虛位移原理（013MB）

1、第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理15-2 虛位移原理1. 靜止質(zhì)點系上的力的虛功（1）質(zhì)點系的靜力平衡方程設(shè)有一質(zhì)點系處于平衡狀態(tài)，取質(zhì)點系中任一質(zhì)點mi，如圖15-6所示，作用在該質(zhì)點上的主動力的合力為Fi，約束力為FNi。圖15-6因為質(zhì)點系處于平衡狀態(tài)，則這個質(zhì)點也處于平衡狀態(tài)，因此有（2）虛功若給質(zhì)點系以某種虛位移，其中質(zhì)點mi的虛位移為，則作用在質(zhì)點mi上的力Fi，和FNi的虛功的和為第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理對于質(zhì)點系內(nèi)所有的質(zhì)點，都可以得到與以上式同樣的等式。將這些等式相加，得第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理2. 質(zhì)點系平衡的充分必要條件（1）理想約

2、束力的虛功如果質(zhì)點系具有理想約束，則約束力在虛位移中所作的虛功之和為零，即 （15-1）（2）質(zhì)點系平衡的充分必要條件對于理想約束，質(zhì)點系中的虛功之和可以寫為 （15-2）可以證明，上式不僅是質(zhì)點系平衡的必要條件，也是充分條件。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理3. 虛位移原理（虛功原理）（1）虛位移原理（虛功原理）對于具有理想約束的質(zhì)點系，其平衡的充分必要條件是：作用于質(zhì)點系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零。上述結(jié)論稱為虛位移原理，又稱為虛功原理，式（15-1）、（15-2）又稱為虛功方程。（2）虛功方程的解析表達(dá)式式（15-1）也可以寫成解析表達(dá)式，即 （15-3）式中

3、為作用于質(zhì)點mi的主動力Fi在直角坐標(biāo)軸上的投影，為虛位移在直角坐標(biāo)軸上的投影。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理（3）關(guān)于虛位移原理充分性的證明（反證法）以上證明了虛位移原理的必要性，即：若質(zhì)點系平衡則式（15-1）必成立。應(yīng)該指出，式（15-1）也是質(zhì)點系平衡的充分條件，即：在滿足式（15-1）的條件下，質(zhì)點系必須保持平衡狀態(tài)?？梢圆捎梅醋C法來證明虛位移原理的充分性。（4）有摩擦情況時虛位移原理的應(yīng)用應(yīng)該指出，雖然應(yīng)用虛位移原理的條件是質(zhì)點系具有理想約束，但是也可以用于有摩擦的情況，只要把摩擦力當(dāng)作主動力，在虛功方程中計入摩擦力所作的虛功即可。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理

4、4. 求解機構(gòu)平衡問題用虛位移原理求解機構(gòu)的平衡問題，關(guān)鍵是找出各虛位移之間的關(guān)系，一般應(yīng)用中，可采用下列三中方法建立各虛位移之間的關(guān)系。（1）幾何關(guān)系法設(shè)機構(gòu)某處產(chǎn)生虛位移，作圖給出機構(gòu)各處的虛位移，直接按幾何關(guān)系，確定各有關(guān)虛位移之間的關(guān)系。（2）虛速度法為求虛位移間的關(guān)系，也可以用所謂“虛速度法”?？梢约傧胩撐灰剖窃谀硞€極短的時間dt內(nèi)發(fā)生的，這時對應(yīng)點A和B的速度和稱為虛速度。虛速度法是建立坐標(biāo)系，選定一合適的自變量，寫出各有關(guān)點的坐標(biāo)，對各坐標(biāo)進(jìn)行變分運算，確定各虛位移之間的關(guān)系。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理（3）運動學(xué)方法按運動學(xué)方法，設(shè)某處產(chǎn)生虛速度，計算各有關(guān)點的虛

5、速度，可采用運動學(xué)中各種方法，如點的合成運動方法、剛體平面運動的基點法、速度投影定理、瞬心法及寫出寫出運動方程再求導(dǎo)數(shù)等。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理5. 求解結(jié)構(gòu)平衡問題用虛位移原理求解結(jié)構(gòu)的平衡問題時，要求某一支座反力時，首先需解除該支座約束而代之以約束力，把結(jié)構(gòu)變?yōu)闄C構(gòu)，把約束力當(dāng)作主動力，這樣，在虛位移方程中只包含一個未知力，然后用虛位移原理求解。若需要求多個約束力，則需要一個一個的解除約束用虛位移原理求解，這樣求解有時并不方便。若要求各處約束力，則不如用平衡方程方便。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理6. 例題第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理例15-1如圖1

6、5-7所示，在螺旋壓榨機的手柄AB上作用一在水平面內(nèi)的力偶，其力偶矩，螺桿的螺距為h。求機構(gòu)平衡時加在被壓榨物體上的力。圖15-7解：（1） 研究以手柄、螺桿和壓板組成的平衡系統(tǒng) 若忽略螺桿和螺母的摩擦，則約束是理想的。作用于平衡系統(tǒng)上的主動力為：作用于手柄上的力偶，被壓物體對壓板的阻力FN。（2） 虛功方程給系統(tǒng)以虛位移，將手柄按螺紋方向轉(zhuǎn)過極小角，于是螺桿和壓板得到向下的位移。計算所有主動力在虛位移中所作虛功的和，列出虛功方程第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理（3） 虛位移之間的關(guān)系由機構(gòu)的傳動關(guān)系知：對于單頭螺紋，手柄AB轉(zhuǎn)一周，螺紋上升或下降一個螺距h，故有即（4） 被壓物體對壓

7、板的阻力將上述虛位移與的關(guān)系式代入虛功方程中，得因是任意的，固解得第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理答案：被壓榨物體上的力，與被壓物體對壓板的阻力FN等值反向，F(xiàn)N的大小為。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理例15-2如圖15-8a所示結(jié)構(gòu)，各桿自重不計，在G點作用一鉛直向上的力F， 。求支座B的水平約束力。圖15-8解：（1）解題思路此題涉及的是一個結(jié)構(gòu)，無論如何假想產(chǎn)生虛位移，結(jié)構(gòu)都不允許。為求B處水平約束力，需把B處水平約束解除，以力FBx代替，把此力當(dāng)作主動力，則結(jié)構(gòu)變成圖15-8b所示的機構(gòu)，此時就可以假想產(chǎn)生虛位移，用虛位移原理求解。（2）列虛功方程用解析法。建坐標(biāo)系如

8、圖，列虛功方程第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理（3）虛位移寫出點B的坐標(biāo)xB與點G的坐標(biāo)yG 其變分為 （4）支座B的水平約束力將，代入虛功方程，得 解得。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理答案：支座B的水平約束力為。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理在例15-2中，如果在C，G兩點之間連接一自重不計、剛度系數(shù)為k的彈簧，如圖15-9所示。在圖示位置彈簧已有伸長量，其它條件不變，仍求支座B的水平約束力。圖15-9答案：支座B的水平約束力為。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理例15-3如圖15-10所示橢圓規(guī)機構(gòu)中，連桿AB長為l，滑塊A，B與桿重均不計，忽略各處摩擦，

9、機構(gòu)在圖示位置平衡。求主動力FA與FB之間的關(guān)系。圖15-10解：（1）解題思路研究整個機構(gòu)，系統(tǒng)的約束為理想約束。對此題，可用虛位移的幾何關(guān)系法、坐標(biāo)變分法和虛速度法等三種方法求解。（2）應(yīng)用虛速度法求解設(shè)給滑塊A一個圖示的虛位移，在約束允許的條件下，滑塊B的虛位移，如圖所示?？梢约傧胩撐灰剖窃谀硞€極短的時間dt內(nèi)發(fā)生的，這時對應(yīng)點A和B的速度和稱為虛速度。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理由虛位移原理 （a）有 （b）將虛速度代入（b）式得 （c）由速度投影定理 （d）得 （e）把（e）式代入（c）式得第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理答案：主動力FA與FB之間的關(guān)系為。第15章 虛位移原理 15.2虛位移原理例15-4如圖15-11