可分解為,6.2.2 納維-斯托克斯方程,1、應力和變形速度之間的關系 (1)切應力和角變形速度之間的關系 粘性流體運動時，由于各點的速度不同，運動過程中必然產(chǎn)生變形，引起切應力。切應力的大小由牛頓內摩擦定律給出,即流體微元的角變形速度等于垂直于流動方向上的速度梯度。所以牛頓內摩擦定律變?yōu)?即流體微元的角變形速度等于垂直于流動方向上的速度梯度。所以牛頓內摩擦定律變?yōu)?(2)法向應力 在理想流體中，不存在切應力，

4、因此任何一點的法向應力與作用面的方位無關，即同一點上各方向的應力均等于壓強p。 但是對于粘性流體，流體微元除了角變形之外，還存在線變形，即流體的拉伸和收縮，在法線方向上存在附加的法向應力。由于各方向線變形速度不同，各方向上的法向應力也不同，因此，粘性流體的法向應力為,2、納維-斯托克斯方程(N-S 方程),由于N-S方程的重要性，N-S方程和連續(xù)性方程一起被稱為描述流場的控制方程(Governing Equations)。 流體力學問題的解決，其難易程度與坐標系的選擇有很大關系。比如在求解流體繞圓柱體和球體流動時，采用圓柱坐標系( )和球坐標系( )更為簡便，因此下面給出圓柱坐標系和球坐標系中

5、的N-S方程。 圓柱坐標系如圖6-3所示。在圓柱坐標系N-S方程為,3、有關N-S方程的說明 N-S方程是流體力學中具有普遍意義的微分方程，對于不可壓縮牛頓流體普遍適用。所謂解流場通常就是求解N-S方程。有關N-S方程，有以下幾點需要注意：,6.3 葛羅米柯-斯托克斯方程,為了便于看出N-S方程在什么情況下可以積分,6.4 理想流體流動,在N-S方程中，粘性力項包含二階偏導數(shù)，是求解N-S方程的主要困難所在。但是對于一些常見流體，比如水和空氣，粘性很小，在某些情況下忽略其粘性是合理的。忽略了粘性后的N-S方程，求解要容易得多。我們稱忽略了粘性的流體為理想流體(Ideal fluids/Invi

6、scid fluid/Nonviscous fluid/Frictionless fluid)。 由于粘性力為零，因此理想流體中的法向應力與方向無關，即 式中的負號表示壓力P垂直指向作用面。 在5.6節(jié)，我們從積分形式的能量方程出發(fā)，推導出了伯努利方程。在這一節(jié)，我們將從N-S方程出發(fā)，重新推導出伯努利方程，并作為一個特例，在一些假設的前提下給出N-S方程的解析解。,6.4.1 歐拉運動微分方程,對于理想流體，粘性力為零，因此N-S方程簡化為,6.4.2伯努利方程,需要強調指出的是，伯努利方程有以下適用條件限制： (1)質量立只有重力； (2)理想流體； (3)穩(wěn)定流動； (4)不可壓縮流體；

7、 (5)沿流線。,6.4.3 無旋流動的伯努利方程,除了無旋流動外，6.4.2節(jié)中的其他限制條件照樣需要，即伯努利方程的適用條件為： (1)質量立只有重力； (2)理想流體； (3)穩(wěn)定流動； (4)不可壓縮流體； (5)無旋流動。,6.4.4 速度勢函數(shù),6.5 平面勢流,6.5.1 流函數(shù),對于不可壓縮流體的平面勢流，存在連續(xù)性方程,6.5.2 基本平面勢流,在本節(jié)中，我們將引入三種基本的平面勢流：均勻流動、點源和點匯、自由渦。 1、均勻流動(Uniform flow) 最簡單的平面流動是流線為彼此平行的直線，流速大小恒定不變的流動，稱這種流動為均勻流動(Uniform flow)，如圖6

8、-7所示。,2、點源和點匯 稱流體由一點沿徑向向外所作的對稱直線流動為點源，此點為源點，稱流體由四周沿徑向一點所作的對稱直線流動為點匯，此點為匯點，如圖6-8所示。 如果流體流過任一半徑r處單位厚度的流量為q，則在極坐標中，源(匯)的徑向速度為,2、點渦和環(huán)流 當渦束的半徑趨于零時，渦束變成了一條渦線，垂直于無限長渦線的各平行平面中的流動稱為點渦(Point Vortex)，又稱為自由渦(Free Vortex)。 若繞包圍點渦的任一封閉曲線的速度環(huán)量為 (稱為點渦的強度)，則速度分量為,6.6 簡單勢流的疊加,研究勢流的目的在于求解反映運動特征的速度勢函數(shù) 和流函數(shù) ，然后由速度勢函數(shù)或流函

9、數(shù)求解流場，但是當流動比較復雜時，求解反映運動特征的速度勢函數(shù)和流函數(shù)十分困難。一個簡便的途徑是將復雜的勢流分解成簡單的勢流的疊加，求解簡單勢流速度勢函數(shù)和流函數(shù)，然后求解簡單勢流的流場，再由簡單勢流的流場求解復雜勢流的流場?？梢宰C明，任意幾個簡單勢流,6.6.1 偶極流,如圖6-9所示，為一位于A點(-a,0)的點源和位于B點(a,0)的點匯疊加后的流動圖形。疊加后的流場的速度勢為,6.6.2 螺旋流,在離心式噴油嘴、除塵器等設備中，流體自然沿圓周切向進入，最終從中央軸線方向流出，這樣的流動可以看成是點匯和點渦的疊加。設環(huán)流方向為逆時針方向，q為點匯的強度， 為點渦的強度，則點匯和點渦疊加后

10、的流場的速度勢和流函數(shù)分別為,6.7流體對圓柱體的無環(huán)量繞流,在解理想不可壓縮流體的平面勢流問題中主要是繞流問題，其中平行流繞流圓柱流動是最基本的問題之一。 1速度勢函數(shù)和流函數(shù) 設有一平行于 軸的均勻直線流動，在無窮遠處的速度為 ，其速度勢函數(shù)和流流函數(shù)分布為,2速度場 為了分析流動特點和速度的變化規(guī)律，求得流場速度為,由此可見，流體作用在圓柱表面上的壓強合力為零，即圓柱體上既無平行于來流方向的阻力作用，也無垂直于來流方向的升力作用。只要勢流流經(jīng)物體時不形成旋渦或分離，這一結論可以推廣到任意物體的繞流(Round flow)。因此，假設在理想流體的均勻恒定流動中放置任意物體，而流過此物體時既

11、不分離，也沒有形成環(huán)量，則流體作用在物體上的壓強合力應等于零，即該物體在流場中不受阻力作用。這一理論推得的結果與觀察實驗得到的結果有很大矛盾，1750年法國科學家達朗貝爾首次發(fā)現(xiàn)這一矛盾，故稱之為達朗貝爾佯謬。 理想流體的假定引起了這一矛盾。實際上，當流體繞流物體時，由于實際流體或多或少都具有粘性，緊貼柱面處即存在邊界層，固體邊壁附近摩擦阻力的影響不可忽略，不應看成是理想流體。,6.8 流體對圓柱體的有環(huán)量繞流,1.速度勢函數(shù)和流函數(shù) 平行流對圓柱體的有環(huán)量繞流，由流體對圓柱體的無環(huán)量繞流與點渦感生的純環(huán)流疊加而成。當流體繞物體的流動有環(huán)量時，速度和壓力的對稱性被破壞，將出現(xiàn)壓強的合力，環(huán)量的生成是產(chǎn)生合力的根源。 平行流對圓柱體有環(huán)量繞流的速度勢函數(shù)為,6.9 流體繞圓球的流動,流體繞球體的流動是一個空間流動問題。但是，圓球