高中數(shù)學(xué)2．3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案（5）新人教A版必修

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 第一課時(shí)一、教材分析1.教材地位與作用本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過(guò)程中，采用了：1從特殊到一般的研究方法；2等差數(shù)列的基本元表示 ；3逆序相加求和。不僅得出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，而且對(duì)以后推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有一定的啟發(fā)，也是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。等差數(shù)列前n項(xiàng)和是學(xué)習(xí)極限、微積分的基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系。2.教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。過(guò)程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊

2、到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思。情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。3.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是重點(diǎn)。獲得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的思路是難點(diǎn)。二、教法分析教學(xué)過(guò)程分為問(wèn)題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應(yīng)用知識(shí)階段。探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路是教學(xué)的重點(diǎn)。如果直接介紹“逆序相加”求和，無(wú)疑就像波利亞所說(shuō)的“帽子里跳出來(lái)的兔子”。所以在教學(xué)中采用以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、層層鋪墊，從特殊到一般啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)方法。應(yīng)用公式也是教學(xué)的重點(diǎn)。為了讓學(xué)生較熟練掌握公式，可采用設(shè)計(jì)變式題的教學(xué)手段，通過(guò)“選擇公式”，“變用公式”，“知三求二”三

3、個(gè)層次來(lái)促進(jìn)學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成三、學(xué)法分析建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)的建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系。在教學(xué)中，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，通過(guò)觀察、操作、歸納、思考、探索、交流、反思參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，發(fā)展能力。四、教學(xué)過(guò)程1問(wèn)題呈現(xiàn)泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛(ài)妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見(jiàn)左圖），奢靡之程度，可見(jiàn)一斑。你知道這

4、個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？設(shè)計(jì)說(shuō)明源于歷史，富有人文氣息.圖中算數(shù)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.承上啟下，探討高斯算法.22.探究發(fā)現(xiàn)學(xué)生敘述高斯首尾配對(duì)的方法學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對(duì)的方法來(lái)求和，但是他們對(duì)這種方法的認(rèn)識(shí)可能處于模仿、記憶的階段 。為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)了下面問(wèn)題。問(wèn)題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問(wèn)題，不能簡(jiǎn)單模仿偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求和的辦法，通過(guò)前后比較得出認(rèn)識(shí)：高斯“首尾配對(duì)”的算法還得分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況求和。進(jìn)而提出有無(wú)簡(jiǎn)單的方法借助幾何圖形之直觀性，引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形：

5、設(shè)計(jì)說(shuō)明幾何直觀能啟迪思路，幫助理解，因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。從而滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。問(wèn)題2：求1到n的正整數(shù)之和。從求確定的前n個(gè)正整數(shù)之和到求一般項(xiàng)數(shù)的前n個(gè)正整數(shù)之和，旨在讓學(xué)生體驗(yàn)“逆序相加求和”這一算法的合理性，從心理上完成對(duì)“首尾配對(duì)求和”算法的改進(jìn)。問(wèn)題3：如何求等差數(shù)列an前n項(xiàng)和sn?由于前面的鋪墊，學(xué)生容易得出如下過(guò)程：圖形直觀等差數(shù)列的性質(zhì)(如果m+n=p+q那么am+an=ap+aq)設(shè)計(jì)說(shuō)明（方法1） 許多的教學(xué)設(shè)計(jì)在介紹“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”教學(xué)時(shí)，先復(fù)習(xí)或介紹等差數(shù)列的性質(zhì)，然后在此基礎(chǔ)

6、上采用逆序相加推導(dǎo)公式。（方法2）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）（人民教育出版社）介紹的推導(dǎo)方法是先把等差數(shù)列用項(xiàng)（首項(xiàng)、尾項(xiàng)）、公差兩個(gè)基本元表示，然后采用逆序相加推導(dǎo)公式。方法1是以學(xué)生掌握了等差數(shù)列的性質(zhì)（教材內(nèi)容始終未出現(xiàn)，增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)）為基礎(chǔ)的，起點(diǎn)比較高，因而方法 顯得抽象一些，不容易被學(xué)生理解和信服。方法2的關(guān)鍵是等差數(shù)列的基本元表示只要給定首項(xiàng)（尾項(xiàng)）和公差就可以確定該等差數(shù)列，反映了等差數(shù)列的本質(zhì)，可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的理解。而且方法僅以等差數(shù)列的定義為基礎(chǔ)，乃是學(xué)生熟悉的背景知識(shí)，因而顯得比較直觀，令人信服。3.公式應(yīng)用（1）選用公式例1某長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員7天里每天的訓(xùn)練量（單位：

7、m）是：100009500900085008000這位長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員7天共跑了多少米？本例提供了許多數(shù)據(jù)信息，學(xué)生可以從首項(xiàng)、尾項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公式1，也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公式2求和。通過(guò)兩種方法的比較，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)該根據(jù)信息選擇適當(dāng)?shù)墓?，以便于?jì)算。（2）變用公式例2等差數(shù)列10，6，2，2，的前多少項(xiàng)的和為54？本例已知首項(xiàng)，前n項(xiàng)和、并且可以求出公差，利用公式2求項(xiàng)數(shù)。事實(shí)上，在兩個(gè)求和公式中各包含四個(gè)元素，從方程的角度，知三必能求余一。（3）知三求二例3.在等差數(shù)列an中，已知d=20，n=37，sn=629，求a1和an。本例是使用等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式求未知元。事實(shí)上，在求和公式、通項(xiàng)公式中共有首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、尾項(xiàng)、前n項(xiàng)和五個(gè)元素，如果已知其中三個(gè)，