高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2.1 向量的加法學(xué)案 蘇教版必修_第1頁
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1、22向量的線性運(yùn)算2.2.1向量的加法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的物理意義及其幾何意義.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則作兩個(gè)向量的加法運(yùn)算.3.了解向量加法的交換律和結(jié)合律,并能依幾何意義作圖解釋加法運(yùn)算律的合理性知識(shí)鏈接1兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加嗎?答不是兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量,所以兩個(gè)向量相加要注意兩個(gè)方面,即和向量的方向和模2向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區(qū)別與聯(lián)系?答向量加法的平行四邊形法則和三角形法則區(qū)別:三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相連”,平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”;三角形法則適用于所有的兩個(gè)非零

2、向量求和,而平行四邊形僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和聯(lián)系:當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí),向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的預(yù)習(xí)導(dǎo)引1向量的加法法則(1)三角形法則如圖所示,已知非零向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作a,b,則向量叫做a與b的和(或和向量),記作ab,即ab.上述求兩個(gè)向量和的作圖法則,叫做向量求和的三角形法則對(duì)于零向量與任一向量a的和有a00aa.(2)平行四邊形法則如圖所示,已知兩個(gè)不共線的非零向量a,b,作a,b,則O、A、B三點(diǎn)不共線,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形,則對(duì)角線上的向量ab,這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則2向量加法的運(yùn)算律(1)交換律:abba.(2

3、)結(jié)合律:(ab)ca(bc).要點(diǎn)一向量的加法運(yùn)算例1化簡(jiǎn)或計(jì)算:(1)_.(2)_.(3)在平行四邊形ABCD中(如圖),對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O.則_;_;_;_.答案(1)(2)0(3)0解析(1)().(2)()()0.(3),0.規(guī)律方法(1)解決該類題目要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算,注意各向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)及向量起點(diǎn)、終點(diǎn)字母排列順序,特別注意勿將0寫成0.(2)運(yùn)用向量加法求和時(shí),在圖中表示“首尾相接”時(shí),其和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)跟蹤演練1如圖,E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),化簡(jiǎn)下列各式:;.解;0.要點(diǎn)二利用向量證明幾何問

4、題例2在ABCD的對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線及反向延長(zhǎng)線上,取點(diǎn)F、E,使BEDF(如圖)用向量的方法證明:四邊形AECF也是平行四邊形證明,.又,即AE、FC平行且相等,四邊形AECF是平行四邊形規(guī)律方法用向量證明幾何問題的一般步驟:要把幾何問題中的邊轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的向量;通過向量的運(yùn)算及其幾何意義得到向量間的關(guān)系跟蹤演練2下列命題:如果a,b的方向相同或相反,那么ab的方向必與a,b之一的方向相同;ABC中,必有0;若0,則A、B、C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)其中真命題為_答案解析如果a,b的方向相同則ab的方向必與a,b相同如果a,b的方向相反,若|a|b|,則ab的方向與a相同,若|a|b|,則ab的

5、方向與b相同,若|a|b|,則ab0,它的方向任意,錯(cuò)誤正確若0,則A,B,C可能三點(diǎn)共線,錯(cuò)誤要點(diǎn)三向量加法的實(shí)際應(yīng)用例3如圖所示,在抗震救災(zāi)中,一架飛機(jī)從A地按北偏東35的方向飛行800 km到達(dá)B地接到受傷人員,然后又從B地按南偏東55的方向飛行800 km送往C地醫(yī)院,求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和解設(shè),分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35的方向飛行800 km,從B地按南偏東55的方向飛行800 km,則飛機(jī)飛行的路程指的是|;兩次飛行的位移的和指的是.依題意,有|8008001 600(km),又35,55,ABC355590,所以| 800(km)其中BAC45,所以方向?yàn)楸逼珫|3

6、54580.從而飛機(jī)飛行的路程是1 600 km,兩次飛行的位移和的大小為800 km,方向?yàn)楸逼珫|80.規(guī)律方法解決與向量有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題,應(yīng)本著如下步驟:弄清實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題正確畫出示意圖用向量表示實(shí)際量向量運(yùn)算回扣實(shí)際問題作出解答跟蹤演練3已知小船在靜水中的速度與河水的流速都是10 km/h,問:(1)小船在河水中行駛的實(shí)際速度的最大值與最小值分別是多少?(2)如果小船在河南岸M處,對(duì)岸北偏東30有一碼頭N,小船的航向如何確定才能直線到達(dá)對(duì)岸碼頭?(河水自西向東流)解(1)小船順流行駛時(shí)實(shí)際速度最大,最大值為20 km/h;小船逆流行駛時(shí)實(shí)際速度最小,最小值為0 km/h,此時(shí)小船

7、是靜止的(2)如圖所示,設(shè)表示水流的速度,表示小船實(shí)際過河的速度設(shè)MCMA,|10,CMN30.,四邊形MANB為菱形則AMN60,AMN為等邊三角形在MNB中,|10,BMN60,而CMN30,CMB30,所以小船要由M直達(dá)碼頭N,其航向應(yīng)為北偏西30.1如圖,D、E、F分別是ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn),則下列等式中正確的是_0;0;.答案解析0;0;0.2下列結(jié)論正確的是_a(bc)(ac)b;0;.答案解析滿足向量加法的交換律與結(jié)合律,正確0,而不是0,不正確(),正確3.設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點(diǎn),如圖所示,化簡(jiǎn)下列各式:(1)_;(2)_;(3)_;(4)_.答案(1)(2

8、)0(3)(4)4如圖所示,P,Q是ABC的邊BC上兩點(diǎn),且BPQC.求證:.證明,.又BPQC且與方向相反,0,即.1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法,兩個(gè)法則是統(tǒng)一的當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)常選用三角形法則,當(dāng)兩個(gè)向量共始點(diǎn)時(shí),常選用平行四邊形法則2向量的加法滿足交換律,因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí),可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.如圖所示,在ABCD中,_.;.答案解析()0.2在四邊形中,若,則四邊形ABCD的形狀是_答案平行四邊形解析,.3如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,若AB1,則|_.答案2解析|2.4如圖在ABCD中,O是對(duì)角線的交點(diǎn),下

9、列結(jié)論正確的有_,;.答案5已知|a|3,|b|5,則向量ab模長(zhǎng)的最大值是_答案8解析|ab|a|b|358.|ab|的最大值為8.6已知|1,且AOB60,則|_.答案解析如圖所示,|,在OAC中,AOC30,|1,|.7設(shè)O是ABC內(nèi)任一點(diǎn),D,E,F(xiàn)分別為AB,BC,CA的中點(diǎn)證明:.證明如圖所示,因?yàn)?,所?因?yàn)镈,E,F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn),所以()0.所以.二、能力提升8已知點(diǎn)G是ABC的重心,則_.答案0解析如圖所示,連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于E點(diǎn),點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),延長(zhǎng)AE到D點(diǎn),使GEED,則,0,0.9設(shè)|a|8,|b|12,則|ab|的最大值與最小值分別為_答案20,4解析當(dāng)a

10、與b共線同向時(shí),|ab|max20;當(dāng)a與b共線反向時(shí),|ab|min4.10已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若(),則與的夾角為_答案90解析(),點(diǎn)O是ABC中邊BC的中點(diǎn),BC為直徑,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有與的夾角為90.11一艘船以5 km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛,航船實(shí)際航行方向與水流方向成30角,求水流速度和船實(shí)際速度解如圖所示,表示水流速度,表示船垂直于對(duì)岸的方向行駛的速度,表示船實(shí)際航行的速度,AOC30,|5.四邊形OACB為矩形,|5,|10,水流速度大小為5 km/h,船實(shí)際速度為10 km/h.12已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O點(diǎn),且,.求證:四邊形ABCD是平形四邊形證明如圖所示,.又,ABDC,且ABDC,四邊形ABCD為平形四邊形三、探究與創(chuàng)新13在四川512大地震后,一架救援直升飛機(jī)從A地沿

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