算法設(shè)計(jì)教程03.ppt

1、1,第三章 貪心算法,本章主要知識(shí)點(diǎn)（46學(xué)時(shí)）： 3.1 活動(dòng)安排問(wèn)題 3.2 貪心算法的基本要素 3.3 最優(yōu)裝載 3.4 哈夫曼編碼 3.5 單源最短路徑 3.6 最小生成樹 3.7 多機(jī)調(diào)度問(wèn)題,2,引言,【找零錢問(wèn)題】希望用數(shù)目最少的硬幣找零 假設(shè)提供了數(shù)目不限的面值為2 5美分、1 0美分、5美分、及1美分的硬幣。 假設(shè)需要找67美分，25+25+10+5+1+1，共6枚。 假設(shè)提供了數(shù)目不限的面值為1 1美分、5美分及1美分的硬幣？找零15美分 11+1+1+1+1，共5枚（貪心算法） 5+5+5，共3枚（非貪心算法）,在一些情況下，即使貪心算法不能得到整體最優(yōu)解，其最終結(jié)果卻是

2、最優(yōu)解的很好近似。,3,引言,貪心算法：總是做出在當(dāng)前看來(lái)最好的選擇。也就是說(shuō)貪心算法并不從整體最優(yōu)考慮，它所作出的選擇只是在某種意義上的局部最優(yōu)選擇。,貪心法的基本思路：從問(wèn)題的某一個(gè)初始解出發(fā)逐步逼近給定的目標(biāo)，以盡可能快的地求得更好的解。當(dāng)達(dá)到某算法中的某一步不能再繼續(xù)前進(jìn)時(shí)，算法停止。,4,引言,貪心法存在的問(wèn)題：1. 不能保證求得的最后解是最佳的；2. 不能用來(lái)求最大或最小解問(wèn)題；3. 只能求滿足某些約束條件的可行解的范圍。,5,3.1 活動(dòng)安排問(wèn)題,【活動(dòng)安排問(wèn)題】就是要在所給的活動(dòng)集合中選出最大的相容活動(dòng)子集合。該問(wèn)題要求高效地安排一系列爭(zhēng)用某一公共資源的活動(dòng)。貪心算法提供了一個(gè)

3、簡(jiǎn)單、漂亮的方法使得盡可能多的活動(dòng)能兼容地使用公共資源。,設(shè)有n個(gè)活動(dòng)的集合E=1,2,n，其中每個(gè)活動(dòng)都要求使用同一資源，如演講會(huì)場(chǎng)等，而在同一時(shí)間內(nèi)只有一個(gè)活動(dòng)能使用這一資源。每個(gè)活動(dòng)i都有一個(gè)要求使用該資源的起始時(shí)間si和一個(gè)結(jié)束時(shí)間fi,且si fi 。如果選擇了活動(dòng)i，則它在半開時(shí)間區(qū)間si, fi)內(nèi)占用資源。若區(qū)間si, fi)與區(qū)間sj, fj)不相交，則稱活動(dòng)i與活動(dòng)j是相容的。也就是說(shuō)，當(dāng)sjfi時(shí)，活動(dòng)i與活動(dòng)j相容。,6,復(fù)雜性分析,由于輸入的活動(dòng)以其完成時(shí)間的升序排列，所以算法greedySelector每次總是選擇最早完成時(shí)間的相容活動(dòng)加入集合A中。 為未安排活動(dòng)留

4、下盡可能多的時(shí)間。 該算法的貪心選擇的意義是使剩余的可安排時(shí)間段極大化，以便安排盡可能多的活動(dòng)。,7,一個(gè)實(shí)例,例：設(shè)待安排的11個(gè)活動(dòng)的開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間按結(jié)束時(shí)間的非減序排列如下：,8,說(shuō)明,若被檢查的活動(dòng)i的開始時(shí)間Si小于最近選擇的活動(dòng)j的結(jié)束時(shí)間fi，則不選擇活動(dòng)i，否則選擇活動(dòng)i加入集合A中。 貪心算法并不總能求得問(wèn)題的整體最優(yōu)解。 對(duì)于活動(dòng)安排問(wèn)題，貪心算法greedySelector卻總能求得的整體最優(yōu)解，即它最終所確定的相容活動(dòng)集合A的規(guī)模最大。這個(gè)結(jié)論可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。,9,貪心算法描述,public static int greedySelector(int s, i

5、nt f, boolean a) int n=s.length-1; a1=true; /選擇最早結(jié)束活動(dòng) int j=1;/j表示已安排活動(dòng)編號(hào) int count=1;/已安排活動(dòng)數(shù) for (int i=2;i=fj) ai=true; j=i; count+; else ai=false; return count; ,各活動(dòng)的起始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間存儲(chǔ)于數(shù)組s和f中且按結(jié)束時(shí)間的非減序排列,10,復(fù)雜性分析,算法greedySelector的效率極高。當(dāng)輸入的活動(dòng)已按結(jié)束時(shí)間的升序排列，算法只需O(n)的時(shí)間安排n個(gè)活動(dòng)，使最多的活動(dòng)能相容地使用公共資源。 如果所給出的活動(dòng)未按非減序排列

6、，可以用O(nlogn)的時(shí)間重排。,11,3.2 貪心算法的基本要素,對(duì)于一個(gè)具體的問(wèn)題，怎么知道是否可用貪心算法解此問(wèn)題，以及能否得到問(wèn)題的最優(yōu)解呢?這個(gè)問(wèn)題很難給予肯定的回答。 但是，從許多可以用貪心算法求解的問(wèn)題中看到這類問(wèn)題一般具有2個(gè)重要的性質(zhì)： 貪心選擇性質(zhì) 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。,12,1.貪心選擇性質(zhì),所謂貪心選擇性質(zhì)是指所求問(wèn)題的整體最優(yōu)解可以通過(guò)一系列局部最優(yōu)的選擇，即貪心選擇來(lái)達(dá)到。這是貪心算法可行的第一個(gè)基本要素，也是貪心算法與動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的主要區(qū)別。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法通常以自底向上的方式解各子問(wèn)題，而貪心算法則通常以自頂向下的方式進(jìn)行，每作一次貪心選擇就將所求問(wèn)題簡(jiǎn)化為規(guī)模更

7、小的子問(wèn)題。,13,2.最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì),當(dāng)一個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解包含其子問(wèn)題的最優(yōu)解時(shí)，稱此問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。問(wèn)題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)是該問(wèn)題可用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法或貪心算法求解的關(guān)鍵特征。,14,0-1背包問(wèn)題與背包問(wèn)題,0-1背包問(wèn)題： 給定n種物品和一個(gè)背包。物品i的重量是Wi，其價(jià)值為Vi，背包的容量為C。應(yīng)如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中物品的總價(jià)值最大？ 在選擇裝入背包的物品時(shí)，對(duì)每種物品i只有2種選擇，即裝入背包或不裝入背包。不能將物品i裝入背包多次，也不能只裝入部分的物品i。 背包問(wèn)題: 與0-1背包問(wèn)題類似，所不同的是在選擇物品i裝入背包時(shí)，可以選擇物品i的一部分，而不一定要全部

8、裝入背包，1in。 這2類問(wèn)題都具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，但背包問(wèn)題可以用貪心算法求解，而0-1背包問(wèn)題卻不能用貪心算法求解。,15,貪心方法的數(shù)據(jù)選擇策略,1、以價(jià)值為量度標(biāo)準(zhǔn) 按價(jià)值從高到低的次序?qū)⑽锲芬患诺奖嘲小?2、以容量作為量度 按物品重量的從清到重次序來(lái)把物品放入背包。 3、采用單位價(jià)值為度量標(biāo)準(zhǔn) 使物品的裝入次序按pi/wi比值的從大到小來(lái)考慮。,用貪心策略求解背包問(wèn)題時(shí)，首先要選出最優(yōu)的度量標(biāo)準(zhǔn)。,16,算法思路 1).將各物體按單位價(jià)值由高到低排序. 2).取價(jià)值最高者放入背包. 3).計(jì)算背包剩余空間. 4).重復(fù)2-3直到背包剩余容量=0或物體全部裝入背包為止。,用貪心算

9、法解背包問(wèn)題的基本步驟,17,考慮下列情況的背包問(wèn)題 n=3,M=20,(p1,p2,p3)=(25,24,15), (w1,w2,w3)=(18,15,10) 其中的4個(gè)可行解是：,背包問(wèn)題,18,void Knapsack(int n,float M,float v,float w,float x) Sort(n,v,w); /計(jì)算每種物品單位重量的價(jià)值Vi/Wi int i; for (i=1;ic) break; xi=1; c-=wi; if (i=n) xi=c/wi; /允許放入一個(gè)物品的一部分 ,void 0-1-Knapsack(int n,float M,float v,f

10、loat w,float x) /不一定是最優(yōu)解 Sort(n,v,w); int i; for (i=1;ic) break; xi=1; c-=wi; ,0-1背包問(wèn)題貪心選擇之所以不能得到最優(yōu)解：因?yàn)闊o(wú)法保證最終能將背包裝滿，部分閑置的背包空間使總價(jià)值降低了。,20,0-1背包問(wèn)題與背包問(wèn)題,21,思考題-0/1背包問(wèn)題,在雜貨店比賽中你獲得了第一名，獎(jiǎng)品是一車免費(fèi)雜貨。店中有N種不同的貨物。規(guī)則規(guī)定從每種貨物中最多只能拿一件，車子的容量為C，物品i需占用wi的空間，價(jià)值為pi。你的目標(biāo)是使車中裝載的物品價(jià)值最大。當(dāng)然，所裝貨物不能超過(guò)車的容量，且同一種物品不得拿走多件。如何選擇量度標(biāo)準(zhǔn)

11、才能找到最優(yōu)解？ 若N=2, w=100,10,10,p=20,15,15,C=105。利用價(jià)值貪心準(zhǔn)則時(shí)所得結(jié)果是否是最優(yōu)？,22,問(wèn)題: 設(shè)一個(gè)由N個(gè)城市v1,v2,vn組成的網(wǎng)絡(luò), ci,j 為從vi 到vj的代價(jià)不妨設(shè)ci,j = cj,i ,且ci,i= .一推銷員要從某城市出發(fā)經(jīng)過(guò)每城市一次且僅一次后返回出發(fā)地問(wèn)如何選擇路線使代價(jià)最小。,抽象描述:將城市以及之間的道路抽象為一個(gè)無(wú)向圖G, G中每邊的權(quán)值表示這段線路的代價(jià). 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一條最佳周游路線:從一點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過(guò)每點(diǎn)一次且僅一次并返回原點(diǎn),且該路線的總代價(jià)最小.,C=,思考題-旅行商問(wèn)題(Traveling Salesman

12、 Problem),費(fèi)用矩陣,23,思考題-旅行商問(wèn)題(貨郎擔(dān)問(wèn)題),首先在圖中選一條代價(jià)最小的邊。為了選擇下一條邊，先要檢查一下候選邊與已選入的邊之間是否滿足以下兩點(diǎn)： 1)不會(huì)有三條邊(候選邊及已入選邊)與同一頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。 2)不會(huì)使入選邊形成回路，除非入選邊的個(gè)數(shù)已等于圖中的頂點(diǎn)總數(shù)。 在滿足以上兩點(diǎn)的候選邊中，挑選最短的邊作為入選邊。如此做下去，直到得到一個(gè)經(jīng)過(guò)所有頂點(diǎn)的回路。,最后求得的回路是125341，代價(jià)是14。實(shí)際圖11最小代價(jià)的回路是12543一1，代價(jià)是10。,24,輸入:城市的數(shù)目n,代價(jià)矩陣c=c(1.n,1.n). 輸出: 最小代價(jià)路線 1. tour:=0; /

13、tour 紀(jì)錄路線/ 2. cost:=0; / cost 紀(jì)錄到目前為止的花費(fèi)/ 3. v:=N; / N為起點(diǎn)城市, v為當(dāng)前出發(fā)城市/ 4. for k:=1 to N-1 do 5. tour:= tour+(v,w) /(v,w)為從v到其余城市代價(jià)中值最小的邊/ 6. cost:= cost+c(v,w) 7 v:=w 8 tour:= tour+(v,N) 9 cost:= cost+c(v,N) print tour, cost,算法的最壞時(shí)間復(fù)雜性為O(n2),*該算法不能求的最優(yōu)解.,思考題-旅行商問(wèn)題(貨郎擔(dān)問(wèn)題),25,3.3 最優(yōu)裝載,有一批集裝箱要裝上一艘載重量為C

14、的輪船。其中集裝箱i的重量為Wi。最優(yōu)裝載問(wèn)題要求確定在裝載體積不受限制的情況下，將盡可能多的集裝箱裝上輪船。 問(wèn)題可形式化描述為 其中變量xi=0表示不裝入集裝箱i，xi=1表示裝入集裝箱i。,26,3.3 最優(yōu)裝載,例 設(shè)N=8,w1，w8=100, 200, 50, 90, 150, 50, 20, 80，C=400。 所考察貨箱的次序?yàn)?t1.8=7, 3, 6, 8, 4, 1, 5, 2。貨箱7, 3, 6, 8, 4, 1的總重量為390個(gè)單位且已被裝載, 剩下的裝載能力為10 ,小于任意貨箱.所以得到解x1,.x8= 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1,算法思路 將裝

15、船過(guò)程劃為多步選擇，每步裝一個(gè)貨箱，每次從剩下的貨箱中選擇重量最輕的貨箱.如此下去直到所有貨箱均裝上船或船上不能再容納其他任何一個(gè)貨箱。,27,3.3 最優(yōu)裝載算法描述,最優(yōu)裝載問(wèn)題可用貪心算法求解。采用重量最輕者先裝的貪心選擇策略，可產(chǎn)生最優(yōu)裝載問(wèn)題的最優(yōu)解。 void Loading(int x, Type w, Type c, int n) int *t = new int n+1; Sort(w, t, n); /按貨箱重量排序O(nlogn) for (int i = 1; i = n; i+) xi = 0; /O(n) for (int i = 1; i = n /調(diào)整剩余空間

16、,28,思考,設(shè)N=8,w1，w8=100, 200, 50, 90, 150, 50, 20, 80，C=400。 編程求t1.8.,29,3.4 哈夫曼編碼,哈夫曼編碼是廣泛地用于數(shù)據(jù)文件壓縮的十分有效的編碼方法。 哈夫曼編碼壓縮率通常在20%90%之間。哈夫曼編碼算法用字符在文件中出現(xiàn)的頻率表來(lái)建立一個(gè)用0，1串表示各字符的最優(yōu)表示方式。 給出現(xiàn)頻率高的字符較短的編碼，出現(xiàn)頻率較低的字符以較長(zhǎng)的編碼，可以大大縮短總碼長(zhǎng)。,30,3.4 哈夫曼編碼,例如一個(gè)包含100,000個(gè)字符的文件，各字符出現(xiàn)頻率不同，如下表所示。定長(zhǎng)編碼需要300,000位，而按表中變長(zhǎng)編碼方案，文件的總碼長(zhǎng)為：

17、（451+133+123+163+94+54）1000=224,000。 比用定長(zhǎng)碼方案總碼長(zhǎng)較少約45%。,31,1.前綴碼,對(duì)每一個(gè)字符規(guī)定一個(gè)0,1串作為其代碼，并要求任一字符的代碼都不是其它字符代碼的前綴。這種編碼稱為前綴碼。 編碼的前綴性質(zhì)可以使譯碼方法非常簡(jiǎn)單。 表示最優(yōu)前綴碼的二叉樹總是一棵完全二叉樹，即樹中任一結(jié)點(diǎn)都有2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)。 平均碼長(zhǎng)定義為：,使平均碼長(zhǎng)達(dá)到最小的前綴碼編碼方案稱為給定編碼字符集C的最優(yōu)前綴碼。,32,2.構(gòu)造哈夫曼編碼,哈夫曼提出構(gòu)造最優(yōu)前綴碼的貪心算法，由此產(chǎn)生的編碼方案稱為哈夫曼編碼。 哈夫曼算法以自底向上的方式構(gòu)造表示最優(yōu)前綴碼的二叉樹T。 算法

18、以|C|個(gè)葉結(jié)點(diǎn)開始，執(zhí)行|C|1次的“合并”運(yùn)算后產(chǎn)生最終所要求的樹T。,33,2.構(gòu)造哈夫曼樹,構(gòu)造最優(yōu)二叉樹的算法是由哈夫曼提出的，所以稱之為哈夫曼算法，具體敘述如下： 根據(jù)與n個(gè)權(quán)值w1,w2,.,wn對(duì)應(yīng)的n個(gè)結(jié)點(diǎn)構(gòu)成n棵二叉樹的森林F=T1,T2,.,Tn,其中每棵二叉樹Ti(1=i=n)都由一個(gè)權(quán)值為wi的根結(jié)點(diǎn)，其左右子樹均為空； 在森林F中選出兩棵根結(jié)點(diǎn)的權(quán)值最小的樹作為一棵新樹的左右子樹，且置新樹的附加根結(jié)點(diǎn)的權(quán)值為其左右子樹上根結(jié)點(diǎn)的權(quán)值之和； 從F中刪除這兩棵樹，同時(shí)把新樹加入F中； 重復(fù)(2)和(3)，直到F中只含有一棵樹為止。此樹便是哈夫曼樹。,34,35,算法說(shuō)明

19、,在書上給出的算法huffmanTree中，編碼字符集中每一字符c的頻率是f(c)。以f為鍵值的優(yōu)先隊(duì)列Q用在貪心選擇時(shí)有效地確定算法當(dāng)前要合并的2棵具有最小頻率的樹。一旦2棵具有最小頻率的樹合并后，產(chǎn)生一棵新的樹，其頻率為合并的2棵樹的頻率之和，并將新樹插入優(yōu)先隊(duì)列Q。經(jīng)過(guò)n1次的合并后，優(yōu)先隊(duì)列中只剩下一棵樹，即所要求的樹T。 算法huffmanTree用最小堆實(shí)現(xiàn)優(yōu)先隊(duì)列Q。初始化優(yōu)先隊(duì)列需要O(n)計(jì)算時(shí)間，由于最小堆的removeMin和put運(yùn)算均需O(logn)時(shí)間，n1次的合并總共需要O(nlogn)計(jì)算時(shí)間。因此，關(guān)于n個(gè)字符的哈夫曼算法的計(jì)算時(shí)間為O(nlogn) 。,36

20、,3.5 單源最短路徑,(Single-Source Shortest-Paths Problem) 給定帶權(quán)有向圖G =(V,E)，其中每條邊的權(quán)是非負(fù)實(shí)數(shù)。另外，還給定V中的一個(gè)頂點(diǎn)，稱為源。 單源最短路徑問(wèn)題： 已知圖G（V，E），找出從某給定的源結(jié)點(diǎn)SV到V中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)的最短路徑。,37,3.5.1 Dijkstra算法,Dijkstra算法是解單源最短路徑問(wèn)題的貪心算法。 基本思想：設(shè)置頂點(diǎn)集合S并不斷地作貪心選擇來(lái)擴(kuò)充這個(gè)集合。一個(gè)頂點(diǎn)屬于集合S當(dāng)且僅當(dāng)從源到該頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度已知。 （1）初始時(shí)，S中僅含有源節(jié)點(diǎn)。 （2）設(shè)u是G的某一個(gè)頂點(diǎn)，把從源到u且中間只經(jīng)過(guò)S中頂點(diǎn)的路

21、稱為從源到u的特殊路徑，用數(shù)組Di記錄頂點(diǎn)i當(dāng)前所對(duì)應(yīng)的最短特殊路徑長(zhǎng)度。 （3）Dijkstra算法每次從V-S中取出具有最短特殊路長(zhǎng)度的頂點(diǎn)u，將u添加到S中，同時(shí)對(duì)數(shù)組D作必要的修改。 （4）一旦S包含了所有V中頂點(diǎn)，dist就記錄了從源到所有其它頂點(diǎn)之間的最短路徑長(zhǎng)度。,38,1、 Dijkstra算法的基本思想,設(shè)S為最短距離已確定的頂點(diǎn)集（紅點(diǎn)集） V-S是最短距離尚未確定的頂點(diǎn)集（藍(lán)點(diǎn)集）。初始化最初只有源點(diǎn)s的最短距離是已知的(D(s)=0)，故紅點(diǎn)集S=s 。重復(fù)以下工作，按路徑長(zhǎng)度遞增次序產(chǎn)生各頂點(diǎn)最短路徑在當(dāng)前藍(lán)點(diǎn)集中選擇一個(gè)最短距離最小的藍(lán)點(diǎn)來(lái)擴(kuò)充紅點(diǎn)集，以保證算法按路

22、徑長(zhǎng)度遞增的次序產(chǎn)生各頂點(diǎn)的最短路徑。 當(dāng)藍(lán)點(diǎn)集中僅剩下最短距離為的藍(lán)點(diǎn)，或者所有藍(lán)點(diǎn)已擴(kuò)充到紅點(diǎn)集時(shí)，s到所有頂點(diǎn)的最短路徑就求出來(lái)了。,39,一個(gè)實(shí)例,Dijkstra(G，D，s) /Dijkstra 算法 O(V2) /初始化操作 S=s；Ds=0； /設(shè)置初始的紅點(diǎn)集及最短距離 for( all i V-S ) Di=Gsi； /O(V) /擴(kuò)充紅點(diǎn)集 for (i=1;iDk+Gkj) Dj=Dk+Gkj； ,#define VEX 5/定義結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù) #define maxpoint 100 double graphmaxpoint= 0 , 10 , -1 , 30 , 100

23、 , -1 , 0 , 50 , -1 , -1 , -1 , -1 , 0 , -1 , 10 , -1 , -1 , 20 , 0 , 60 , -1 , -1 , -1 , -1 , 0 ; /鄰接矩陣，-1代表節(jié)點(diǎn)間無(wú)邊相連 int Rmaxpoint=0,Bmaxpoint; int DVEX,PVEX;/定義數(shù)組D用來(lái)存放結(jié)點(diǎn)特殊距離，P數(shù)組存放父親結(jié)點(diǎn),/初始時(shí)，紅點(diǎn)集中僅有源結(jié)點(diǎn)0 R0=1; B0=0; for(int i=1;iVEX;i+) /初始化藍(lán)點(diǎn)集節(jié)點(diǎn) Bi=1; /對(duì)數(shù)組D、P進(jìn)行初始化 for(i=0;iVEX;i+) Di=graph0i; if(Di!=-

24、1) Pi=0; else Pi=-1; ,for(int k=1;kDmin+graphminj|Dj=-1) Dj=Dmin+graphminj; /每次迭代求最小值，最后一次即為到源點(diǎn)的最短路徑 Pj=min; ,44,3.5.2 Dijkstra算法Relax描述,du:su的距離 pu:記錄前一節(jié)點(diǎn) Relax松弛算法 Init-single-source(G,s) for each vVG dodv= pv=NIL ds=0, ps=NIL,Relax(u,v,w) if dvdu+w(u,v) then dv=du+wu,v pv=u ,45,算法描述,dijkstra(G,w,

25、s) 1. Init-single-source(G,s) /O(v) 2. S=s 3. Q=VG-s 4.while Q do u=min(Q) /用數(shù)組O(V) S=Su for each vadju 迭代求解：反復(fù)對(duì)邊集E中的每條邊進(jìn)行松弛操作，使得頂點(diǎn)集V中的每個(gè)頂點(diǎn)v的最短距離估計(jì)值逐步逼近其最短距離；（運(yùn)行|v|-1次） 檢驗(yàn)負(fù)權(quán)回路：如果存在負(fù)邊，則算法返回false，表明問(wèn)題無(wú)解；否則算法返回true，并且從源點(diǎn)可達(dá)的頂點(diǎn)v的最短距離保存在 dv中。,48,3.5.3 Bellman-Ford算法思想,dijkstra算法的前提是所有邊是正的 Bellman-Ford算法允許

26、負(fù)邊 Init-single-source(G,s) for i 1 to |VG| - 1 /O(V) 3. do for each edge (u, v) EG/O(E)4. do RELAX(u, v, w) 5. for each edge (u, v) EG /O(E) 6. do if du + w(u, v) dv 7. then return FALSE /存在負(fù)環(huán)8. return TRUE,存在負(fù)權(quán)回路的圖是不能求兩點(diǎn)間最短路徑，因?yàn)橹灰谪?fù)權(quán)回路上不斷兜圈子，所得的最短路長(zhǎng)度可以任意小。,49,3.5.4 其他最短路徑問(wèn)題,單目標(biāo)最短路徑問(wèn)題(Single-Destina

27、tion Shortest-Paths Problem)：找出圖中每一頂點(diǎn)v到某指定頂點(diǎn)u的最短路徑。只需將圖中每條邊反向，就可將這一問(wèn)題變?yōu)閱卧醋疃搪窂絾?wèn)題，單目標(biāo)u變?yōu)閱卧袋c(diǎn)u。 單頂點(diǎn)對(duì)間最短路徑問(wèn)題(Single-Pair Shortest-Paths Problem)：對(duì)于某對(duì)頂點(diǎn)u和v，找出從u到v的一條最短路徑。顯然，若解決了以u(píng)為源點(diǎn)的單源最短路徑問(wèn)題，則上述問(wèn)題亦迎刃而解。而且從數(shù)量級(jí)來(lái)說(shuō)，兩問(wèn)題的時(shí)間復(fù)雜度相同。 所有頂點(diǎn)對(duì)間最短路徑問(wèn)題(All-Pairs Shortest-Paths Problem)：對(duì)圖中每對(duì)頂點(diǎn)u和v，找出u到v的最短路徑問(wèn)題。這一問(wèn)題可用每個(gè)頂點(diǎn)

28、作為源點(diǎn)調(diào)用一次單源最短路徑問(wèn)題算法予以解決。,50,3.6 最小生成樹,設(shè)G =(V,E)是無(wú)向連通帶權(quán)圖，即一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。E中每條邊(v,w)的權(quán)為cvw。如果G的子圖G是一棵包含G的所有頂點(diǎn)的樹，則稱G為G的生成樹。 生成樹上各邊權(quán)的總和稱為該生成樹的耗費(fèi)。 在G的所有生成樹中，耗費(fèi)最小的生成樹稱為G的最小生成樹。 網(wǎng)絡(luò)的最小生成樹在實(shí)際中有廣泛應(yīng)用。例如，在設(shè)計(jì)通信網(wǎng)絡(luò)時(shí)，用圖的頂點(diǎn)表示城市，用邊(v,w)的權(quán)cvw表示建立城市v和城市w之間的通信線路所需的費(fèi)用，則最小生成樹就給出了建立通信網(wǎng)絡(luò)的最經(jīng)濟(jì)的方案。,51,1、最小生成樹性質(zhì),用貪心算法設(shè)計(jì)策略可以設(shè)計(jì)出構(gòu)造最小生成樹的有效算法

29、。 Prim算法和Kruskal算法 2個(gè)算法都利用了最小生成樹性質(zhì)： 最小生成樹性質(zhì)：設(shè)G=(V，E)是一個(gè)連通網(wǎng)絡(luò)，U是頂點(diǎn)集V的一個(gè)真子集。若(u，v)是G中所有的一個(gè)端點(diǎn)在U(uU)里、另一個(gè)端點(diǎn)不在U(即vV-U)里的邊中，具有最小權(quán)值的一條邊，則一定存在G的一棵最小生成樹包括此邊(u，v)。這個(gè)性質(zhì)稱為MST（Minimum Spanning Tree ）性質(zhì)。,52,1、最小生成樹性質(zhì),MST性質(zhì)的證明： 約定： 集合U中的頂點(diǎn)紅色頂點(diǎn) V-U中的頂點(diǎn)藍(lán)色頂點(diǎn) 連接紅點(diǎn)和藍(lán)點(diǎn)的邊紫色邊 權(quán)最小的紫邊稱為輕邊(即權(quán)重最“輕”的邊)。 用反證法證明MST性質(zhì),53,1、最小生成樹性質(zhì)

30、,假設(shè)G中任何一棵MST都不含輕邊(u，v)。則若T是G的一棵MST，則它不含此輕邊。 由于T是包含了G中所有頂點(diǎn)的連通圖，所以T中必有一條從紅點(diǎn)u到藍(lán)點(diǎn)v的路徑P，且P上必有一條紫邊(u ，v )連接紅點(diǎn)集和藍(lán)點(diǎn)集，否則u和v不連通。當(dāng)把輕邊(u，v)加入樹T時(shí)，該輕邊和P必構(gòu)成了一個(gè)回路。刪去紫邊(u ，v )后回路亦消除，由此可得另一生成樹T 。 T 和T的差別僅在于T用輕邊(u，v)取代了T中權(quán)重可能更大的紫邊(u ，v )。因?yàn)閣(u，v)w(u ，v )，所以 w(T)=w(T)+w(u，v)-w(u，v)w(T) 故T亦是G的MST，它包含邊(u，v)，這與假設(shè)矛盾。 所以，MS

31、T性質(zhì)成立。,54,2、Prim（普里姆）算法,設(shè)G=(V,E)是連通帶權(quán)圖，V=1,2,n。 構(gòu)造G的最小生成樹的Prim算法的基本思想是：首先置U=1，然后，只要U是V的真子集，就作如下的貪心選擇：選取滿足條件iU，jV-U，且cij最小的邊，將頂點(diǎn)j添加到U中。這個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行到U=V時(shí)為止。 在這個(gè)過(guò)程中選取到的所有邊恰好構(gòu)成G的一棵最小生成樹。 例如，對(duì)于右圖中的帶權(quán)圖，按Prim算法選取邊的過(guò)程如圖所示。,55,2、Prim（普里姆）算法,PrimMST(G，T，r) /求圖G的以r為根的MST，結(jié)果放在T中 T=；U=1; while(U!=V) /O(V) (i,j)=iU，j

32、V-U，且cij最小的邊/O(V)T=T (i，j) /輕邊 (i，j) 加入T U=U j; / 節(jié)點(diǎn)j 加入U(xiǎn)，變?yōu)榧t點(diǎn) ,56,2、Prim（普里姆）算法,若候選輕邊集中的輕邊不止一條，可任選其中的一條擴(kuò)充到T中。 若一個(gè)藍(lán)點(diǎn)與多個(gè)紅點(diǎn)有邊相接，選權(quán)最小的邊做紫邊。 連通網(wǎng)的最小生成樹不一定是惟一的，但它們的權(quán)相等。 用這個(gè)辦法實(shí)現(xiàn)的Prim算法所需的計(jì)算時(shí)間為O(V2)，與圖中邊數(shù)無(wú)關(guān)，該算法適合于稠密圖。,57,2、Prim（普里姆）算法,如何有效地找出滿足條件iU, jV-U，且權(quán)cij最小的邊(i,j)？ 較簡(jiǎn)單的辦法是設(shè)置2個(gè)數(shù)組closest和lowcost。 在Prim算法

33、執(zhí)行過(guò)程中，先找出V-U中使lowcost值最小的頂點(diǎn)j，然后根據(jù)數(shù)組closest選取邊(j,closestj)，將j添加到U中，并對(duì)closest和lowcost作必要的修改。,58,3、Kruskal（克魯斯卡爾）算法,Kruskal算法構(gòu)造最小生成樹的基本思想： (1)將G的n個(gè)頂點(diǎn)看成n個(gè)孤立的連通分支。 (2)將所有的邊按權(quán)從小到大排序。 (3)從第一條邊開始，依邊權(quán)遞增的順序查看每一條邊，并按下述方法連接2個(gè)不同的連通分支：當(dāng)查看到第k條邊(v,w)時(shí)，如果端點(diǎn)v和w分別是當(dāng)前2個(gè)不同的連通分支T1和T2中的頂點(diǎn)時(shí)，就用邊(v,w)將T1和T2連接成一個(gè)連通分支，然后繼續(xù)查看第k

34、+1條邊；如果端點(diǎn)v和w在當(dāng)前的同一個(gè)連通分支中，就直接再查看第k+1條邊。這個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行到只剩下一個(gè)連通分支時(shí)為止。 例如，對(duì)前面的連通帶權(quán)圖，按Kruskal算法順序得到的最小生成樹上的邊如圖所示。,59,3、Kruskal（克魯斯卡爾）算法,（1）算法思想T的初始狀態(tài) 只有n個(gè)頂點(diǎn)而無(wú)邊的森林T=(V， )按邊長(zhǎng)遞增的順序選擇E中的n-1安全邊(u，v)并加入T，生成MST,注意： 安全邊指兩個(gè)端點(diǎn)分別是森林T里兩棵樹中的頂點(diǎn)的邊。加入安全邊，可將森林中的兩棵樹連接成一棵更大的樹 因?yàn)槊恳淮翁砑拥絋中的邊均是當(dāng)前權(quán)值最小的安全邊，MST性質(zhì)也能保證最終的T是一棵最小生成樹,60,3、K

35、ruskal（克魯斯卡爾）算法,MST-Kruskal (G) /求連通網(wǎng)G的一棵MST T=(V，)； /初始化，T是只含n個(gè)頂點(diǎn)不包含邊的森林 /依權(quán)值遞增序?qū)(G)中的邊排序，并設(shè)結(jié)果在E0.e-1中 O(Elog(E)sort the edges of E by non-decreasing weight w for(i=0;ie;i+) /e為圖中邊總數(shù)，O(E) 取第i條邊（u,v） if u和v分別屬于T中兩棵不同的樹 T=T(u，v)；/(u，v)是安全邊，將其加入T中 return T； ,61,說(shuō)明,有關(guān)說(shuō)明： 該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(ElogE)。 Kruskal算法的

36、時(shí)間主要取決于邊數(shù)。它較適合于稀疏圖。,62,3.7 多機(jī)調(diào)度問(wèn)題,設(shè)有 n 個(gè)獨(dú)立的作業(yè) 1 , 2 , . , n ，由 m 臺(tái)相同的機(jī)器進(jìn)行加工處理。作業(yè) i 所需的處理時(shí)間為 ti。 約定： 任何作業(yè)可以在任何一臺(tái)機(jī)器上加工處理，但未完工前不允許中斷處理。 任何作業(yè)不能拆分成更小的作業(yè)。 多機(jī)調(diào)度問(wèn)題要求給出一種作業(yè)調(diào)度方案，使所給的 n 個(gè)作業(yè)在盡可能短的時(shí)間內(nèi)由 m 臺(tái)機(jī)器加工處理完成。,63,3.7 多機(jī)調(diào)度問(wèn)題,這個(gè)問(wèn)題是NP完全問(wèn)題(Non-deterministic Polynomial Complete Problem) ，也即是多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問(wèn)題 ，到目前為止

37、還沒(méi)有有效的解法。 對(duì)于這一類問(wèn)題,用貪心選擇策略有時(shí)可以設(shè)計(jì)出較好的近似算法。 非確定性問(wèn)題:無(wú)法按部就班直接地計(jì)算出來(lái)。比如，找大質(zhì)數(shù)的問(wèn)題。沒(méi)有一個(gè)公式，一套公式，就可以一步步推算出來(lái)，下一個(gè)質(zhì)數(shù)應(yīng)該是多少呢？再比如，大的合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的問(wèn)題，有沒(méi)有一個(gè)公式，把合數(shù)代進(jìn)去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也沒(méi)有這樣的公式。,64,3.7 多機(jī)調(diào)度問(wèn)題,采用最長(zhǎng)處理時(shí)間作業(yè)優(yōu)先的貪心選擇策略可以設(shè)計(jì)出解多機(jī)調(diào)度問(wèn)題的較好的近似算法。 按此策略，當(dāng)nm時(shí)(作業(yè)數(shù)m時(shí)，首先將n個(gè)作業(yè)依其所需的處理時(shí)間從大到小排序。然后依此順序?qū)⒆鳂I(yè)分配給空閑的處理機(jī)。算法所需的計(jì)算時(shí)間為O(nlogn)。,65,一個(gè)實(shí)例,例如，設(shè)7個(gè)獨(dú)立作業(yè)1,2,3,4,5,6,7由3臺(tái)機(jī)器M1，M2和M3加工處理。各作業(yè)所需的處理時(shí)間分別為2,14,4,16,6,5,3。按算法greedy產(chǎn)生的作業(yè)調(diào)度如下圖所示，所需的總加工時(shí)間為17。,作業(yè)編號(hào),數(shù)據(jù)輸入： 首先輸入 2 個(gè)正整數(shù) n 和 m，分別表示有 n 個(gè)作業(yè)和 m 臺(tái)相同的機(jī)器。 然后輸入 n 個(gè)正整數(shù)，第 i 個(gè)數(shù)表示作業(yè) i 所需的處理時(shí)間。,#define