高中數(shù)學 《函數(shù)與方程-3.1.1方程的根與函數(shù)的零點》說課稿2 新人教A版必修

1、3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點（2）從容說課方程的根與函數(shù)的零點分別從不同的角度表述同一個問題，通過“方程f（x）=0有實數(shù)根”與“函數(shù)y=f（x）有零點”的等價性，使得函數(shù)與方程從“數(shù)”與“形”的角度完成統(tǒng)一.這里要特別注意引導學生從聯(lián)系的觀點理解有關內(nèi)容，溝通函數(shù)、方程、不等式以及算法等內(nèi)容，使學生體會知識之間的聯(lián)系.兩個函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象交點的橫坐標就是方程f（x）=g（x）的解；反之，要求方程f（x）=g（x）的解，只要求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象交點的橫坐標.“函數(shù)”與“方程”之間的關系正是通過函數(shù)圖象上點的橫坐標與對應方程的解之間的對應關系體現(xiàn)出來的.有條

2、件的學校還可以使用計算機借助The Geometers Sketchpad（幾何畫板）軟件或Excel等軟件工具進行演示，幫助學生理解.三維目標一、知識與技能1.會用函數(shù)圖象的交點解釋方程的根的意義.2.繼續(xù)了解函數(shù)的零點與對應方程根的聯(lián)系.3.理解在函數(shù)的零點兩側函數(shù)值乘積小于0這一結論的實質(zhì).二、過程與方法1.體驗并理解函數(shù)與方程的相互轉化的數(shù)學思想方法.2.通過探究、思考，培養(yǎng)學生理性思維能力以及分析問題、解決問題的能力.三、情感態(tài)度與價值觀通過現(xiàn)代信息技術的合理應用，轉變學生對數(shù)學學習的態(tài)度，加強學生對數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想的進一步認識.教學重點“在函數(shù)的零點兩側函數(shù)值乘積小于0

3、”的理解.教學難點“在函數(shù)的零點兩側函數(shù)值乘積小于0”的理解.教具準備多媒體課件、投影儀.教學過程一、創(chuàng)設情景，引入新課師：觀察二次函數(shù)f（x）=x22x3的圖象（如下圖），我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）=x22x3在區(qū)間2，1上有零點.計算f（2）與f（1）的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個乘積有什么特點?在區(qū)間2，4上是否也具有這種特點呢?引導學生探究，可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間2，1的端點上，f（2）0，f（1）0，即f（2）f（1）0，函數(shù)f（x）=x22x3在區(qū)間（2，1）內(nèi)有零點x=1，它是方程x22x3=0的一個根.同樣，在區(qū)間2，4的端點上，f（2）0，f（4）0，即f（2）f（4）0，函數(shù)f（x）=x22x3

4、在（2，4）內(nèi)有零點x=3，它是方程x22x3=0的另一個根.我們能從二次函數(shù)的圖象看到零點的性質(zhì)：1.二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當它通過零點時（不是二重零點），函數(shù)值變號.例如，函數(shù)y=x2x6的圖象在零點2的左邊時，函數(shù)值取正號，當它通過第一個零點2時，函數(shù)值由正變負，再通過第二個零點3時，函數(shù)值又由負變正.2.相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.師：對任意函數(shù)，結論也成立嗎?同學們可以任意畫幾個函數(shù)圖象，觀察圖象，看看是否得出同樣的結論.二、講解新課1.零點的性質(zhì)如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）f（b）0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）

5、內(nèi)有零點，即存在c（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.求方程f（x）=0的實數(shù)根，就是確定函數(shù)y=f（x）的零點.一般地，對于不能用公式法求根的方程f（x）=0來說，我們可以將它與函數(shù)y=f（x）聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點，從而求出方程的根.2.應用舉例【例1】 教科書P102例1.本例是考查函數(shù)零點的個數(shù).通過它要讓學生認識到函數(shù)的圖象及其基本性質(zhì)（特別是單調(diào)性）在確定函數(shù)零點中的重要作用.（1）函數(shù)f（x）=lnx+2x6的圖象可以讓學生利用計算器或計算機畫出.通過觀察教科書上的圖3.13，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，從而對函數(shù)有一個零點形成直觀的認識

6、.（2）教科書上的表31，可以讓學生用計算器或計算機得出，使學生通過動手實踐獲得對表31的認同感.通過觀察表31，結合圖象3.13，不難得出函數(shù)的一個零點在區(qū)間（2，3）內(nèi).（3）要說明函數(shù)僅有一個零點，除上述理由外，還必須說明函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)的.可以由增（減）函數(shù)的定義證明函數(shù)在（0，+）上是增函數(shù)，也可以由g（x）=lnx、h（x）=2x6在（0，+）上是增函數(shù)，說明函數(shù)f（x）=g（x）+h（x）在（0，+）上是增函數(shù).【例2】 已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1具有以下性質(zhì)：對任意實數(shù)x1x2，且f（x1）=f（x2）時，滿足x1+x2=2；對任意x1、x2（1，+），總有f（）

7、.則方程ax2+bx+1=0根的情況是A.無實數(shù)根B.有兩個不等正根C.有兩個異號實根D.有兩個相等正根方法探究：（1）本題由條件，知函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1；由條件，知函數(shù)f（x）是凸函數(shù)，即a0；再由函數(shù)f（x）的表達式，知f（x）的圖象過點（0，1）.根據(jù)這三點，可畫出函數(shù)f（x）的草圖，如下圖，發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）與x軸交點的位置，可知f（x）=0有兩個異號實根，故應選C.（2）由條件，知函數(shù)f（x）的圖象開口向下，即a0.又由x1x2=0，可知f（x）=0有兩個異號實根，故應選C.方法技巧：解析（2）的求解過程明顯比解析（1）簡捷，但卻不如解析（1）直觀，用數(shù)形結合思想解題可以使問題

8、變得直觀清晰，便于理解.但不難發(fā)現(xiàn)，如果解析（1）中的三個函數(shù)語言之中有1個沒有轉化（或錯誤地轉化）為圖形語言，那么本題就可能會錯選.用數(shù)形結合思想解題，要注意由數(shù)到形，由形到數(shù)轉化過程的等價性.【例3】 研究方程|x22x3|=a（a0）的不同實根的個數(shù).方法探究：純粹從解方程角度來考慮，必須研究兩個方程，討論相當麻煩.從函數(shù)圖象角度分析，只需研究函數(shù)y=|x22x3|與y=a的圖象的交點的個數(shù).解：設y=|x22x3|和y=a，利用Excel、圖形計算器或其他畫圖軟件，分別作出這兩個函數(shù)的圖象，它們的交點的個數(shù)，即為所給方程實根的個數(shù).如下圖，當a=0或a4時，有兩個實根；當a=4時，有三

9、個實根；當0a4時，有四個實根.方法技巧：有關實根個數(shù)的題目，通常都采用數(shù)形結合思想.做這類題目，必須遵循兩個步驟：一是構造兩個熟悉的函數(shù)，二是畫出圖象，關鍵點畫圖要準確.【例4】 設二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a0），方程f（x）x=0的兩個根x1，x2滿足0x1x2.（1）當x（0，x1）時，求證：xf（x）x1；（2）設函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=x0對稱，求證：x0.方法探究：由于已知二次方程f（x）x=0的兩個根，因此新出現(xiàn)的二次函數(shù)f（x）x應有雙根式、一般式兩種表現(xiàn)形式.故本題一定是在此進行問題設置，解題的關鍵就是恰當?shù)匕盐蘸脙煞N形式的轉化.證明：（1）x1，x2是方程

10、f（x）x=0的兩根，且f（x）=ax2+bx+c（a0），f（x）x=a（xx1）（xx2）=a（x1x）（x2x）.0x1x2，且x1x2，a0，a（x1x）（x2x）0，即f（x）x0，a（x1x）（x2x）a（x1x）=x1x，即f（x）xx1x.故0f（x）xx1x，即xf（x）x1.（2）f（x）x=ax2+（b1）x+c，且f（x）x=0的兩根為x1，x2，二次函數(shù)f（x）x=0的對稱軸為x=.=+.又由已知，得x0=，=x0+.又x2，0.故=x0+x0，即x0.方法技巧：函數(shù)與方程思想的恰當轉化，是解決本題的關鍵，這種思想方法的轉化往往是多次的.三、課堂練習教科書P103練習

11、題1.（1）（2），2.（1）（2）.解答：1.（1）令f（x）=x2+3x+5，作出函數(shù)f（x）的圖象，它與x軸有兩個交點，所以方程x2+3x+5=0有兩個不相等的實數(shù)根.（2）2x（x2）=3可化為2x24x+3=0，令f（x）=2x24x+3，作出函數(shù)f（x）的圖象，它與x軸沒有交點，所以方程2x（x2）=3無實根.2.（1）作出函數(shù)圖象，因為f（1）=10，f（1.5）=2.8750，所以f（x）=x33x+5在區(qū)間（1，1.5）上有一個零點.又因為f（x）是（，+）上的減函數(shù)，所以f（x）=x33x+5在區(qū)間（1，1.5）上有且只有一個零點.（2）作出函數(shù)圖象，因為f（3）0，f（4

12、）0，所以f（x）=2xln（x2）3在區(qū)間（3，4）上有一個零點.又因為f（x）=2xln（x2）3在（2，+）上是增函數(shù)，所以f（x）在（2，+）上有且僅有一個（3，4）上的零點.四、課堂小結1.本節(jié)學習的數(shù)學知識：零點的性質(zhì)：在函數(shù)的零點兩側函數(shù)值乘積小于0；零點的確定.2.本節(jié)學習的數(shù)學方法：歸納的思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想.五、布置作業(yè)教科書P103練習題1.（3）（4），2.（3）（4）.補充題：1.定義在區(qū)間c，c上的奇函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示，令g（x）=af（x）+b，則下列關于函數(shù)g（x）的敘述正確的是A.若a0，則函數(shù)g（x）的圖象關于原點對稱B.若a=1，2b0，則函數(shù)g（x）有大于2的零點C.若a0，b=