（浙江版）2018年高考數(shù)學一輪復習 專題9.9 圓錐曲線的綜合問題（講）.doc

1、第九節(jié) 圓錐曲線的綜合問題【考綱解讀】考 點考綱內容5年統(tǒng)計分析預測圓錐曲線的綜合問題（1）會解決直線與橢圓、拋物線的位置關系的問題。(2) 了解方程與曲線的對應關系和求曲線方程的基本方法。（3）理解數(shù)形結合、用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。了解圓錐曲線的簡單應用。2013浙江文22；理21；2014浙江文17,22；2015浙江文19；理19；2016浙江文19；理19；2017浙江21.1.考查直線與橢圓的位置關系；2.考查直線與拋物線的位置關系；3.考查直線與圓、圓錐曲線的綜合問題,如取值范圍、最值、定值、定點、存在性問題等.4.備考重點： (1)掌握圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方

2、程、幾何性質；（2）熟練掌握常見直線與圓錐曲線綜合問題題型的解法；（3）利用數(shù)形結合思想，靈活處理綜合問題.【知識清單】1. 圓錐曲線中的定點、定值問題圓錐曲線中定值、定點問題的求解方法圓錐曲線中的定點、定值問題往往與圓錐曲線中的“常數(shù)”有關，如橢圓的長、短軸，雙曲線的虛、實軸，拋物線的焦參數(shù)等定值問題的求解與證明類似，在求定值之前，已經知道定值的結果(題中未告知，可用特殊值探路求之)，解答這類題要大膽設參，運算推理，到最后參數(shù)必清，定值顯現(xiàn) 對點練習：【2016高考新課標1卷】設圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證

3、明為定值,并寫出點E的軌跡方程；（II）設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】（）（）（II）【解析】試題解析：（）因為,故,所以,故.又圓的標準方程為,從而,所以.由題設得,由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）.（）當與軸不垂直時,設的方程為,.由得.則,.所以.過點且與垂直的直線：,到的距離為,所以.故四邊形的面積.可得當與軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為.當與軸垂直時,其方程為,四邊形的面積為12.綜上,四邊形面積的取值范圍為.2. 圓錐曲線中的最值與范圍問題與圓錐曲線相關的最值、范圍問題綜合性

4、較強，解決的方法：一是由題目中的限制條件求范圍，如直線與圓錐曲線的位置關系中的范圍，方程中變量的范圍，角度的大小等；二是將要討論的幾何量如長度、面積等用參數(shù)表示出來，再對表達式進行討論，應用不等式、三角函數(shù)等知識求最值，在解題過程中注意向量、不等式的應用 對點練習：【2017課標1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A16B14C12D10【答案】A3. 圓錐曲線中的探索性問題探索性問題的求解方法：先假設成立，在假設成立的前提下求出與已知、定理或公理相同的結論，說

5、明結論成立，否則說明結論不成立處理這類問題，一般要先對結論做出肯定的假設，然后由此假設出發(fā)，結合已知條件進行推理論證若推出相符的結論，則存在性隨之解決；若推出矛盾，則否定了存在性；若證明某結論不存在，也可以采用反證法對點練習：【2017課標II，理】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。(1) 求點P的軌跡方程；(2)設點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。 【答案】(1) 。(2)證明略。【解析】（2）由題意知。設,則，。由得，又由（1）知，故。所以，即。又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F

6、?！究键c深度剖析】圓錐曲線是歷年高考命題的重點和熱點，也是一大難點命題的熱點主要有四個方面：一是直線和圓錐曲線的位置關系中的基本運算；二是最值與范圍問題；三是定點與定值問題；四是有關探究性的問題命題多與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、向量等多種知識綜合，考查考生的各種數(shù)學思想與技能，因此也是高考的難點【重點難點突破】考點1 圓錐曲線中的定點、定值問題【1-1】【2016年高考北京理數(shù)】已知橢圓C： （）的離心率為 ，的面積為1.（1）求橢圓C的方程；（2）設的橢圓上一點，直線與軸交于點M，直線PB與軸交于點N.求證：為定值.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）由題意得解得.所以橢圓的方程為

7、.直線的方程為.令，得.從而.所以.當時，所以.綜上，為定值.【1-2】【2016高考山東理數(shù)】平面直角坐標系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點F是C的一個頂點.（I）求橢圓C的方程；（II）設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.（i）求證：點M在定直線上;（ii）直線與y軸交于點G，記的面積為，的面積為，求 的最大值及取得最大值時點P的坐標.【答案】（）;（）（i）見解析；（ii）的最大值為，此時點的坐標為（）（i）設，由可得，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.設，聯(lián)立方程得，由，

8、得且，因此,將其代入得，因為，所以直線方程為.聯(lián)立方程，得點的縱坐標為，即點在定直線上.（ii）由（i）知直線方程為，令得，所以，又，所以，所以，令，則，當，即時，取得最大值，此時，滿足，所以點的坐標為，因此的最大值為，此時點的坐標為.【領悟技法】定點、定值問題通常是通過設參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).【觸類旁通】【變式一】【2018屆河南省漯河市高級中學高三上期中】在平面直角

9、坐標系中，已知橢圓，如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點.（1）求的最小值；（2）若，求證：直線過定點.【答案】（1）.（2）見解析（2）由（1）知所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，求得點的坐標，并代入 ，得到 ，因此得證直線過定點；試題解析：（1）設直線 的方程為，由題意， ，由方程組，得，由題意，所以，設，由根與系數(shù)的關系得，所以，由于為線段的中點，因此，此時，所以所在直線的方程為，又由題意知，令，得，即，所以，當且僅當時上式等號成立，此時由得，因此當且時， 取最小值.（2）證明：由（1）知所在直線的方程為， 將其代入橢圓的方程，并由，解得，又

10、，由距離公式及得， ，由，得，因此直線的方程為，所以直線恒過定點.【變式二】【2017屆北京市東城區(qū)東直門中學高三上學期期中】如圖，橢圓經過點，且離心率為（）求橢圓的方程（）經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，（均異于點），判斷直線與的斜率之和是否為定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，請說明理由【答案】（1）（）斜率之和為定值（）由題設知，直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得由已知，設，則，從而直線，的斜率之和：故直線、斜率之和為定值考點2 圓錐曲線中的最值與范圍問題【2-1】【2018屆江蘇省儀征中學高三10月檢測】橢圓C： 的長軸是短軸的兩倍，點在橢圓上.不過原點的直線l

11、與橢圓相交于A、B兩點，設直線OA、l、OB的斜率分別為、，且、恰好構成等比數(shù)列，記的面積為S.（1）求橢圓C的方程.（2）試判斷是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由？（3）求S的范圍.【答案】(1) （2）5（3）設直線的方程為,代入橢圓方程，消去，根據(jù)、恰好構成等比數(shù)列，求出,進而表示出，即可得出結論。表示出的面積，利用基本不等式，即可求出的范圍。解析：(1)由題意可知，且，所以橢圓的方程為 （2）依題意，直線斜率存在且，設直線的方程為（），、由，因為、恰好構成等比數(shù)列，所以，即；所以 此時得，且（否則：，則，中至少有一個為，直線、中至少有一個斜率不存在，與已知矛盾）所以；所以

12、所以是定值為5； （3）（，且）所以 【2-2】【2018屆浙江省嘉興市第一中學高三9月測試】如圖，已知拋物線，過直線上任一點作拋物線的兩條切線，切點分別為.（I）求證：；（II）求面積的最小值.【答案】(1)見解析(2) 面積取最小值【解析】試題分析：（1）設，的斜率分別為，由切線條件，易得，即，由兩根之積可得所以；（2），而，同理可得，即，然后求最值即可.（II）由（I）得， 所以綜上，當時，面積取最小值.【綜合點評】1.(1)凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時都要注意利用韋達定理，避免求交點坐標的復雜運算解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應用，而且還應注意焦點弦的幾何性質(

13、2)對于直線與拋物線相交、相切、中點弦、焦點弦問題，以及定值、存在性問題的處理，最好是作出草圖，由圖象結合幾何性質做出解答并注意“設而不求”“整體代入”“點差法”的靈活應用2.解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識聯(lián)系在一起出題，解決這類問題需要正確運用轉化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)學結合思想，其中運用最多的是利用方程根與系數(shù)關系構造等式或者函數(shù)關系式，注意根的判別式來確定或者限制參數(shù)的范圍【領悟技法】圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法(1)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目

14、標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關系；利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍【觸類旁通】【變式1】【2018屆浙江省名校協(xié)作體高三上學期聯(lián)考】設是橢圓長軸的兩個端點，若上存在點滿足，則的取值范圍是（ ）【答案】A當橢圓的焦點在 軸上時， ，當 位于短軸的端點時， 取最大值，要使橢圓 上存在點滿足， ，解得： ， 的取值范圍是 故

15、選A【變式2】【2018屆浙江省名校協(xié)作體高三上學期聯(lián)考】如圖，已知拋物線的焦點在拋物線上，點是拋物線上的動點（）求拋物線的方程及其準線方程；（）過點作拋物線的兩條切線， 、分別為兩個切點，求面積的最小值【答案】() 的方程為 其準線方程為；()2.聯(lián)立由韋達定理得，可求得進而求得點到直線的距離 則的面積所以當時， 取最小值為。即面積的最小值為2.試題解析：（） 的方程為 其準線方程為 （）設， ， ， 則切線的方程： ，即，又，所以，同理切線的方程為，又和都過點，所以，所以直線的方程為. 聯(lián)立得，所以。所以點到直線的距離 所以的面積所以當時， 取最小值為。即面積的最小值為2. 考點3 圓錐曲

16、線中的探索性問題【3-1】【2017屆湖南省長沙市長郡中學高三下學期臨考沖刺】在平面直角坐標系中，點，圓，以動點為圓心的圓經過點，且圓與圓內切.（）求動點的軌跡的方程；（）若直線過點，且與曲線交于兩點，則在軸上是否存在一點，使得軸平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）在軸上存在一點，使得軸平分.試題解析：解：（）圓的方程可化為： ，故圓心，半徑，而，所以點在圓內.又由已知得圓的半徑，由圓與圓內切可得，圓內切于圓，即，所以，故點的軌跡，即曲線是以為焦點，長軸長為的橢圓.顯然，所以，故曲線的方程為（）設，當直線的斜率不為時，設直線，代入得： ， 恒成立.由根與系數(shù)的關系

17、可得， ，設直線的斜率分別為，則由得， .，將代入得，因此，故存在滿足題意.當直線的斜率為時，直線為軸，取，滿足，綜上，在軸上存在一點，使得軸平分.【3-2】【2017屆浙江省湖州、衢州、麗水三市高三4月聯(lián)考】已知點在橢圓內，過的直線與橢圓相交于A，B兩點，且點是線段AB的中點，O為坐標原點（）是否存在實數(shù)t，使直線和直線OP的傾斜角互補？若存在，求出的值，若不存在，試說明理由；（）求面積S的最大值【答案】( )存在；() .【解析】試題分析：試題解析：（）存在.由題意直線的斜率必存在，設直線的方程是代入得：.（1）設，則，即，解得：，此時方程（1）即由解得，（或由解得，）當時，顯然不符合題意

18、；當時，設直線的斜率為，只需，即，解得，均符合題意.（）由（1）知的方程是，所以，因為，所以當時，.【領悟技法】解析幾何中存在性問題的求解方法：1通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化，其步驟為：假設滿足條件的元素（點、直線、曲線或參數(shù)）存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于特定參數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素（點、直線、曲線或參數(shù)）存在，否則（點、直線、曲線或參數(shù)）不存在2反證法與驗證法也是求解存在性問題的常用方法【觸類旁通】【變式一】【2017屆浙江省嘉興一中、杭州高級中學、寧波效實中學等高三下五校聯(lián)考】如圖，已知橢圓經過不同的三點在第三象限），線段的中點在直線上（）求橢圓的方程及點

19、的坐標；（）設點是橢圓上的動點（異于點且直線分別交直線于兩點，問是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由【答案】（1）；（2）試題解析：（）由點在橢圓上，得解得所以橢圓的方程為3分由已知，求得直線的方程為從而（1）又點在橢圓上，故（2）由（1）（2）解得（舍去）或從而所以點的坐標為6分（）設因三點共線，故整理得 因三點共線，故整理得10分因點在橢圓上，故，即從而所以為定值 15分【變式二】【2018屆云南省大理市云南師范大學附屬中學月考卷二】已知點為圓上一動點，軸于點，若動點滿足（其中為非零常數(shù)）（1）求動點的軌跡方程；（2）若是一個中心在原點，頂點在坐標軸上且面積為8的正方形，當時，得

20、到動點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線相交于兩點，當線段的中點落在正方形內（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍.【答案】(1) ,(2) .（）設動點，則，且，又，得，代入得動點的軌跡方程為（）當時，動點的軌跡曲線為直線的斜率存在，設為，則直線的方程為，代入，得，由，解得，設，線段的中點，則由題設知，正方形在軸左邊的兩邊所在的直線方程分別為，注意到點不可能在軸右側，則點在正方形內（包括邊界）的條件是即解得，此時也成立于是直線的斜率的取值范圍為考點4 直線、圓及圓錐曲線的交匯問題【4-1】【2017屆陜西省西安市西北工業(yè)大學附屬中學高三下學期第六次模擬】已知橢圓，直線與橢圓在第一象限內的交點是，點

21、在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點，橢圓的另一個焦點是，且.(1) 求橢圓的方程；(2) 直線過點，且與橢圓交于兩點，求的內切圓面積的最大值.【答案】(1) ；(2)3.【解析】試題分析：(1)由題意求得，所以橢圓的方程為；(2)由題意求得內切圓的面積函數(shù)： ，換元之后結合對勾函數(shù)的性質可得面積的最大值為3.（2）由（1）知，過點的直線與橢圓交于兩點，則的周長為，則（為三角形的內切圓半徑），當面積最大時，其內切圓面積最大設直線的方程為： 由得所以令，則，所以，而在上單調遞增，所以，當時取等號，即當， 面積的最大值為3【4-2】已知圓M：(x1)2y2=1，圓N：(x1)2y2=9，動圓P與圓M外切

22、并與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線 C（）求C的方程；（）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|. 【答案】（1）；（2）.若直線l不垂直于x軸，設l與x軸的交點為Q，則，解得，故直線l：；有l(wèi)與圓M相切得，解得；當時，直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程解得；同理，當時，.【領悟技法】直線、圓及圓錐曲線的交匯問題，要認真審題，學會將問題拆分成基本問題，然后綜合利用數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、方程的思想等來解決問題，這樣可以漸漸增強自己解決綜合問題的能力 【觸類旁通】【變式一】【2018屆江西省南昌市上學期高三摸底】已知橢圓的離心率為，短軸長為2.（1

23、）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于兩點， 為坐標原點，若，求證：點在定圓上.【答案】（1）橢圓的標準方程為 （2）證明見解析 ，由得 點在定圓上. 試題解析：（1）設焦距為，由已知， ， ，橢圓的標準方程為. （2）設，聯(lián)立得，依題意， ，化簡得， 若，則， 即， 即，化簡得，由得.點在定圓上.（沒有求范圍不扣分）【變式二】【2017屆云南省昆明市高三下學期第二次統(tǒng)測】在直角坐標系中， 動圓與圓外切，同時與圓內切.（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）設動圓圓心的軌跡為曲線，設是曲線上兩點，點關于軸的對稱點為 (異于點)，若直線分別交軸于點，證明: 為定值.【答案】（1）；（2）詳見解析.，所以動圓圓心的軌跡方程為.(2)設，則，由題意知.則，直線方程為，令，得，同理，于是，又和在橢圓上，故，則.所以.【易錯試題常警惕】易錯典例：中，B，C 坐標分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為16，求點A的軌跡方程易錯分析：沒注意檢驗曲線上的點是否都滿足題意溫馨提示：1.要注意完備性和純粹性的檢驗