線性代數(shù)第2講.ppt

1、2020/9/13,1,線性代數(shù)第2講,行列式的計算, 克萊姆法則,2020/9/13,2,例1 上三角行列式(ij時, aij=0),這是因為上三角行列式的轉(zhuǎn)置是下三角行列式.,2020/9/13,3,例2 計算4階行列式,解,2020/9/13,4,2020/9/13,5,2020/9/13,6,例3,2020/9/13,7,2020/9/13,8,例4 行列式D= 的元素滿足aij=-aji (i,j=1,2,.,n), 就稱D是反對稱行列式, 證明奇數(shù)階反對稱行列式的值為零.證 設(shè),將D轉(zhuǎn)置再每一行都乘-1.,2020/9/13,9,2020/9/13,10,例5 證明,證 把左端行列

2、式的第2,3列加到第1列,提取公因子2,再把第1列乘-1加到第2,3列得,2020/9/13,11,例6 計算n階行列式,解 把各列都加到第一列, 提出第一列的公因子x+(n-1)a, 然后將第一行乘-1分別加到其余各行, D就化為上三角行列式.,2020/9/13,12,2020/9/13,13,例8 證明范德蒙行列式,2020/9/13,14,例如,2020/9/13,15,證 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n=2時,結(jié)論成立. 假設(shè)結(jié)論對n-1階范德蒙行列式成立, 證明對n階范德蒙行列式結(jié)論也成立. 在Vn中, 從第n行起, 依次將前一行乘-x1加到后一行, 得,2020/9/13,16,按第一

3、列展開, 并分別提取公因子, 得,2020/9/13,17,根據(jù)歸納假設(shè)可得結(jié)論.,2020/9/13,18,1.3 克萊姆(Cramer)法則,2020/9/13,19,定理(Cramer法則) 設(shè)線性齊次方程組,或簡記為,2020/9/13,20,其系數(shù)行列式,則方程組(1.23)有唯一解,2020/9/13,21,其中Dj是用常數(shù)項b1,b2,.,bn替換D中第j列所成的行列式, 即,2020/9/13,22,證 先證(1.25)是方程組(1.23)的解, 根據(jù)(1.26)式,其中Akj是系數(shù)行列式中元素akj的代數(shù)余子式. 將,2020/9/13,23,得,2020/9/13,24,證

4、解的唯一性, 設(shè)c1,c2,.,cn是一組解, 即,在上面n個等式兩端, 分別依次乘A1j,A2j,., Anj,然后再把這n個等式的兩端相加, 得,2020/9/13,25,上式左端除cj的系數(shù)為D外c1,.,cn的系數(shù)全為零, 右端等于Dj, 因此Dcj=Dj, 故,分別取j=1,2,.,n就證明了解的唯一性.,2020/9/13,26,推論1 若齊次線性方程組,推論2 齊次線性方程組,2020/9/13,27,用Cramer法則求解系數(shù)行列式不等于零的n元非齊次線性方程組, 需要計算n+1個n階行列式, 它的計算工作量很大. 實際上關(guān)于數(shù)字系數(shù)的線性方程組(包括系數(shù)行列式等于零及方程個數(shù)

5、和未知量個數(shù)不相同的線性方程組)的解法, 一般都采用第2章中介紹的高斯消元法. Cramer法則主要是從理論上具有重要意義, 特別是它明確地揭示了方程組的解和系數(shù)之間的關(guān)系.,2020/9/13,28,例1 已知三次曲線y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在四個點x=1, x=2處的值為: f(1)=f(-1)=f(2)=6, f(-2)=-6, 試求其系數(shù)a0,a1,a2,a3.解 將三次曲線在4點處的值代入其方程, 得到關(guān)于a0,a1,a2,a3的非齊次線性方程組,2020/9/13,29,它的系數(shù)行列式為范德蒙行列式,2020/9/13,30,2020/9/13,31,2020

6、/9/13,32,所以a0=8, a1=-1, a2=-2, a3=1, 即所求的三次曲線方程為f(x)=8-x-2x2+x3.由上述解題過程可知, 過n+1個x坐標(biāo)不同的點(xi,yi), i=1,2,.,n+1, 可以唯一地確定一個n次曲線的方程y=a0+a1x+a2x2+.+anxn.,2020/9/13,33,例2 求四個平面aix+biy+ciz+di=0(i=1,2,3,4)相交于一點的充分必要條件.解 把平面方程寫成aix+biy+ciz+dit=0,其中t=1, 于是四個平面交于一點, 即x,y,z,t的齊次線性方程組,2020/9/13,34,有唯一的一組非零解(x0,y0,z0,1), 根據(jù)齊次線