第1節(jié) 映射與變換.ppt

1、1 映射與變換,重點(diǎn) 1、單射、滿射、雙射、逆映射概念,2、映射復(fù)合定義與性質(zhì),3、單射和雙射的性質(zhì),如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng),法則 f，,一、映射定義,通過這個(gè)法則 f ，使得S中的每一個(gè)元素a，,則稱 f 為,記為,稱 為a在映射f 下的象，,都有 中一個(gè)唯一確定的元素 與它對(duì)應(yīng),設(shè)S和 是給定的兩個(gè)非空集合，,S到 的一個(gè)映射，,映射簡(jiǎn)單記為,或,為了強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)法則也可記為,1、映射定義, 設(shè)映射 , 集合S到S自身的映射稱為S 的一個(gè)變換,顯然，,稱為S在映射 f 下的象集。, 注意 f 表示映射的對(duì)應(yīng)規(guī)則。, 區(qū)分函數(shù)與映射、映射與變換概念之間關(guān)系, 兩個(gè)映射相等是指對(duì)任意元素，它們的像相等。

2、,集合,注釋1,（前提是定義域相同）,例1判斷下列S 到 對(duì)應(yīng)法則是否為映射,例3 任意一個(gè)在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù) 都是,即I 把S上的每個(gè)元素映到它自身，I是一個(gè)映射，,實(shí)數(shù)集R到自身的映射，,稱 I 為S上的恒等映射或單位變換，,的一個(gè)特殊情形。,例2S是一個(gè)集合，定義映射,（注意映射乘法中起的作用，見下面的注釋）,即函數(shù)可以看成是 映射,記為,2、特殊映射,則稱f是S到 的一個(gè)單射；,如果S中不同元素的像也不同，,如果f 既是單射又是滿射，則稱f 為雙射.,1）若,即對(duì)任意的,，均存在,如果,存在,使得,則稱f 是S到 的滿射;,即,假設(shè)有一個(gè)映射, 對(duì)有限集來說，兩集合之間存在雙射的充要條

3、件是它們所含元素的個(gè)數(shù)相同（單射條件 ？）。, 對(duì)有限集A及其真子集B， A與B之間不可能存在雙射；但是對(duì)于無限集未必如此。,例如,注釋2, 證明映射是單射和滿射的方法只有定義法，其中單射用定義的逆否命題，滿射相當(dāng)于解方程。,稱gf 是映射f 和g 的復(fù)合或乘積。,定義新的映射,二、映射的復(fù)合與逆映射,設(shè)有兩個(gè)映射,注釋2,（1）,對(duì)任意映射,和映射復(fù)合定義容易驗(yàn)證,由單位變換,單位變換在映射乘法中起的作用類似1在數(shù)的乘法中起的作用,（2） 映射的復(fù)合不滿足交換律（見教材例子）,定理1.1,映射的復(fù)合滿足結(jié)合律，,即若有三個(gè)映射,則,證明,下面利用映射相等定證明之。,映射相等滿足什么條件？,首

4、先，(gh)f 和g(hf )都是S到 的映射。,齊次，對(duì)任意的,由映射乘法的定義得,對(duì)于兩個(gè)映射,如果,則稱f 是可逆的映射并且稱g是f 的逆映射。,映射可逆的條件是什么？可逆映射的逆映射唯一嗎？函數(shù)中的反函數(shù)與此有關(guān)嗎？,定理2.2,（1）映射 可逆的充分必要條,件是f 是雙射。,（2）可逆映射的逆映射是唯一的。,證明,（1）假設(shè)f 是可逆的。,令f 的一個(gè)逆映射為,則由逆映射的定義知,對(duì)任意的,如果,則,單射,對(duì)任意的,記,則,滿射,假設(shè)f 是雙射。,既然f 是滿射，,于是對(duì)任意的,存在,使得,并且由f 是單射知對(duì)應(yīng)于 的a是唯一的。,利用f 定義新的映射,如果,容易驗(yàn)證,因此，f 可逆并且g是f 的一個(gè)逆映射。,（2）見教材。,由于可逆映射的逆映射是唯一的，,于是把可逆映射,f 的逆映射記為,從上面的證明知可逆映射與其逆映射之間的關(guān)系,注意如果f 是函數(shù)，,則它的逆映射就是反函數(shù)。,顯然，,f 可逆時(shí)，,也可逆并且,例1,（1）如果f, g 都是單射，,則gf 也是單射。,則gf 也是滿射。,（2）如果f, g 都是滿射，,則gf 也是雙射并且,（3）如果f, g 都是雙射，,證明,（1）假設(shè) 并且,g是單射,f是單射,假設(shè)有兩個(gè)映射,gf 是單射,（2）對(duì)任意的