8鑲嵌（3）.ppt

1、,觀察以下圖案，說(shuō)明它們都是由哪些幾何圖形組成？,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),觀察以下圖案，說(shuō)明它們都是由哪些幾何圖形組成？,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),鑲嵌：用形狀相同或不同的平面封閉圖形把一塊地既無(wú)縫隙又不重疊地全部覆蓋，在幾何里叫做平面鑲嵌。多邊形的鑲嵌有兩類情況：（1）有些圖案中的多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)多邊形的邊上。（2）有些鑲嵌中的多邊形頂點(diǎn)不落在另一個(gè)多邊形的邊上。即項(xiàng)點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，邊與邊重合。我們?cè)诔踔袃H探討第二種情況。,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),如果讓你設(shè)計(jì)幾種地板圖案要解決如下問(wèn)題： 問(wèn)題1：如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面？ 問(wèn)題2 ：

2、如果允許用幾種正多邊形組合起來(lái)鑲嵌（討論頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合的情況），由哪幾種正多邊形組合起來(lái)能鑲嵌成一個(gè)平面？,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),1、什么是平面鑲嵌？ 2、你能只用一種多邊形（如正三角形，正四邊形，正六邊形）拼成一個(gè)地面嗎？（用自制的正三角形，正方形，正六邊形紙片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)） 3、你能只用一種正五邊形拼成一個(gè)地面嗎？（用自制的正五邊形進(jìn)行實(shí)驗(yàn)） 4、為什么正五邊形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一個(gè)地面條件是什么？ 5、試用數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)，只用一種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌，有幾種方法？ 6、任意的三角形，任意的四邊形均可鑲嵌成一個(gè)地面嗎？,閱讀課本，思考下列問(wèn)題，并用紙片進(jìn)行拼圖試驗(yàn),

3、解得,僅用正多邊形進(jìn)行鑲嵌，要嵌成一個(gè)平面，必須要求在公共頂點(diǎn)上所有內(nèi)角和為360度。令正多邊形的邊數(shù)為n,個(gè)數(shù)為m,則有,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),（1） 正三角形的平面鑲嵌,60,60,60,60,60,60,注：n指邊數(shù)，k指同一頂點(diǎn)的正多邊形個(gè)數(shù)。,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),（2） 正方形的平面鑲嵌,90,注：n、 k分別指同一頂點(diǎn)的正多邊形邊數(shù)、個(gè)數(shù)。,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),（3） 正六邊形的平面鑲嵌,120 ,120 ,120 ,注：n指邊數(shù)，k指同一頂點(diǎn)的正多邊形個(gè)數(shù)。,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),因?yàn)檎暹呅蔚膬?nèi)角不能組成360的角，而正三角形的內(nèi)角能

4、組成360的角。,而三角形的內(nèi)角為180度，兩個(gè)180度為360度，任意四邊形的內(nèi)角和為360度，所以三角形，四邊形均可鑲嵌成平面。,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),只用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，只有（6，6，6）；（4，4，4，4）；（3，3，3，3，3，3）三種情形。那么，如果用兩種正邊形進(jìn)行鑲嵌，又有幾種情況呢？請(qǐng)嘗試,1）試用正三角形與正方形進(jìn)行平面鑲嵌，（先用紙片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，再理論解釋） 2）試用正三角形與正六邊形進(jìn)行平面鑲嵌，先理論探討有幾種情況，再用紙片進(jìn)行拼圖,設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形，n個(gè)正方形的角，則記作（3，3，3，4，4）,注意：同一個(gè)組

5、合會(huì)有不同的鑲嵌效果,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形，n個(gè)正六邊形的角，則記作（3，3，3，6）；（3，3，6，6）,（3，3，3，6）見(jiàn)第三頁(yè),（3，3，6，6）見(jiàn)第四頁(yè),(1)、正多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)正多邊形的邊上,頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合的情形,（1）正三角形與正方形,注：m、 n分別指同一頂點(diǎn)處正三角形、正方形的個(gè)數(shù)。,圖案,注意：同一個(gè)組合會(huì)有不同的鑲嵌效果,120,120,60,60,(2)正三角形與正六邊形的平面鑲嵌,圖案（）,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),(2)正三角形與正六邊形的平面鑲嵌,圖案（）,60,60,120,6

6、0,60,每個(gè)頂點(diǎn)處正六邊形1個(gè)，正三角形4個(gè).,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),1、如果用正三角形與正十二邊形，如何鑲嵌？ 2、如果用正四邊形與正八邊形，如何鑲嵌？ 3、如果用三個(gè)正多邊形，又有幾種情況呢？Page23 4、如果一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)多邊形的邊上，要滿足何種條件呢，才可鑲嵌成一個(gè)平面呢？Page45 相關(guān)答案請(qǐng)見(jiàn)第一至第六頁(yè)。,思考與引伸,第五頁(yè),如果一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)多邊形的邊上，要滿足何種條件，才可鑲嵌成一個(gè)平面呢？,因?yàn)檎噙呅蔚膬?nèi)角和為，一條邊上有k個(gè)內(nèi)角，由于這些內(nèi)角和為180度，有,記作（3，3，3）(4，4，4，4)

7、圖形見(jiàn)第五頁(yè),第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),第五頁(yè),(1)、正多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)正多邊形的邊上,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),第五頁(yè),(3)三種正多邊形的平面鑲嵌,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),第五頁(yè),(3)三種正多邊形的平面鑲嵌,正十二邊形與正三角形的平面鑲嵌,正十二邊形與正方形、正五邊形的平面鑲嵌,圖例,第一頁(yè),第二頁(yè),第三頁(yè),第四頁(yè),第五頁(yè),資料1：用正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌只有以下這17組解。 有書記載說(shuō)明這17組解是1924年一個(gè)叫波爾亞的人給出的。實(shí)際上早在此之前，西班牙阿爾漢布拉宮的裝飾已經(jīng)一個(gè)不少地制出了這些圖樣，真是令人嘆為觀止。,第一頁(yè),第二頁(yè),資料2：石子路鑲嵌圖案最多的圖林 在北京故官御花園內(nèi)，有許多顏色不同的細(xì)石子砌成的各種美麗圖案的花石子路，據(jù)統(tǒng)計(jì)全園花石子路上的圖案約有900幅，可以說(shuō)是中國(guó)擁有石子路鑲嵌圖案最多的圖林了。這些石子路圖案的組成，是把全園作為一個(gè)整體來(lái)考慮設(shè)計(jì)的，因此顯得極為