高中數(shù)學《輾轉相除法與更相減損術》教案 理 新人教A版必修

1、福建省莆田市第八中學高二數(shù)學輾轉相除法與更相減損術教案 理 新人教A版必修3授課時間 2013年9月5日 主備人：陳輝 共1課時章節(jié)名稱教學目標知識與技能:1.理解輾轉相除法與更相減損術中蘊含的數(shù)學原理，并能根據(jù)這些原理進行算法分析。2.基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設計完整的程序框圖并寫出算法程序。過程與方法：在輾轉相除法與更相減損術求最大公約數(shù)的學習過程中對比我們常見的約分求公因式的方法，比較它們在算法上的區(qū)別，并從程序的學習中體會數(shù)學的嚴謹，領會數(shù)學算法計算機處理的結合方式，初步掌握把數(shù)學算法轉化成計算機語言的一般步驟。情感態(tài)度與價值觀：1.通過閱讀中國古代數(shù)學中的算法案例，體會中國

2、古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻。2.在學習古代數(shù)學家解決數(shù)學問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動手實踐的能力。教學重點理解輾轉相除法與更相減損術求最大公約數(shù)的方法。教學難點把輾轉相除法與更相減損術的方法轉換成程序框圖與程序語言。教學方法啟發(fā)，引導，探索發(fā)現(xiàn)，講練結合課程資源教材及教學參考書、網(wǎng)絡資源教學設計二次備課（一）創(chuàng)設情景，揭示課題1.教師首先提出問題：在初中，我們已經(jīng)學過求最大公約數(shù)的知識，你能求出18與30的公約數(shù)嗎？2.接著教師進一步提出問題，我們都是利用找公約數(shù)的方法來求最大公約數(shù)，如果公約數(shù)比較大而且根據(jù)我們的觀察又不能得到一

3、些公約數(shù)，我們又應該怎樣求它們的最大公約數(shù)？比如求8251與6105的最大公約數(shù)？這就是我們這一堂課所要探討的內容。（二）研探新知1.輾轉相除法例1 求兩個正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù)。（分析：8251與6105兩數(shù)都比較大，而且沒有明顯的公約數(shù)，如能把它們都變小一點，根據(jù)已有的知識即可求出最大公約數(shù)）解：8251610512146顯然8251的最大公約數(shù)也必是2146的約數(shù)，同樣6105與2146的公約數(shù)也必是8251的約數(shù)，所以8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù)。6105214621813214618131333181333351483331482371

4、483740則37為8251與6105的最大公約數(shù)。以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的。利用輾轉相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商q0和一個余數(shù)r0；第二步：若r00，則n為m，n的最大公約數(shù)；若r00，則用除數(shù)n除以余數(shù)r0得到一個商q1和一個余數(shù)r1；第三步：若r10，則r1為m，n的最大公約數(shù)；若r10，則用除數(shù)r0除以余數(shù)r1得到一個商q2和一個余數(shù)r2；依次計算直至rn0，此時所得到的rn1即為所求的最大公約數(shù)。練習：利用輾轉相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù)（答案

5、：53）2.更相減損術我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術。更相減損術求最大公約數(shù)的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯出來為：第一步：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。例2 用更相減損術求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉相減，即：9863356335283528728721217141477所以，98與63的最大公約數(shù)是7。練習：用更相減損術求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù)。（答案：12）4. 輾轉相除法與更相減損術計算的程序框圖及程序（參照課本）利用輾轉相除法與更相減損術的計算算法，我們可以設計出程序框圖以及BSAIC程序來在計算機上實現(xiàn)輾轉相除法與更相減損術求最大公約數(shù)。 5.課堂練習一.用輾轉相除法求下列各組數(shù)的最大公約數(shù)（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119二.小結：輾轉相除法與更相減損術