解排列組合的常用技巧.ppt

1、解排列組合的常用技巧,解排列問(wèn)題的常用技巧,解排列組合問(wèn)題，首先必須認(rèn)真審題，明確問(wèn)題是否是排列組合問(wèn)題，其次是抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答，同時(shí)，還要注意講究一些基本策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。 下面就不同的題型介紹幾種常用的解題技巧。,總的原則合理分類(lèi)和準(zhǔn)確分步,解排列（或）組合問(wèn)題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，事情的發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。,解法1 分析：先安排甲，按照要求對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)，分兩類(lèi)：,根據(jù)分步及分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有,例1 6個(gè)同學(xué)和2個(gè)老師排成一排照相， 2個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生

2、乙不站排尾，共有多少種不同的排法？,1）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有 種方法.,若甲在第2、3、6、7位，則排尾的排法有 種，1位的排法有 種, 第2、3、6、7位的排法有 種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的站法有 種。,再安排老師，有2種方法。,（1）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被五整除的五位數(shù)？,練 習(xí) 1,分類(lèi)：后兩位數(shù)字為5或0：,個(gè)位數(shù)為0：,個(gè)位數(shù)為5：,（2）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于31250的五位數(shù)？,分類(lèi)：,引申1：31250是由0，1，2，3，4，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個(gè)數(shù)？,方法一：（排除法）,方法二：

3、（直接法）,引申2：由0，1，2，3，4，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的 五位數(shù)中大于31250，小于50124的數(shù)共有多少個(gè)？,2004 全國(guó)12 在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有 沒(méi)有重復(fù)的5位數(shù)中，大于23145且小于43512的 數(shù)共有（ 58 ）個(gè),（一）“特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排法”,對(duì)于特殊元素的排列組合問(wèn)題，一般應(yīng)先考慮特殊元素，再考慮其它元素。,例2 用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字 的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ） A.24 B.30 C.40 D.60,分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)， 又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)優(yōu)先安排。按

4、0排在末尾和不排在末尾分為兩類(lèi)；,0排在末尾時(shí)，有 個(gè)； 0不排在末尾時(shí)，先用偶數(shù)排個(gè)位，再排百位，最后排十位有 個(gè)； 由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù) 30 個(gè).,B,解題技巧,（1）0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？,（2）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？,練 習(xí) 2,（3）(2005 北京文)五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的5個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有（ ）種。 （4）(2005 全國(guó)II 理)在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被整除的數(shù)共有_個(gè),解：不能被

5、5整除的有兩種情況：情況1、首位為5有 種，情況2、首位不是5的有 種，故在由數(shù)字 0，1，2，3，4，5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中， 不能被整除的數(shù)共有 + =192(個(gè)),例3 用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù) 數(shù)字的三位數(shù)，其中1不在個(gè)位的數(shù)共有_種。,（二）間接法 (總體淘汰法,正難則反）,對(duì)于含有否定詞語(yǔ)的問(wèn)題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時(shí)應(yīng)注意既不能多減又不能少減。,分析：五個(gè)數(shù)組成三位數(shù)的全排列有 個(gè)，0排在首位的 有 個(gè) ，1排在末尾的有 ，減掉這兩種不合條件的排 法數(shù)，再加回百位為0同時(shí)個(gè)位為1的排列數(shù) （為什么？） 故共有 種。,（1）三個(gè)男生，四個(gè)

6、女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？,（2）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個(gè)位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72,直接,練 習(xí) 3,（3）用間接法解例1“6個(gè)同學(xué)和2個(gè)老師排成一排照相， 2個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？”,（4）（2005福建理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（ ） A300種B240種C144種D96種,B,（直接法）分三種情況： 情況一,不選

7、甲、乙兩個(gè)去游覽:則有 種選擇方案, 情況二:甲、乙中有一人去游覽：有 種選擇方案; 情況三：甲、乙兩人都去游覽,有 種選擇方案, 綜上不同的選擇方案共有 + + =240,（間接法）,（三）相鄰問(wèn)題捆綁法,對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問(wèn)題，可先將相鄰的元素“捆綁”在一起，看作一個(gè)“大”的元（組），與其它元素排列，然后再對(duì)相鄰的元素（組）內(nèi)部進(jìn)行排列。,例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相鄰，分別有多少種站法？,分析：先將甲，乙，丙三人捆綁在一起看作一個(gè)元素，與其余4人共有5個(gè)元素做全排列，有 種排法，然后對(duì)甲，乙，丙三人進(jìn)行全排列。,由分步計(jì)數(shù)原理可得： 種不同排法。,（四）不相鄰問(wèn)

8、題插空法,對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰得排列問(wèn)題，可先將其它 元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素 之間及兩端的空隙之間插入即可。,例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？,分析：可先讓其余4人站好，共有 種排法，再在這4人之間及兩端的5個(gè)“空隙”中選三個(gè)位置讓甲、乙、丙插入，則有 種方法，這樣共有 種不同的排法。,（1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？,（2）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？,捆綁法：,插空法：,（3）(2005 遼寧)用、 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求與相鄰，與相鄰，與相鄰，

9、而與不相鄰，這樣的八位數(shù)共有_個(gè)（用數(shù)字作答）,練 習(xí) 4,(3)(2005 遼寧)用、 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求與相鄰， 與相鄰，與相鄰，而與不相鄰， 這樣的八位數(shù)共有_個(gè)（用數(shù)字作答）,將與，與，與捆綁在一起排成一列 有 種，再將、插入4個(gè)空位中的兩個(gè) 有 種，故有 種,引申:用、組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字 的六位數(shù)，要求與相鄰，與相鄰，與 相鄰，現(xiàn)將7、8 插進(jìn)去，仍要求與相鄰，與 相鄰，與相鄰，那么插法共有_種 （用數(shù)字作答）,例6 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等， 將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高 排列，有多少種排法？,（五）順序固定問(wèn)題用“除法”（或用“瑜靜法”

10、）,對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先將這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù).,所以共有 種。,分析：先在7個(gè)位置上作全排列，有 種排法。其中 3個(gè)女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故 只 對(duì)應(yīng)一種排法，,（1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的順序不變，有幾種不同排法？,練 習(xí) 5,引申:三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，其中男生三人和女生四人的順序均不變，有幾種不同排法？,（六）指標(biāo)問(wèn)題采用“隔板法”,例7 有10個(gè)三好生名額，分配給高三年級(jí)6個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，共有多少種不同的分配方案。,分析：6個(gè)班分，用5個(gè)隔板，將10個(gè)名額并

11、成一排，,名額之間有9個(gè)空，將5個(gè)隔板插入9個(gè)空，每一種插法， 對(duì)應(yīng)一種分配方案，故共有 種。,隔板法（相同的元素分成若干部分，每部分 至少一個(gè)）,練 習(xí) 6,（1）將10個(gè)學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7個(gè)不同的班級(jí)，每班至少分到一個(gè)名額，不同的分配方案共有 （ ）種。,（2）不定方程 的正整數(shù)解共有（ ）組,（七）分排問(wèn)題用“直排法”,把n個(gè)元素排成若干排的問(wèn)題，若沒(méi)有其他 的特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來(lái)處理.,例8 七人坐兩排座位，第一排坐3人，第二排坐 4人，則有多少種不同的坐法？,分析：7個(gè)人，可以在前后排隨意就坐，再無(wú) 其他限制條件，故兩排可看作一排處理，所以 不同的坐法有 種.

12、,（1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成兩排，前排三人、后排四人，有幾種不同排法？,或：七個(gè)人可以在前后兩排隨意就坐，再無(wú)其他條件， 所以,兩排可看作一排來(lái)處理 不同的坐法有 種,練 習(xí) 7,（八）實(shí)驗(yàn)法（窮舉法）,題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用實(shí)驗(yàn)逐步尋求規(guī)律有時(shí)也是行之有效的方法。,例9 將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格內(nèi)，每個(gè)方格填1個(gè)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）,A.6 B.9 C.11 D.23,分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實(shí)驗(yàn)法逐步解決。,第一方格內(nèi)可填2或3或4。如填2，則第二方格中內(nèi)可填1或3或4。

13、,若第二方格內(nèi)填1，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填3。,若第二方格內(nèi)填3，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填1。,同理，若第二方格內(nèi)填4，則第三方格只能填1，第四方格應(yīng)填3。因而，第一格填2有3種方法。,不難得到，當(dāng)?shù)谝桓裉?或4時(shí)也各有3種，所以共有9種。,練 習(xí) 8（不對(duì)號(hào)入座問(wèn)題）,（1）（2004湖北）將標(biāo)號(hào)為1，2，3，10的 10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，3，10的10個(gè)盒子中， 每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，恰好有3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子 的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法有_種,（2）編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)球放入編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)盒子里，至多有2個(gè)對(duì)號(hào)入座的情形有_種,109,直接法：

14、,間接法：,（九）住店法,解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類(lèi)元素：,一類(lèi)元素可以重復(fù)，另一類(lèi)不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。,例10 七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（ ）,A. B. C D.,分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得 種。,注：對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，常有疑惑，為什么不是 呢？,用分步計(jì)數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。,(十) 對(duì)應(yīng)法,例11 在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng) 比賽

15、失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問(wèn)要 舉行幾場(chǎng)？,分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的 所有選手，即要淘汰99名選手，淘汰一名選手需要 進(jìn)行一場(chǎng)比賽，所以淘汰99名選手就需要99場(chǎng)比賽。,（十一）特征分析,研究有約束條件的排數(shù)問(wèn)題，須要緊扣題目所提供的數(shù)字特征，結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理，分析求解。,例12 由1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)且是6的倍數(shù)的五位數(shù)？,分析數(shù)字特征：6的倍數(shù)既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)。其中3的倍數(shù)又滿足“各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)”的特征。把6分成4組，（3，3），（6），（1，5），（2，4），每組的數(shù)字和都是3的倍數(shù)。因此可分成兩類(lèi)討論；,第一類(lèi)：由1，2，4，5，6作數(shù)碼；首先從2，4，6中任選一個(gè)作個(gè)位數(shù)字有 ，然后其余四個(gè)數(shù)在其他數(shù)位上全排列有 ，所以,第二類(lèi)：由1，2，3，4，5作數(shù)碼。依上法有,（1）練習(xí):（徐州二檢）從6人中選4人組成4100m接力賽，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少種選法？ 分析：（一）直接法 （二）間接法,（2）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)作四面體，則不同的四面體的個(gè)數(shù)為 。,練 習(xí) 9,58,