8鑲嵌（3）.ppt

1、,觀察以下圖案，說明它們都是由哪些幾何圖形組成？,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,觀察以下圖案，說明它們都是由哪些幾何圖形組成？,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,鑲嵌：用形狀相同或不同的平面封閉圖形把一塊地既無縫隙又不重疊地全部覆蓋，在幾何里叫做平面鑲嵌。多邊形的鑲嵌有兩類情況：（1）有些圖案中的多邊形的頂點在另一個多邊形的邊上。（2）有些鑲嵌中的多邊形頂點不落在另一個多邊形的邊上。即項點與頂點重合，邊與邊重合。我們在初中僅探討第二種情況。,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,如果讓你設計幾種地板圖案要解決如下問題： 問題1：如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面？ 問題2 ：

2、如果允許用幾種正多邊形組合起來鑲嵌（討論頂點與頂點重合的情況），由哪幾種正多邊形組合起來能鑲嵌成一個平面？,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,1、什么是平面鑲嵌？ 2、你能只用一種多邊形（如正三角形，正四邊形，正六邊形）拼成一個地面嗎？（用自制的正三角形，正方形，正六邊形紙片進行實驗） 3、你能只用一種正五邊形拼成一個地面嗎？（用自制的正五邊形進行實驗） 4、為什么正五邊形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一個地面條件是什么？ 5、試用數(shù)學知識推導，只用一種正多邊形進行平面鑲嵌，有幾種方法？ 6、任意的三角形，任意的四邊形均可鑲嵌成一個地面嗎？,閱讀課本，思考下列問題，并用紙片進行拼圖試驗,

3、解得,僅用正多邊形進行鑲嵌，要嵌成一個平面，必須要求在公共頂點上所有內角和為360度。令正多邊形的邊數(shù)為n,個數(shù)為m,則有,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,（1） 正三角形的平面鑲嵌,60,60,60,60,60,60,注：n指邊數(shù)，k指同一頂點的正多邊形個數(shù)。,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,（2） 正方形的平面鑲嵌,90,注：n、 k分別指同一頂點的正多邊形邊數(shù)、個數(shù)。,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,（3） 正六邊形的平面鑲嵌,120 ,120 ,120 ,注：n指邊數(shù)，k指同一頂點的正多邊形個數(shù)。,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,因為正五邊形的內角不能組成360的角，而正三角形的內角能

4、組成360的角。,而三角形的內角為180度，兩個180度為360度，任意四邊形的內角和為360度，所以三角形，四邊形均可鑲嵌成平面。,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,只用一種正多邊形進行鑲嵌，只有（6，6，6）；（4，4，4，4）；（3，3，3，3，3，3）三種情形。那么，如果用兩種正邊形進行鑲嵌，又有幾種情況呢？請嘗試,1）試用正三角形與正方形進行平面鑲嵌，（先用紙片進行實驗，再理論解釋） 2）試用正三角形與正六邊形進行平面鑲嵌，先理論探討有幾種情況，再用紙片進行拼圖,設在一個頂點周圍有m個正三角形，n個正方形的角，則記作（3，3，3，4，4）,注意：同一個組

5、合會有不同的鑲嵌效果,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,設在一個頂點周圍有m個正三角形，n個正六邊形的角，則記作（3，3，3，6）；（3，3，6，6）,（3，3，3，6）見第三頁,（3，3，6，6）見第四頁,(1)、正多邊形的頂點在另一個正多邊形的邊上,頂點與頂點重合的情形,（1）正三角形與正方形,注：m、 n分別指同一頂點處正三角形、正方形的個數(shù)。,圖案,注意：同一個組合會有不同的鑲嵌效果,120,120,60,60,(2)正三角形與正六邊形的平面鑲嵌,圖案（）,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,(2)正三角形與正六邊形的平面鑲嵌,圖案（）,60,60,120,6

6、0,60,每個頂點處正六邊形1個，正三角形4個.,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,1、如果用正三角形與正十二邊形，如何鑲嵌？ 2、如果用正四邊形與正八邊形，如何鑲嵌？ 3、如果用三個正多邊形，又有幾種情況呢？Page23 4、如果一個正多邊形的頂點在另一個多邊形的邊上，要滿足何種條件呢，才可鑲嵌成一個平面呢？Page45 相關答案請見第一至第六頁。,思考與引伸,第五頁,如果一個正多邊形的頂點在另一個多邊形的邊上，要滿足何種條件，才可鑲嵌成一個平面呢？,因為正多邊形的內角和為，一條邊上有k個內角，由于這些內角和為180度，有,記作（3，3，3）(4，4，4，4)

7、圖形見第五頁,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,第五頁,(1)、正多邊形的頂點在另一個正多邊形的邊上,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,第五頁,(3)三種正多邊形的平面鑲嵌,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,第五頁,(3)三種正多邊形的平面鑲嵌,正十二邊形與正三角形的平面鑲嵌,正十二邊形與正方形、正五邊形的平面鑲嵌,圖例,第一頁,第二頁,第三頁,第四頁,第五頁,資料1：用正多邊形進行平面鑲嵌只有以下這17組解。 有書記載說明這17組解是1924年一個叫波爾亞的人給出的。實際上早在此之前，西班牙阿爾漢布拉宮的裝飾已經一個不少地制出了這些圖樣，真是令人嘆為觀止。,第一頁,第二頁,資料2：石子路鑲嵌圖案最多的圖林 在北京故官御花園內，有許多顏色不同的細石子砌成的各種美麗圖案的花石子路，據(jù)統(tǒng)計全園花石子路上的圖案約有900幅，可以說是中國擁有石子路鑲嵌圖案最多的圖林了。這些石子路圖案的組成，是把全園作為一個整體來考慮設計的，因此顯得極為