高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理與概率第講二項式定理學(xué)案

1、第56講二項式定理考綱要求考情分析命題趨勢1.能用計數(shù)原理證明二項式定理2會用二項式定理解決與二項式展開式有關(guān)的簡單問題.2017全國卷，62017全國卷，42017山東卷，112016全國卷，142016天津卷，102016山東卷，12對二項式定理的考查，主要是利用通項求展開式的特定項及參數(shù)值利用二項式定理展開式的性質(zhì)求有關(guān)系數(shù)等問題.分值：5分1二項式定理二項式定理(ab)n_CanCan1bCankbkCbn(nN)_二項式系數(shù)二項式展開式中各項系數(shù)_C_(k0，1，n)二項式通項Tk1_Cankbk_，它表示第_k1_項2二項式系數(shù)的性質(zhì)1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)在二項展

2、開式中第k項為Cankbk.()(2)通項Cankbk中的a和b不能互換()(3)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項()(4)(ab)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān)()(5)(ab)n某項的系數(shù)是由該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等構(gòu)成，與該項的二項式系數(shù)不同()解析 (1)錯誤在二項展開式中第k1項為Cankbk，而第k項應(yīng)為Cank1bk1.(2)正確通項Cankbk中的a與b如果互換，則它將成為(ba)n的第k1項(3)錯誤由二項展開式中某項的系數(shù)的定義知；二項展開式中系數(shù)最大的項不一定是中間一項或中間兩項，而二項式系數(shù)最大的項則為中間一項或中間兩項(4)正確因為二

3、項式(ab)n的展開式中第k1項的二項式系數(shù)為C，顯然它與a，b無關(guān)(5)正確因為二項展開式中項的系數(shù)是由該項中非字母因數(shù)部分，包括符號構(gòu)成的，一般情況下，不等于二項式系數(shù)2已知7的展開式的第4項等于5，則x(B)ABC7D7解析 7的展開式中T4Cx435，所以x.3化簡：CCC的值為_22n1_.解析 因為CCC22n，所以CCC22n1.4.5展開式中的常數(shù)項為_40_.解析 Tr1C(x2)5rrC(2)rx105r，令105r0，得r2，故常數(shù)項為C(2)240.5(2017山東卷)已知(13x)n的展開式中含有x2項的系數(shù)是54，則n_4_.解析 由題意可知C3254，C6，解得n

4、4.一二項展開式中的特定項或系數(shù)問題(1)求展開式中的特定項，可依據(jù)條件寫出第k1項，再由特定項的特點求出k值即可(2)已知展開式中的某項，求特定項的系數(shù)可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第k1項，由特定項得出k值，最后求出其參數(shù)【例1】 (1)(2018廣東惠州模擬)在二項式5的展開式中，含x4的項的系數(shù)是(A)A10B10C5D20(2)8的展開式中的有理項共有_3_項解析 (1)Tr1C(x2)5r(x1)rC(1)rx103r，令103r4，得r2，所以含x4項的系數(shù)為C(1)210，故選A(2)展開式的通項為Tr1C()8rrrCx(r0,1,2，8)，為使Tr1為有理項，r必須是

5、4的倍數(shù)，所以r0,4,8，故共有3個有理項二多項展開式中的特定項或系數(shù)問題(1)對于幾個多項式和的展開式中的特定項(系數(shù))問題，只需依據(jù)二項展開式的通項，從每一項中分別得到特定的項，再求和即可(2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\用分類方法，以免重復(fù)或遺漏(3)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決【例2】 (1)48的展開式中的常數(shù)項為(D)A32B34C36D38(2)(2017全國卷)(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(C)A80B40C40D80(3)(2017全國卷)(1x)6展開式中x2的系數(shù)為

6、(C)A15B20C30D35解析 (1)4的展開式的通項為Tm1C(x3)4mmC(2)mx124m，令124m0，解得m3，8的展開式的通項為Tn1Cx8nnCx82n，令82n0，解得n4，所以所求常數(shù)項為C(2)3C38.(2)當(dāng)?shù)谝粋€括號內(nèi)取x時，第二個括號內(nèi)要取含x2y3的項，即C(2x)2(y)3；當(dāng)?shù)谝粋€括號內(nèi)取y時，第二個括號內(nèi)要取含x3y2的項，即C(2x)3(y)2，所以x3y3的系數(shù)為C23C2210(84)40.(3)(1x)6展開式的通項Tr1Cxr，所以(1x)6的展開式中x2的系數(shù)為1C1C30，故選C三二項式系數(shù)的和與性質(zhì)賦值法的應(yīng)用(1)形如(axb)n，(

7、ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可(2)對形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)奇數(shù)項系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1a3a5.【例3】 (1)設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a7b，則m(B)A5B6C7D8(2)若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a1a2a3a4_0_.解析 (1)由題意得：aC，bC，所以1

8、3C7C，13，解得m6，經(jīng)檢驗符合題意，選B(2)令x1可得a0a1a2a3a41；令x0，可得a01，所以a1a2a3a40.四二項式定理的應(yīng)用(1)整除問題的解題思路：利用二項式定理找出某兩個數(shù)(或式)之間的倍數(shù)關(guān)系，是解決有關(guān)整除問題和余數(shù)問題的基本思路，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項式，并將它展開進行分析判斷(2)求近似值的基本方法：利用二項式定理進行近似計算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時，(1x)n1nx.【例4】 (1)設(shè)aZ，且0a13，若512 012a能被13整數(shù)，則a(D)A0B1C11D12(2)1.028的近似值是_1.172_.(精確到小數(shù)點后三位)解析 (1)512 012

9、a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除，且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除，因此a的值為12.(2)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.1(2018河南商丘檢測)在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展開式中，含x3的項的系數(shù)是(D)A74B121C74D121解析 展開式中含x3的項的系數(shù)為C(1)3C(1)3C(1)3C(1)3121.2(2018安徽安慶二模)將3展開后，常數(shù)項是_1

10、60_.解析 36展開后的通項是C()6kk(2)kC()62k.令62k0，得k3.所以常數(shù)項是C(2)3160.3(2018廣東廣州綜合測試)已知n的展開式的常數(shù)項是第7項，則正整數(shù)n的值為_8_.解析 二項式n的展開式的通項是Tr1C(2x3)nrrC2nr(1)rx3n4r，依題意，有3n460，得n8.4C3C5C(2n1)C_(n1)2n_.解析 設(shè)SC3C5C(2n1)C(2n1)C，S(2n1)C(2n1)C3CC，2S2(n1)(CCCC)2(n1)2n，S(n1)2n.易錯點不能靈活使用公式及其變形錯因分析：選擇的公式不合適，造成解題錯誤【例1】 求5展開式中常數(shù)項解析 x

11、3，原式(x1)15，則常數(shù)項為C(1)53 003.【例2】 求9192被100除所得的余數(shù)解析 (901)92C9092C9091C902C90C，前91項均能被100整數(shù)，剩下兩項和為929018 281，顯然8 281除以100所得余數(shù)為81.【跟蹤訓(xùn)練1】 (x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(C)A10B20C30D60解析 (x2xy)5(x2x)y5，含y2的項為T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的項為Cx4xCx5.所以x5y2的系數(shù)為CC30.課時達標第56講解密考綱對二項式定理的考查主要涉及利用通項公式求展開式、特定項或參數(shù)值，利用二項式的性質(zhì)求多項式

12、的二項式系數(shù)、各項系數(shù)的和，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)一、選擇題1二項式10的展開式中的常數(shù)項是(A)A180B90C45D360解析 10的展開式的通項為Tk1C()10kk2kCx5k，令5k0，得k2，故常數(shù)項為22C180.2設(shè)n為正整數(shù)，2n展開式中存在常數(shù)項，則n的一個可能取值為(B)A16B10C4D2解析 2n展開式的通項公式為Tk1Cx2nkkC(1)kx，令0，得k，依據(jù)選項知n可取10.3.6的展開式的第二項的系數(shù)為，則x2dx的值為(B)A3BC3或D3或解析 該二項展開式的第二項的系數(shù)為Ca5，由Ca5，解得a1，因此x2dxx2dx|.4已知(1x)10a0a1

13、(1x)a2(1x)2a10(1x)10，則a8(D)A5B5C90D180解析 (1x)102(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，a8C22(1)8180，故選D5若()5展開式的第三項為10，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀為(D)解析 ()5的展開式的通項為Tr1Cxy，則T3Cxy10，即xy1，由題意知x0，故D選項的圖象符合6在(2xxlg x)8的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的值等于1 120，則x(C)A1BC1或D1解析 二項式系數(shù)最大的項為第5項，由題意可知T5C(2x)4(xlg x)41 120，x4(1lg x)1，兩邊取對數(shù)可知lg2xlg

14、x0，得lg x0或lg x1，故x1或x.二、填空題7(2017浙江卷)已知多項式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_16_，a5_4_.解析 由題意知a4為展開式含x的項的系數(shù)，根據(jù)二項式定理得a4C12C22C13C216，a5是常數(shù)項，所以a5C13C224.8(2016全國卷)(2x)5的展開式中，含x3項的系數(shù)是_10_(用數(shù)字填寫答案)解析 由(2x)5得Tr1C(2x)5r()r25rCx5，令53得r4，此時系數(shù)為10.9若二項式n的展開式中的常數(shù)項是80，則該展開式的二項式系數(shù)之和等于_32_.解析 對于Tr1C()nrrC2rx，當(dāng)rn時展

15、開式為常數(shù)項，因此n為5的倍數(shù)，不妨設(shè)n5m，則有r3m，則23mC80，因此m1，則該展開式中的二項式系數(shù)之和等于2n2532.三、解答題10已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項(1)求n；(2)求含x2的項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項解析 (1)依題意知n的展開式的通項為Tr1C()nrrrCx，又第6項為常數(shù)項，則當(dāng)r5時，0，即0，解得n10.(2)由(1)得Tr1rCx，令2，解得r2，故含x2的項的系數(shù)為2C.(3)若Tr1為有理項，則有Z，且0r10，rZ，故r2,5,8，則展開式中的有理項分別為T3C2x2x2，T6C5，T9C8x2x2.11已知(12x)7a0a1xa

16、2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解析 令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)(12x)7展開式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.12已知 n，求：(1)展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；