《信度理論》PPT課件.ppt

1、第七章信度理論,因此，信度理論就是研究這種加權過程的理論，包括信度權重公式的推導，以及對公式中出現(xiàn)的參數(shù)進行估計等內容。,當Z的值接近1時，表明實際損失數(shù)據(jù)提供的信息相當充分，據(jù)此足以獲得正確的估費。而當Z的值接近0時，則只能基于先驗信息估計，得到先驗保費的估計值。 特別的，當Z=1時，稱為完全信度（Full Credibility）。此時，只需根據(jù)實際損失數(shù)據(jù)，利用區(qū)間估計的方法計算保險費。 一般的，當0Z1時，稱為部分信度（Partial Credibility）。在此種情況下，就需要研究如何合理確定Z值。,信度理論（Credibility Theory）萌芽于20世紀20年代，至今已有8

2、0年的歷史。最早的信度理論被意外險精算師應用于計算勞工賠償保險費率。 信度理論泛指在獲得索賠記錄時系統(tǒng)地調整保險費率的各種概念和方法。當從一組保險合同中獲得的數(shù)據(jù)不充分，因而無法提供風險費率的可靠估計時，就需要用到信度理論的方法。,信度理論在非壽險精算理論與實務中具有重要地位。非壽險合同是補償性合同，非壽險的損失與每個賠案的具體情況以及相應的法規(guī)情況密切相關，因而損失經(jīng)驗需要經(jīng)常修正以適應不斷變化的外部環(huán)境。非壽險精算師在厘定費率時，既要依據(jù)過去的經(jīng)驗（先驗信息），也要根據(jù)風險情況的新變化加以調整。這是由非壽險經(jīng)營的連續(xù)性所決定的。同時，在非壽險精算中，一般不要求所有的估計都是無偏估計，只要求

3、若干個估計的總合是無偏的，這就是需要采用信度方法對各個估計進行合理的加權。,信度理論在精算科學中的應用可分為兩種類型,第一類是橫向應用，即在估計某個保險人、某風險類別或某個地區(qū)的索賠頻率、索賠額或總損失時，若最相關的數(shù)據(jù)不充分，則可將該數(shù)據(jù)與從更為廣泛的群體中得到的輔助性數(shù)據(jù)加以求和，這種輔助性數(shù)據(jù)可由其它風險類別、地區(qū)或其他保險人的經(jīng)驗得到。 第二類是縱向應用，也就是將信度方法用于時間序列，將序列本身早期的數(shù)據(jù)作為輔助性數(shù)據(jù)，與最新的觀察值作加權平均，得到我們所需要的估計值。例如，在汽車損失險中，保險公司將上一年度損失頻率和原有費率利用信度方法進行加權平均，得到更適應新情況的費率。,信度理論

4、有兩種基本方法：,有限波動（Limited Fluctuation）信度，旨在控制數(shù)據(jù)中隨機波動對估計的影響。 最大精度（Greatest Accuracy）信度，試圖使估計誤差盡可能的小。在最大精度信度方法中發(fā)展最完善的方法是最小平方信度（Least Squares Credibility），它力圖使估計誤差平方的期望值最小。,值得注意的是，在現(xiàn)代統(tǒng)計理論中也有許多用數(shù)據(jù)來調整更新前期估計的方法，如貝葉斯分析（Bayesian Analysis）方法。信度理論和貝葉斯分析一樣，也同樣用于修正先驗信息，因此，信度尤其是最小平方信度有時也稱為貝葉斯信度。,7.2 平衡 模型,組間平方和（記為SS

5、B ）,問題：,方法：方差分析（ANOVA）,組內平方和（記為SSW ）,檢驗統(tǒng)計量,例7.2.1 （一個非齊次保單組合）設我們有如下的對3 個組5 年的觀測數(shù)據(jù)：,結論是這些數(shù)據(jù)表明每組的平均理賠不全相等,模型改進：把理賠統(tǒng)計量作如下分解,其 中 和，是兩個獨立的隨機變量，滿足,我們稱這樣的模型為方差分量模型,模型中每個分量的解釋如下：,1 是總平均，它等于該保單組合中任何一個保單持有人的理賠額的期望值,2. 表示第 j 個合同 j 的理賠與第 個合同理賠均值之間的隨機偏差 .,3. 分量 ,表示理賠偏離長期平均值的大小,定理7 . 2 . 2 （平衡 模型；齊次估計量）設合同J 在時間段t

6、 的理賠額 可以表示為如下的獨立隨機分量之和：,的最佳無偏預報量等于信度保費,其中,是最優(yōu)信度因子,是 m 的整體估計，且,是 m 的組內估計值。,這個關于z的二次多項式當在z取如下值時達最?。?上面最后一個等號可以通過檢驗或補充如下一些必要的協(xié)方差的形式來證明,注7.2.3（最優(yōu)信度因子的漸近性）,其中,這個均方誤差可以改寫成如下方差加上平方偏差之和：,估計量必然是無偏的,右邊的第一項可以被改寫為,它有一個最優(yōu)值,例7 . 2 . 5 （例7.2.1中的信度估計）,EMSB=aT+s2,EMSW=s2,例7.2.1最終的信度因子,注7 . 2 . 6 （估計風險保費）,對每一個隨機變量Y ，

7、我們有,7 . 3 更一般的信度模型,注7.3.3 （通過一些風險參數(shù)來參數(shù)化）方差分量模型,即使在放松了一些獨立性假設后在實際應用中有時仍顯過于苛刻,這是一個交叉分類模型,7 . 4 模型,( 模型）,我們需要用到下面一些記號:,這些最優(yōu)值給出了風險保費 的最小均方誤差估計量如下,該最優(yōu)值是,和 的估計量分別基于下面的組間加權平方和,以及組內加權平方和,下面的定理要推導出一些無偏估計量，它們不依賴于通常未知的這些參數(shù),定理7.4.2 （無偏參數(shù)估計）在 模型中,統(tǒng)計量,是對應的結構參數(shù)的無偏估計量,證明: 的證明是顯然的,對于 我們有,注7.4.3（估計量的負性）,7.5 關于汽車保險理賠次數(shù)的負二項模型,可以證明,在伽瑪 - 泊松模型中，和的極大似然估計 和為,且 是如下方程的解：,利用本節(jié)的模型，我們想盡可能準確地預測一個保單持有人在接下來的時間段 產生的理賠次數(shù),接下來一年理賠次數(shù)的最佳預報量是 的后驗期望：,預報（7.5