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1、第七章信度理論,因此,信度理論就是研究這種加權(quán)過(guò)程的理論,包括信度權(quán)重公式的推導(dǎo),以及對(duì)公式中出現(xiàn)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)等內(nèi)容。,當(dāng)Z的值接近1時(shí),表明實(shí)際損失數(shù)據(jù)提供的信息相當(dāng)充分,據(jù)此足以獲得正確的估費(fèi)。而當(dāng)Z的值接近0時(shí),則只能基于先驗(yàn)信息估計(jì),得到先驗(yàn)保費(fèi)的估計(jì)值。 特別的,當(dāng)Z=1時(shí),稱為完全信度(Full Credibility)。此時(shí),只需根據(jù)實(shí)際損失數(shù)據(jù),利用區(qū)間估計(jì)的方法計(jì)算保險(xiǎn)費(fèi)。 一般的,當(dāng)0Z1時(shí),稱為部分信度(Partial Credibility)。在此種情況下,就需要研究如何合理確定Z值。,信度理論(Credibility Theory)萌芽于20世紀(jì)20年代,至今已有8
2、0年的歷史。最早的信度理論被意外險(xiǎn)精算師應(yīng)用于計(jì)算勞工賠償保險(xiǎn)費(fèi)率。 信度理論泛指在獲得索賠記錄時(shí)系統(tǒng)地調(diào)整保險(xiǎn)費(fèi)率的各種概念和方法。當(dāng)從一組保險(xiǎn)合同中獲得的數(shù)據(jù)不充分,因而無(wú)法提供風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)率的可靠估計(jì)時(shí),就需要用到信度理論的方法。,信度理論在非壽險(xiǎn)精算理論與實(shí)務(wù)中具有重要地位。非壽險(xiǎn)合同是補(bǔ)償性合同,非壽險(xiǎn)的損失與每個(gè)賠案的具體情況以及相應(yīng)的法規(guī)情況密切相關(guān),因而損失經(jīng)驗(yàn)需要經(jīng)常修正以適應(yīng)不斷變化的外部環(huán)境。非壽險(xiǎn)精算師在厘定費(fèi)率時(shí),既要依據(jù)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)(先驗(yàn)信息),也要根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)情況的新變化加以調(diào)整。這是由非壽險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)的連續(xù)性所決定的。同時(shí),在非壽險(xiǎn)精算中,一般不要求所有的估計(jì)都是無(wú)偏估計(jì),只要求
3、若干個(gè)估計(jì)的總合是無(wú)偏的,這就是需要采用信度方法對(duì)各個(gè)估計(jì)進(jìn)行合理的加權(quán)。,信度理論在精算科學(xué)中的應(yīng)用可分為兩種類型,第一類是橫向應(yīng)用,即在估計(jì)某個(gè)保險(xiǎn)人、某風(fēng)險(xiǎn)類別或某個(gè)地區(qū)的索賠頻率、索賠額或總損失時(shí),若最相關(guān)的數(shù)據(jù)不充分,則可將該數(shù)據(jù)與從更為廣泛的群體中得到的輔助性數(shù)據(jù)加以求和,這種輔助性數(shù)據(jù)可由其它風(fēng)險(xiǎn)類別、地區(qū)或其他保險(xiǎn)人的經(jīng)驗(yàn)得到。 第二類是縱向應(yīng)用,也就是將信度方法用于時(shí)間序列,將序列本身早期的數(shù)據(jù)作為輔助性數(shù)據(jù),與最新的觀察值作加權(quán)平均,得到我們所需要的估計(jì)值。例如,在汽車損失險(xiǎn)中,保險(xiǎn)公司將上一年度損失頻率和原有費(fèi)率利用信度方法進(jìn)行加權(quán)平均,得到更適應(yīng)新情況的費(fèi)率。,信度理論
4、有兩種基本方法:,有限波動(dòng)(Limited Fluctuation)信度,旨在控制數(shù)據(jù)中隨機(jī)波動(dòng)對(duì)估計(jì)的影響。 最大精度(Greatest Accuracy)信度,試圖使估計(jì)誤差盡可能的小。在最大精度信度方法中發(fā)展最完善的方法是最小平方信度(Least Squares Credibility),它力圖使估計(jì)誤差平方的期望值最小。,值得注意的是,在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)理論中也有許多用數(shù)據(jù)來(lái)調(diào)整更新前期估計(jì)的方法,如貝葉斯分析(Bayesian Analysis)方法。信度理論和貝葉斯分析一樣,也同樣用于修正先驗(yàn)信息,因此,信度尤其是最小平方信度有時(shí)也稱為貝葉斯信度。,7.2 平衡 模型,組間平方和(記為SS
5、B ),問(wèn)題:,方法:方差分析(ANOVA),組內(nèi)平方和(記為SSW ),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,例7.2.1 (一個(gè)非齊次保單組合)設(shè)我們有如下的對(duì)3 個(gè)組5 年的觀測(cè)數(shù)據(jù):,結(jié)論是這些數(shù)據(jù)表明每組的平均理賠不全相等,模型改進(jìn):把理賠統(tǒng)計(jì)量作如下分解,其 中 和,是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量,滿足,我們稱這樣的模型為方差分量模型,模型中每個(gè)分量的解釋如下:,1 是總平均,它等于該保單組合中任何一個(gè)保單持有人的理賠額的期望值,2. 表示第 j 個(gè)合同 j 的理賠與第 個(gè)合同理賠均值之間的隨機(jī)偏差 .,3. 分量 ,表示理賠偏離長(zhǎng)期平均值的大小,定理7 . 2 . 2 (平衡 模型;齊次估計(jì)量)設(shè)合同J 在時(shí)間段t
6、 的理賠額 可以表示為如下的獨(dú)立隨機(jī)分量之和:,的最佳無(wú)偏預(yù)報(bào)量等于信度保費(fèi),其中,是最優(yōu)信度因子,是 m 的整體估計(jì),且,是 m 的組內(nèi)估計(jì)值。,這個(gè)關(guān)于z的二次多項(xiàng)式當(dāng)在z取如下值時(shí)達(dá)最?。?上面最后一個(gè)等號(hào)可以通過(guò)檢驗(yàn)或補(bǔ)充如下一些必要的協(xié)方差的形式來(lái)證明,注7.2.3(最優(yōu)信度因子的漸近性),其中,這個(gè)均方誤差可以改寫成如下方差加上平方偏差之和:,估計(jì)量必然是無(wú)偏的,右邊的第一項(xiàng)可以被改寫為,它有一個(gè)最優(yōu)值,例7 . 2 . 5 (例7.2.1中的信度估計(jì)),EMSB=aT+s2,EMSW=s2,例7.2.1最終的信度因子,注7 . 2 . 6 (估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)),對(duì)每一個(gè)隨機(jī)變量Y ,
7、我們有,7 . 3 更一般的信度模型,注7.3.3 (通過(guò)一些風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)來(lái)參數(shù)化)方差分量模型,即使在放松了一些獨(dú)立性假設(shè)后在實(shí)際應(yīng)用中有時(shí)仍顯過(guò)于苛刻,這是一個(gè)交叉分類模型,7 . 4 模型,( 模型),我們需要用到下面一些記號(hào):,這些最優(yōu)值給出了風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi) 的最小均方誤差估計(jì)量如下,該最優(yōu)值是,和 的估計(jì)量分別基于下面的組間加權(quán)平方和,以及組內(nèi)加權(quán)平方和,下面的定理要推導(dǎo)出一些無(wú)偏估計(jì)量,它們不依賴于通常未知的這些參數(shù),定理7.4.2 (無(wú)偏參數(shù)估計(jì))在 模型中,統(tǒng)計(jì)量,是對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量,證明: 的證明是顯然的,對(duì)于 我們有,注7.4.3(估計(jì)量的負(fù)性),7.5 關(guān)于汽車保險(xiǎn)理賠次數(shù)的負(fù)二項(xiàng)模型,可以證明,在伽瑪 - 泊松模型中,和的極大似然估計(jì) 和為,且 是如下方程的解:,利用本節(jié)的模型,我們想盡可能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)一個(gè)保單持有人在接下來(lái)的時(shí)間段 產(chǎn)生的理賠次數(shù),接下來(lái)一年理賠次數(shù)的最佳預(yù)報(bào)量是 的后驗(yàn)期望:,預(yù)報(bào)(7.5
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