高等數(shù)學(xué) 第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(沈陽工業(yè)大學(xué)精品課程)

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念一、平面點(diǎn)集，維空間1平面點(diǎn)集(1) 鄰域：設(shè)為平面上一個(gè)點(diǎn)，為一個(gè)正數(shù)，集合點(diǎn)的鄰域（以為中心，以為半徑的鄰域），即 的去心鄰域（以為中心，以為半徑的去心鄰域）為或 （）也通常稱為點(diǎn)的（去心）鄰域。(2) 內(nèi)點(diǎn)：設(shè)為平面點(diǎn)集，為一點(diǎn)，如果存在，則稱為的內(nèi)點(diǎn)。集合 的點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)。(3) 外點(diǎn)：設(shè)為平面點(diǎn)集，為一點(diǎn)，如果存在使得，則稱為的外點(diǎn)。(4) 邊界點(diǎn)：設(shè)為平面點(diǎn)集，為一點(diǎn)，如果的任何鄰域既含有屬于的點(diǎn)，又含有不屬于的點(diǎn)，則稱為的邊界點(diǎn)。(5) 邊界：平面點(diǎn)集的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界，記為。注意：的內(nèi)點(diǎn)一定屬于；的外點(diǎn)一定不屬于；的

2、邊界點(diǎn)可能屬于，也可能不屬于。(6) 聚點(diǎn)：設(shè)為平面點(diǎn)集，為一點(diǎn)，如果的任何去心鄰域總含有中點(diǎn)，即對于任何，則稱為的聚點(diǎn)。由定義，點(diǎn)集的聚點(diǎn)可以屬于，也可以不屬于。如中的點(diǎn)也是的聚點(diǎn)。(7) 開集：如果點(diǎn)集的點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，則稱為開集。(8) 閉集：如果點(diǎn)集的余集是開集，或者說點(diǎn)集的聚點(diǎn)都屬于，則稱為閉集。例如：為開集；為閉集；既不是開集，也不是閉集。(9) 連通集：如果點(diǎn)集中的任何兩點(diǎn)總可用完全屬于的折線連接，則稱為連通集。(10) 區(qū)域：連通的開集稱為區(qū)域（開區(qū)域）(11) 閉區(qū)域：區(qū)域連同其邊界構(gòu)成的集合稱為閉區(qū)域。例如：是區(qū)域；為閉區(qū)域；不是區(qū)域，也不是閉區(qū)域。(12) 有界集：對于平面

3、點(diǎn)集，如果存在某一正數(shù)，使得，則稱為有界集；否則，稱為無界集。例如：為有界集；為無界集。2維空間集合記為。在中定義線性運(yùn)算：即，定義在中定義線性運(yùn)算后，稱為維空間。 中兩點(diǎn)間與的距離定義為 二、多元函數(shù)概念例1 圓柱體的體積 ， 例2 設(shè)是電阻與并聯(lián)后的總電阻，則 ，定義1 設(shè)是的一個(gè)非空子集，稱映射為定義在上的二元函數(shù)，記為 ， 或 ， 其中點(diǎn)集稱為函數(shù)的定義域，集合稱為函數(shù)的值域。類似，可以定義三元函數(shù) ，以及元函數(shù)，或 ， 一般情況，用算式表達(dá)的多元函數(shù)，其定義域?yàn)槭顾闶接幸饬x的點(diǎn)的全體所構(gòu)成的集合。例如，的定義為 函數(shù)的定義域?yàn)閷τ诙瘮?shù)，中的點(diǎn)集 稱為二元函數(shù)的圖形。一般情況，二元

4、函數(shù)的圖形為一個(gè)曲面。如 的圖形為旋轉(zhuǎn)拋物面；的圖形為上半球面。三、多元函數(shù)的極限對于二元函數(shù)，或表示定義2 設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)?，為的聚點(diǎn)，如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)點(diǎn)時(shí)，都有 則常數(shù)稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記為 或 也可記為 或 例3 設(shè)，求證。證明：由于 因此，任給，取，當(dāng) 時(shí)，有 所以注意：是以任何方式趨向于時(shí)，都趨向于，或者說沿任何路徑趨向于時(shí)，都趨向于。如果沿不同路徑趨向于時(shí)，趨向于不同的極限，則趨向于時(shí)，沒有極限。例4 考察函數(shù) 當(dāng)?shù)臉O限情況。解：當(dāng)沿軸方向趨向于時(shí)，有 當(dāng)沿方向趨向于時(shí)，有因此，當(dāng)時(shí)，沒有極限。 例5 求 解： 四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

5、設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)?，為的聚點(diǎn)，且，如果 則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。如果函數(shù)在的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在上連續(xù)，或者說是上的連續(xù)函數(shù)。定義4 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為的聚點(diǎn)，如果函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。例如，根據(jù)前面討論，函數(shù) 在不連續(xù)，是函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)。又如函數(shù) 在圓周上的點(diǎn)沒有定義，因此，在圓周上不連續(xù)。 與一元函數(shù)連續(xù)性類似，可得一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域（包含在定義內(nèi)的區(qū)域）內(nèi)是連續(xù)的。如果是初等函數(shù)，是其定義區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，則 例如例6 求 解： 與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)類似，在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)具有如下性質(zhì)：有界性質(zhì)：在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)必定在上有界。最大值與

6、最小值性質(zhì)：在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)必定在上取得它的最大值和最小值。介值性質(zhì)：在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值。第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果 存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù)，記為， 或 即類似，函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù)記為， 或 定義為如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則在區(qū)域內(nèi)定義兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)與。偏導(dǎo)函數(shù)也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)的概念可推廣到二元以上的函數(shù)。例如，三元函數(shù)在處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為類似可定義和。 例1 求 在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)。解：將看成常數(shù)，得 同理因此得，例2 求 的偏導(dǎo)數(shù)。解： ，例3 設(shè) ，求

7、證：證：因?yàn)?，得 例4 求 的偏導(dǎo)數(shù)。解：將和看成常數(shù)，得由于所給函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，得， 二元函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：由偏導(dǎo)數(shù)的定義，可看成函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是曲線在處的切線對軸的斜率。同理，是曲線在處的切線對軸的斜率。 例5 考察函數(shù) 在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)。解： 同樣有 即函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在。但由第一節(jié)討論知道，該函數(shù)點(diǎn)處是不連續(xù)的。二、高階偏導(dǎo)數(shù)一般情況，函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和仍然是,的函數(shù)。因此，可以考慮和的偏導(dǎo)數(shù)，即二階偏導(dǎo)數(shù)，依次記為，類似，可定義三階、四階以及階偏導(dǎo)數(shù)。例6 設(shè)，求 ，及解：由于 ，得 ， ，由此例看出：。本書所涉及的函數(shù)都滿足與求導(dǎo)

8、數(shù)的次序無關(guān)的條件。例7 驗(yàn)證函數(shù)滿足方程 解：因?yàn)?，得 ， 由此看出 例8 證明函數(shù) 滿足方程 其中。證： 由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，得 ，因此 第三節(jié) 全微分 一、全微分的定義根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)增量與微分的關(guān)系，可得這里，與稱為偏增量，與稱為偏微分。對于函數(shù)，在點(diǎn)處的全增量為定義 如果函數(shù)在點(diǎn)處的全增量 可表示為 其中、不依賴于、而僅與、有關(guān)，則稱函數(shù)在點(diǎn)可微分，而稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記為，即如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都可微分，則稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微分。如果函數(shù)在點(diǎn)處可微分，即或 因此 這說明函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。 定理1（必要條件）如果函數(shù)在點(diǎn)可微分，則函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、存在，而且有 證：設(shè)在

9、點(diǎn)可微分，因此 取，得 因此得 即存在，且。同理證。但是，如果一個(gè)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存，函數(shù)不一定可微分?？疾楹瘮?shù)在處，偏導(dǎo)數(shù)存在，且，從而 注意到不存在，即不能表示為的高階無窮小，故函數(shù)在處是不可微分的。定理2（充分條件）如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。證：考察全增量 應(yīng)用微分中值定理，得 ， ，由于的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)連續(xù)，可得 這里，當(dāng)時(shí)，因此 由于 故當(dāng)，即時(shí)， 。即函數(shù)在點(diǎn)處可微分。對于自變量、，增量也是微分，即、。因此對于可微分的函數(shù)，其全微分可寫成 對于可微分的三元函數(shù)，也有 例1 計(jì)算函數(shù)的全微分解：因?yàn)椋?例2 計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)處的全微分。解：因?yàn)?，?，因此例3 計(jì)算函數(shù)的

10、全微分。解：因?yàn)?，得二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用如果函數(shù)在點(diǎn)處可微分，則或 或 例4 計(jì)算的近似值解：設(shè)，則取 ，。由于，得 第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理1 如果函數(shù)及都在處可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo)，而且有證：設(shè)有增量時(shí)，及的對應(yīng)增量為 ，因此這里，當(dāng)時(shí)，。兩邊除以，得 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，得即 （1）類似，對于三元函數(shù)，其復(fù)合函數(shù)，有 （2） 例1 設(shè)，而，求。解：利用公式（1），得 定理2 如果函數(shù)及都在點(diǎn)具有對及的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，而且有 （3） （4）證明與定理1類似。類似，對于三元函數(shù)，其復(fù)合函數(shù)，有 （5

11、） （6）例2 設(shè)，而，求 ，。解：由公式（3）、（4）得 例3 設(shè)函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)具有對及的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處可導(dǎo)，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解：本題屬于定理2的特例，即，轉(zhuǎn)化為，而因此有例4 設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而具有偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解：本題可看成公式（5）、（6）的特例，即，而，因此得 ，這樣， 注意：與、與的差別。例5 設(shè)，而，求，。解：參考例4，得例6 設(shè)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，。解：令，并引入記號 ，得再記 ，得 全微分形式不變性：設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分 如果、又是、的函數(shù)，即，則復(fù)合函數(shù)的全微分為 由復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式，得 這說明：無論、是自變量或是中

12、間變量，函數(shù)的全微分的形式 總是正確的。這個(gè)性質(zhì)稱為全微分形式不變性。例7 設(shè)，其中、與都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，。解：對各個(gè)函數(shù)求全微分，得 代入，得利用全微分的形式不變性，得 第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 一、一個(gè)方程的情形隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足條件，并有設(shè)函數(shù)由方程確定，得 兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得因此得對于函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，得 例1 設(shè)函數(shù)由方程確定，求。解：由于得例2 設(shè)方程在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)確定，求。解：由于，故由于是在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)，故時(shí)，因此 隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏

13、導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足條件，并有，設(shè)函數(shù)由方程確定，得 兩邊分別對、求偏導(dǎo)數(shù)，得，因此得，例3 設(shè)，求。解：由于得 從而 二、方程組的情形 一般情況，方程組 可確定兩個(gè)二元函數(shù)，有下面的定理保證。 隱函數(shù)存在定理3 設(shè)函數(shù)、在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有對各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且函數(shù)、的雅可比行列式 在點(diǎn)不等于零，則方程組，在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足條件，并有 , , 定理不證，僅推導(dǎo)求導(dǎo)公式：設(shè)，由方程組，確定，則 兩邊都對求偏導(dǎo)數(shù)由于解得 ，同理可得 ， 例4 設(shè)，求，。解： 把看成的函數(shù)，將方程兩邊對

14、求偏導(dǎo)，得解出、得用同樣的方法，可得 ，第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為：， 在曲線取一點(diǎn)，對應(yīng)參數(shù)為；在的鄰近取一點(diǎn)，對應(yīng)參數(shù)為，連接與的割線的方程為當(dāng)沿曲線趨向于時(shí)，割線的極限位置就是曲線在點(diǎn)的切線（圖）。割線的方程也可寫成 當(dāng)時(shí)，因此，割線的極限位置的方程（曲線在點(diǎn)的切線方程）為切線的方向向量也稱為曲線的切向量。過切點(diǎn)且與切線垂直的平面稱為曲線在點(diǎn)的法平面。故曲線在點(diǎn)的法平面的方程為 例1 求曲線，在點(diǎn)處的切線與法平面的方程。解：因?yàn)?，點(diǎn)對應(yīng)，所以曲線在點(diǎn)處的切向量為 故切線方程為法平面方程為即 如果空間曲線的方程為 ：則可轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式

15、：因此，曲線的切向量為 ，曲線在點(diǎn)處的切線方程為法平面方程為如果空間曲線的方程為 ：并假設(shè) 則曲線的方程等價(jià)為 ：其中，是由方程組確定的隱函數(shù)。因此有 兩邊分別對求導(dǎo)數(shù)，得 由假設(shè)，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi) 因此可解得 ，曲線在點(diǎn)的切向量，其中， 這里，下標(biāo)0表示在點(diǎn)處取值。注意：切向量也可等價(jià)的取成這樣，曲線在點(diǎn)處的切線方程為 法平面方程為 例2 求曲線，在點(diǎn)處的切線及法平面的方程。解：將所給方程的兩邊對求導(dǎo)，得 解得 ，因此 ，從而，曲線在點(diǎn)處的切向量為。故曲線在點(diǎn)處的切線方程為 法平面方程為 即 二、曲面的切平面與法線設(shè)曲面由一般方程給出，即 ：為曲面上一點(diǎn)，為曲面上過的一條曲線，的方程為 ， 對

16、應(yīng)于，即，。由于曲線在曲面上，故兩邊對求導(dǎo)數(shù)，并處取值，得引入向量 由此看出：垂直于曲線的切向量。注意到在曲面的， 為常向量，而為曲面過點(diǎn)的任意一條曲線，即垂直于曲面過點(diǎn)的任何曲線的切向量，也就是曲面過點(diǎn)的所有曲線的切向量在一個(gè)平面內(nèi)，這個(gè)平面稱為曲面在點(diǎn)的切平面。明顯，切平面的法向量為 稱為曲面在點(diǎn)的法向量。因此，法平面的方程為 過點(diǎn)且垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線，法線方程為 特例，如果曲面的方程為 ：則，因此，曲面的法向量為 或 故曲面的切平面方程為 其中，或 曲面的法線方程為 例3 求球面在點(diǎn)處的切平面及法線方程。解：由于 得在點(diǎn)處，故切平面方程為 或 法線方程為 例4 求旋轉(zhuǎn)

17、拋物面在點(diǎn)處的切平面及法線方程。解：第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)設(shè)是平面上以為始點(diǎn)的一條射線，是與同方向的單位向量，射線的參數(shù)方程為 函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，上的另一點(diǎn)，考慮極限 定義 如果沿射線趨向于（）時(shí)，極限 存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)沿射線方向的方向?qū)?shù)，記為，即如果函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，取為軸的正向，即，則 同理，取為軸的正向，即，則 思考題：取為軸和軸的負(fù)向時(shí)，與及的關(guān)系。如果函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則沿軸和軸（正向或負(fù)向）的方向?qū)?shù)存在，而且分別為在點(diǎn)對變量和的偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)在的方向?qū)?shù)存在時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)不一定存在，例如 ，在原點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)但其偏導(dǎo)數(shù)不存在，原因是極限

18、不存在。如果函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，可保證沿軸和軸（正向或負(fù)向）的方向?qū)?shù)存在，不能保證在沿其它方向的方向?qū)?shù)存在，例如顯然，但在點(diǎn)，除去沿坐標(biāo)軸方向外，沿其它方向的方向?qū)?shù)都不存在。定理 如果函數(shù)在點(diǎn)可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)存在，而且有 其中，是方向的方向余弦。證：由于在點(diǎn)可微分，故有 由于點(diǎn)在以為始點(diǎn)的射線上，應(yīng)有，因此 例1 求函數(shù) 在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)。解：方向?yàn)?，與同方向的單位向量為，又由于 ，因此得 對于三元函數(shù)，在空間一點(diǎn)，沿方向的方向?qū)?shù)定義為可以證明：如果在點(diǎn)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)為 例2 求在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，其中的方向角分別為.解

19、：由題設(shè)，與同方向的單位向量為因此 二、梯度設(shè)在平面區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對于每一點(diǎn)，給出一個(gè)向量 這個(gè)向量稱為在點(diǎn)的梯度，記為 如果是與方向同方向的單位向量，則 其中。由此看出：當(dāng)時(shí)，方向?qū)?shù)取得最大值，即沿梯度方向，函數(shù)的方向?qū)?shù)取得最大值，其最大值等于方向?qū)?shù)的模。對于具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的三元函數(shù)，在其定義區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，其梯度向量為第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值定義 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?nèi)點(diǎn)，如果存在的某個(gè)鄰域，使得對于該鄰域內(nèi)異于的任何點(diǎn)，都有則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)；如果存在的某個(gè)鄰域，使得對于該鄰域內(nèi)異于的任何點(diǎn)，都有則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值，點(diǎn)

20、稱為函數(shù)的極小值點(diǎn)。極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。例1 函數(shù)在點(diǎn)處有極小值。例2 函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值。例3 函數(shù)在點(diǎn)處既不取得極大值也不取得極小值，即不是極值點(diǎn)。定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則，證：不妨設(shè)在點(diǎn)處取得極大值。由定義，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，都有 特別地，在該鄰域內(nèi)取，而的點(diǎn)，也有即一元函數(shù)在處取得極大值，因此必有 同理可證明 如果在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則曲面在點(diǎn)（）的切平面為 與二元函數(shù)類似，如果三元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在處取得極值，則必有，使得，同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。由定理1知道：具有偏導(dǎo)數(shù)的極值

21、點(diǎn)一定是駐點(diǎn)；駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)（）；極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn)，偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)（）定理2 （充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令，則 (1) 時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值； (2) 時(shí)沒有極值； (3) 時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，需另作討論。由此得求極值的一般方法：第一步 解方程組 ，以求得所有的駐點(diǎn)。第二步 對于每一個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)值、和。第三步 對于每一個(gè)駐點(diǎn)，確定的符號，以判定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，對極值點(diǎn)確得極大值與極小值，并求出極值。例4 求函數(shù)的極值。解：解方程組 求得駐點(diǎn)為、。求出二階偏導(dǎo)數(shù) ，在點(diǎn)處，且，故為極小值；在點(diǎn)處，故不是極值；在點(diǎn)處，故不是極值；在點(diǎn)處，且，故為極大值。二、多元函數(shù)的最大值與最小值 1如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在內(nèi)可微分且只有有限個(gè)駐點(diǎn)，求在上的最大值與最小值。其方法為：(1) 求出在的全體駐點(diǎn)，并求出在各駐點(diǎn)處的函數(shù)值；(2) 求出在的邊界上的最大值和最小值；(3) 將在各駐點(diǎn)處的函數(shù)值與在的邊界上的最大值和最小值相比較，最大者為在上的最大值，最小者在上的最小值。2對于實(shí)際問題，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)的最大值（最小值）一定在區(qū)域的內(nèi)部取得，而函數(shù)在的內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)