線性方程組的消元法、矩陣及其初等行變換.ppt

1、線性代數(shù),Linear Algebra,理學(xué)院數(shù)學(xué)系 韓 維 942086908 (Q),辦公室 18-903, 927,學(xué)分獲取,點名,+,=,復(fù)習(xí),作業(yè),其它,平時,期末,總評,筆記,作業(yè),總結(jié),練習(xí),書本,課程郵箱： probability_ 郵箱密碼： xd2013,2020/9/13,3,David C.Lay ：線性代數(shù)是最有趣最有價值的大學(xué)數(shù)學(xué)課程 線性方程組的應(yīng)用：劍橋減肥食譜問題、電路問題、交通流問題、馬爾科夫鏈、聯(lián)合收入問題、現(xiàn)代飛行器外形設(shè)計例等等 向量組的線性相關(guān)性的應(yīng)用：藥方配制問題等 可逆矩陣的應(yīng)用：密碼問題等 矩陣對角化應(yīng)用：行業(yè)就業(yè)人數(shù)

2、預(yù)測、人口遷移、人口分布趨勢分析等 二次型應(yīng)用：如政府合理分配修路、修公園資金等,注,了解線性代數(shù),2020/9/13,4,應(yīng)用線性代數(shù)相關(guān)學(xué)科： 工程學(xué)，計算機(jī)科學(xué)，物理學(xué)，數(shù)學(xué)，生物學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，統(tǒng)計學(xué)，力學(xué)，信號與信號處理，系統(tǒng)控制，通信，航空等學(xué)科和領(lǐng)域 應(yīng)用線性代數(shù)相關(guān)后繼學(xué)科： 電路、理論力學(xué)、材料力學(xué)、計算機(jī)圖形學(xué)、計算機(jī)輔助設(shè)計、系統(tǒng)動力學(xué)、自動控制原理、機(jī)械振動、機(jī)器人學(xué)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實等課程無不以線代為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分,注,了解線性代數(shù),2020/9/13,5,在數(shù)學(xué)上，線性函數(shù)關(guān)系是直線，而非線性函數(shù)關(guān)系是非直線，包括各種曲線、折線、不連續(xù)的線等；線性方程滿足疊加

3、原理，非線性方程不滿足疊加原理；線性方程易于求出解析解，而非線性方程一般不能得出解析解 -阿爾文托夫勒(Alvin Toffler1928-)，未來學(xué)大師、世界著名未來學(xué)家,注,了解線性代數(shù),本學(xué)科體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系， 從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等可以強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練。,學(xué)習(xí)方法是大學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容,2020/9/13,6,科學(xué)的發(fā)展決定了不僅要研究單個變量之間的關(guān)系，還要研究多個變量之間的關(guān)系。 各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化。計算機(jī)的迅速發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來。 大量的理論及應(yīng)用問題可以通過 “線性化”變成線性代數(shù)問題

4、 。 線性代數(shù)的重要性在于它考慮了一類簡單的數(shù)學(xué)模型 。解決這些問題的有力工具。,注,了解線性代數(shù),2020/9/13,7,線性代數(shù)和微積分學(xué)是數(shù)學(xué)的兩大支柱，是所有 理工科學(xué)生的必修課程 .,線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。 一次方程稱為線性方程，討論線性方程及線性運算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。 在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。 知識鏈：線性方程組-行列式-矩陣-向量,注,了解線性代數(shù),2020/9/13,8,大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)什么？怎樣學(xué)？,數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育-中國科學(xué)院院士 李大潛,通過數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，可以使學(xué)

5、生樹立明確的數(shù)量 觀念，“胸中有數(shù)”，認(rèn)真地注意事物的數(shù)量方面及其 變化規(guī)律。,怎樣做 為什么這樣做 不這樣做可以嗎 How ? Why ? Other ways ?,注,未來的文盲不再是目不識丁的人，而是那些沒 有學(xué)會怎樣學(xué)習(xí)的人 -Alvin Toffler (America),了解線性代數(shù),2020/9/13,9,了解線性代數(shù),數(shù)學(xué)概觀: “如果不熟悉線性代數(shù)的概念，如線性性質(zhì)、向 量、線性空間、矩陣等，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看 來就和文盲差不多，甚至學(xué)習(xí)社會科學(xué)也是如此”。 -瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding,2020/9/13,10,參考資料：,線性代數(shù)同濟(jì)大學(xué)第四版 線性代數(shù)五講

6、龔昇 編著 數(shù)學(xué)概觀、數(shù)學(xué)拾遺ThomasA.Garrity 高等代數(shù)教程-習(xí)題集王萼芳編 清華大學(xué)出版社,了解線性代數(shù),2020/9/13,11,參考資料：, 線性方程組在各學(xué)科各知識點的應(yīng)用,了解線性代數(shù),話說很久以前，有群吃飽飯沒事干的數(shù)學(xué)家正在研究方程組，其中有一個特別吃得飽的突然對大伙說：“兄弟，不覺得寫一堆方程式然后一個一個的代入消元太麻煩了嗎？特別是浪費紙！”其他人點頭稱是，于是大家研究一番，發(fā)現(xiàn)如果把方程組的系數(shù)提出來計算更加的省紙，于是行列式誕生了！并且得出了克拉默法則！,真是“吃飽了撐得”,線性代數(shù)的誕生,故事是這樣發(fā)生的,2020/9/13,13,如果方程組的個數(shù)很少，是

7、不能構(gòu)成行列式的（行列式一定是方陣）。于是又有一個人提出了矩陣，利用符號表示沒有任何關(guān)系的系數(shù)，并得到了矩陣的秩的概念，利用它就可以討論方程組解的情況了！ 從此一場數(shù)學(xué)界的思想革命開始了！ 矩陣的出現(xiàn)方便了求解線性方程組，但是那群數(shù)學(xué)家非常不甘心，“連個小牛頓都能有萬有引力，咱們得努力一下，弄個像樣的數(shù)學(xué)工具！”一個數(shù)學(xué)家說！于是他們又想到了把線性方程組用有序的數(shù)列來表示，這樣向量誕生了。,線性代數(shù)的誕生,2020/9/13,14,原來這些數(shù)學(xué)家在想辦法利用秩的概念討論線性 關(guān)系找到多余的方程把它去掉，剩下的才是值得分析的方程組，原來在省紙。,線性代數(shù)的發(fā)展,知識鏈： 線性方程組-行列式-矩陣

8、(秩) -向量-向量空間,2020/9/13,15,如圖給出了某城市部分單行街道在一個下午早些時候的交通流量（每小時車輛數(shù)目）。計算該網(wǎng)絡(luò)的車流量。,引例 交通流問題,2020/9/13,16,由,引例 交通流問題,網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)，有 對于節(jié)點A： 對于節(jié)點B： 對于節(jié)點C： 對于節(jié)點D： 對于節(jié)點E：,問題歸結(jié)為如下線性方程組的求解（有解還是無解）：,線性方程組的解法 System of Linear Equations,第一章,線性方程組的消元法,矩陣及其初等行變換,應(yīng)用舉例,第一節(jié)線性方程組的消元法,2020/9/13,19,公元前1世紀(jì),九章算術(shù): 初等行變換, 相當(dāng)于高斯消元法 17

9、世紀(jì)后期, 德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨: 含兩個未知量三個方程的線性組 18 世紀(jì)上半葉, 英國數(shù)學(xué)家麥克勞林: 具有二、三、四個未知量的線性方程組 得到了現(xiàn)在稱為克拉默法則的結(jié)果 瑞士數(shù)學(xué)家克拉默不久也發(fā)表了這個法則,了解：關(guān)于線性方程組,2020/9/13,20,18世紀(jì)下半葉，法國數(shù)學(xué)家貝祖: 對線性方程組理論進(jìn)行了一系列研究 證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是 系數(shù)行列式等于零 19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家史密斯和道奇森: 前者引進(jìn)了方程組的增廣矩陣的概念 后者證明了n個未知數(shù)m個方程的方程組相容 的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同,了解：關(guān)于線性方程組,2020/9/13,21,1、基本概

10、念,線性方程：,設(shè) 為實未知量， 為實數(shù)，n m k l 為正整數(shù),線性方程組：,線性方程組的解、相容consistent 、不相容、解集、通解(一般解)、同解（等價）方程組,2020/9/13,22,Gauss消元法（Gaussmethod）,a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2,(a11a22a12a21)x1 = b1a22a12b2 (a11a22a12a21)x2 = a11b2b1a21,當(dāng)a11a22a12a21 0時,具體實例見P3 例2,2020/9/13,23,1/2,對換變換(swapping),倍乘變換(rescaling),倍加變

11、換(pivoting),階梯形方程組 (echelon form),2、Gauss消元法實例,統(tǒng)稱為：同解變換,2020/9/13,24,階梯形 (echelon form),最簡形 (reduced echelon form),或?qū)懗上蛄啃问?由此可得原方程組的通解(general solution),其中c為任意數(shù).,2、Gauss消元法實例,2020/9/13,25,(1) 線性方程組的初等變換,對換變換(swapping),倍乘變換(rescaling),倍加變換(pivoting),3、Gauss消元法實例小結(jié),2020/9/13,26,(2) 階梯形線性方程組的有三中基本類型.,例

12、如:,3、Gauss消元法實例小結(jié),無解,有唯一解,有無數(shù)解,2020/9/13,27,(3) 階梯陣的形狀與線性方程組的解. 引入矩陣,無解,有唯一解,有無數(shù)解,解的數(shù)目,2020/9/13,28,1/2,注：解只與相應(yīng)的系數(shù)和右邊常數(shù)有關(guān)，故可用矩陣表示如下,2020/9/13,29,第二節(jié)矩陣及其初等行變換,2020/9/13,30,“矩陣 (matrix)” 這個 詞首先是英國數(shù)學(xué)家 西爾維斯特使用的.,他為了將數(shù)字的矩形 陣列區(qū)別于 行 列 式 (determinant)而發(fā)明 了這個述語.,James Joseph Sylvester,(1814.9.31897.3.15),一、關(guān)

13、于矩陣的歷史,2020/9/13,31,英國數(shù)學(xué)家凱萊 被公認(rèn)為是矩陣 論的創(chuàng)立者.,他首先把矩陣作為 一個獨立的數(shù)學(xué)概 念, 并發(fā)表了一系 列關(guān)于這個題目的 文章.,一、關(guān)于矩陣的歷史,2020/9/13,32,二、實例,例1. 四個城市間的單向航線如圖所示.,用 aij 表示從 i 市到 j 市航線的條數(shù), 則上圖信息可表示為,2020/9/13,33,例2. 線性方程組的一般形式為,如果把未知量的系數(shù)按其原來的相對位置排成一個 矩形的樣子，則為一個矩陣。,系數(shù)矩陣,增廣矩陣,二、實例,2020/9/13,34,三. 矩陣的定義,1. mn 矩陣,元素aij (1 i m, 1 j n),

14、2020/9/13,35,Def. 2.1,由 個數(shù),排成 m 行 n 列的數(shù)表,稱為 m 行 n 列矩陣，簡稱 矩陣。,Note: 1、前行后列； 2、與行列式的區(qū)別,這 個數(shù)稱為矩陣 A 的元素， 稱為矩陣 A 的第 i 行、第 j 列元素。（實矩陣、復(fù)矩陣）,簡記,同型矩陣：矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等 注,三. 矩陣的定義,2020/9/13,36,如果 與 是同型矩陣，且 ,稱矩陣 A 與B 相等，記為 A=B,相等的必要條件是同型,常見的特殊矩陣：,1、列矩陣：,2、行矩陣：,3、零矩陣： O,4、方 陣 （n 階方陣）： 對角線（對角線）,2020/9/13,37,5、上三角形矩陣

15、（上三角陣） 在n 階方陣中，rik= 0 其中i k .,6、下三角形矩陣（下三角陣） 在n 階方陣中，lik= 0 其中i k .,2020/9/13,38,7、對角陣：,8、數(shù)量矩陣：,9、單位矩陣：,的數(shù)量矩陣,記作 En 簡記 E,Note : 5 9 概念的前提是方陣。,2020/9/13,39,四、矩陣表示舉例：,Example3 婚姻問題 (matching problem),女兒,追求者,A,B,C,E,D,F,3,27,1,5,10,4,26,28,如何嫁娶， 使獲得的禮品最多？,7,2020/9/13,40,“錘子，剪刀，布”的游戲，也是一種矩陣對策。如果約定：勝者得1分

16、，負(fù)者得-1分，平手得0分，而且雙方的策略都按錘子，剪刀，布的順序。,錘子 剪刀 布,錘 剪 布,策略,簡化后某一方的 贏得矩陣為：,Example 4：贏得矩陣,四、矩陣表示舉例：,2020/9/13,41,思考（贏得矩陣）,（這是對策論的問題）,我國古代有“齊王賽馬”的事例，戰(zhàn)國時代齊王與其 大將田忌賽馬，雙方約定各出上、中、下 3 個等級的馬 各一匹進(jìn)行比賽，共賽馬 3 次，每次比賽的敗者付給勝 者千金已知. 在同一等級的 比賽中，齊王之馬可穩(wěn)操 勝券，但田忌的上、中等 級的馬分別可勝齊王的中、 下等級的馬.,齊王與田忌在排列賽馬出場順序時，各可取下列 6 種策略之一：,1 (上、中、下

17、) 2 (中、上、下),3 (下、中、上) 4 (上、下、中),5 (中、下、上) 6 (下、上、中),則可得齊王的贏得矩陣：,2020/9/13,42,說明：,對策論研究沖突對抗條件下最優(yōu)決策問題的理論,對策也稱博弈（Game）,是自古以來的政治家、軍 事家（現(xiàn)在更多的是經(jīng)濟(jì)學(xué)家）關(guān)注研究的問題. 作為 一門學(xué)科是20世紀(jì)40年代形成并發(fā)展起來的. 1944年 馮.諾依曼(Von Neumann)與摩根斯特(O.Morgenstern) 合作出版了博弈論與經(jīng)濟(jì)行為一書，標(biāo)志著現(xiàn)代系 統(tǒng)博弈理論的初步形成.,20世紀(jì)50年代，納什( Nash )建立了非合作博弈的 “納什均衡”理論，標(biāo)志著博弈

18、的新時代開始，是納什在 經(jīng)濟(jì)博弈論領(lǐng)域劃時代的貢獻(xiàn)，是繼馮.諾依曼之后最 偉大的博弈論大師之一.1994年納什獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì) 學(xué)獎.,2020/9/13,43,對策論的例：,囚犯的兩難處境,一位富翁在家中被殺，財物被盜。 警方抓到兩個犯罪嫌疑人，并從他們的 住處搜出被害人家中丟失的財物。但是， 他們矢口否認(rèn)曾殺過人，辯稱是先發(fā)現(xiàn)富翁被殺，然后只是順 手牽羊偷了點兒東西。于是警方將兩人隔離，分別關(guān)在不同的 房間進(jìn)行審訊。由地方檢察官分別和每個人單獨談話。檢察官 給出了上表的政策，囚犯該怎么辦呢？他們面臨著兩難的選擇 坦白或抵賴。,結(jié)果：兩人都選擇了坦白，各被判刑5年。這個結(jié) 局被稱為“納什均衡

19、”也稱非合作均衡。,2020/9/13,44,“納什均衡”對亞當(dāng)斯密的“看不見的手”的原理提出 挑戰(zhàn)。按照斯密的理論，在市場經(jīng)濟(jì)中，每一個人都從 利己的目的出發(fā)，而最終全社會達(dá)到利他的效果。從 “納什均衡”我們引出了“看不見的手”的原理的一個悖 論：從利己目的出發(fā)，結(jié)果損人不利己，既不利己也不 利他?！凹{什均衡”提出的悖論實際上動搖了西方經(jīng)濟(jì)學(xué) 的基石.,對策論的例,2020/9/13,45,2 矩陣及其初等行變換,五、矩陣的初等行變換,Definition 2,設(shè) A 是 mn 矩陣，下面三種變 換稱為矩陣的初等行變換：,（1）交換 A 的第 i 行和第 j 行的位置，記為 ；,（2）用非零

20、常數(shù) k 乘以 A 的第 i 行各元素，記為,（3）將 A 的第 i 行各元素的 k 倍加到第 j 行對應(yīng)元素， 記為,注意記號,行 row,2020/9/13,46,第 一 章 線性方程組的解法,Definition 3,若矩陣 A 經(jīng)過有限次初等行變換變成矩 陣 B ，則稱矩陣 A 與 矩陣 B 行等價，記作 .,例如： 用消元法求解線性方程組,可通過對增廣矩陣初等行變換得到 .,即,代入即得 x1 = 2，x2 = 3 .,即,不是等號,2020/9/13,47,再如：,用消元法求解線性方程組,2020/9/13,48,第 一 章 線性方程組的解法,解 ：,（消去法化簡）, , ,2, ,結(jié)論：該方程組有解，且有無窮多解.,同解變換： 1、交換方程次序； 2、用一個非零數(shù)乘某個方程； 3、將一個方程的 k 倍加到另一個方程上.,自由未知量,令 x3 = k （k 為任意常數(shù)）得：,實際給了3個方程,2020/9/13,49,再看 剛才的求解過程:,稱為行階梯形矩陣,化行階梯形矩陣 即為消元過程,方程組是否有解由此判斷,對應(yīng)的同解方程組為：,2020/9/13,50,稱為行最簡形矩陣,由此求解方程組,化行最簡形矩陣 即為代入過程,誰是自由變量？ 唯一嗎？,2020/9/13,51,