高中數(shù)學(xué)《空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》學(xué)案5 新人教A版必修_第1頁
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文檔簡介

1、第九章 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標 1理解并會應(yīng)用平面的基本性質(zhì) 會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖 2掌握證明關(guān)于“線共點”、“線共面”、“點共線”的方法3會作幾何體的截面圖知識點歸納 1平面的概念:平面是沒有厚薄的,可以無限延伸,這是平面最基本的屬性2平面的畫法及其表示方法:常用平行四邊形表示平面通常把平行四邊形的銳角畫成,橫邊畫成鄰邊的兩倍畫兩個平面相交時,當(dāng)一個平面的一部分被另一個平面遮住時,應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫一般用一個希臘字母、來表示,還可用平行四邊形的對角頂點的字母來表示如平面等3空間圖形是由點、線、面組成的點、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示:圖

2、形符號語言文字語言(讀法)點在直線上點不在直線上點在平面內(nèi)點不在平面內(nèi)直線、交于點直線在平面內(nèi)直線與平面無公共點直線與平面交于點平面、相交于直線(平面外的直線)表示或4平面的基本性質(zhì)公理1 如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)推理模式: 如圖示:應(yīng)用:是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù),也可用于驗證一個面是否是平面公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別通過直線的“直”來刻劃平面的“平”,通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”,它既是判斷直線在平面內(nèi),又是檢驗平面的方法公理2如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的

3、直線推理模式:且且唯一如圖示: 應(yīng)用:確定兩相交平面的交線位置;判定點在直線上公理2揭示了兩個平面相交的主要特征,是判定兩平面相交的依據(jù),提供了確定兩個平面交線的方法公理3 經(jīng)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面推理模式:不共線存在唯一的平面,使得應(yīng)用:確定平面;證明兩個平面重合 “有且只有一個”的含義分兩部分理解,“有”說明圖形存在,但不唯一,“只有一個”說明圖形如果有頂多只有一個,但不保證符合條件的圖形存在,“有且只有一個”既保證了圖形的存在性,又保證了圖形的唯一性在數(shù)學(xué)語言的敘述中,“確定一個”,“可以作且只能作一個”與“有且只有一個”是同義詞,因此,在證明有關(guān)這類語句的命題時,要

4、從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證推論1 經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面推理模式:存在唯一的平面,使得, 推論2 經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面推理模式:存在唯一的平面,使得推論3 經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面推理模式:存在唯一的平面,使得5平面圖形與空間圖形的概念:如果一個圖形的所有點都在同一個平面內(nèi),則稱這個圖形為平面圖形,否則稱為空間圖形題型講解 例1 如下圖,四面體ABCD中,E、G分別為BC、AB的中點,F(xiàn)在CD上,H在AD上,且有DFFC=23,DHHA=23求證:EF、GH、BD交于一點分析:只要證明點E、F、G、H分別所在的直線EG和HF平行,由公理的推論3

5、就可知它們共面在ABD和CBD中,由E、G分別是BC和AB的中點及可得EGAC,HFAC,所以EGHF, 直線EF,GH是梯形的兩腰,所以它們的延長線必相交于一點P,因此,要證三條直線EF、GH、BD交于一點,只要證點P在直線AC上即可事實上,由于BD是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線,而點P是上述兩平面的公共點,由公理2知PBD證法一:(幾何法)連結(jié)GE、HF,E、G分別為BC、AB的中點,GEAC又DFFC=23,DHHA=23,HFACGEHF故G、E、F、H四點共面又EF與GH不能平行,EF與GH相交,設(shè)交點為P則P面ABD,P面BCD,而平面ABD平面BCD=BDEF、

6、GH、BD交于一點證法二:(向量法)由 ,從而故G、E、F、H四點共面又EF與GH不能平行,EF與GH相交,設(shè)交點為P則P面ABD,P面BCD,而平面ABD平面BCD=BDEF、GH、BD交于一點點評:證明線共點,常采用證兩直線的交點在第三條直線上的方法,而第三條直線又往往是兩平面的交線例2 已知n條互相平行的直線l1,l2,l3,ln分別與直線l相交于點A1,A2,An,求證:l1,l2,l3,ln與l共面分析:證明多條直線(三條或三條以上)共面,先由兩條確定一個平面,再證其它直線在這個平面內(nèi),或者分別由兩條直線確定幾個平面,再證這些平面重合證法一:因為l1l=A1,所以l1與l確定平面,設(shè)

7、lk是與l1平行的直線中的任一條直線,且lkl=Ak,則,Ak,lkl1,設(shè)lk與l1確定平面,則,Ak,因此l1與Ak既在平面內(nèi)又在平面內(nèi),根據(jù)公理的推論1知過l1和其外一點的平面有且只有一個,所以重合,從而由lk的任意性知l1,l2,l3,ln共面證法二:l1l2,l1l3 直線l1和l2及直線l1和l3分別確定一個平面l1l=A1, l2l=A2, l3l=A3, A1,A2,A2,A3,l,且l, 和都是過相交直線l1和l的平面,而過兩相交直線的平面有且只有一個l1,l2,l3,l共面,同理可證l4,l5,ln都在由直線l1和l所確定的平面內(nèi)例3 如圖,已知四邊形ABCD中,ABCD,

8、四條邊AB,BC,DC,AD(或其延長線)分別與平面相交于E,F(xiàn),G,H四點,求證:四點E,F(xiàn),G,H共線證明:ABCD,AB,CD確定一個平面,易知AB,BC,DC,AD都在內(nèi),由平面的性質(zhì)可知四點E,F(xiàn),G,H都在上,因而,E,G,G,H必都在平面與的交線上,所以四點E,F(xiàn),G,H共線例4 如圖,在一封閉的正方體容器內(nèi)裝滿水,M,N分別是AA1與C1D1的中點,由于某種原因,在D,M,N三點處各有一個小洞,為使此容器內(nèi)存水最多,問應(yīng)將此容器如何放置?此時水的上表面的形狀怎樣?解:使過三點M,N,D的平面成為水平面時,容器內(nèi)存水最多,至于水表面的形狀,實質(zhì)上就是過M,N,D三點所作正方體的截

9、面的形狀連結(jié)DM并延長DM交D1A1的延長線于P,則點P既在截面內(nèi)又在底面A1B1C1D1內(nèi),連結(jié)PN交A1B1于E,連ME,ND,則過M,N,D的截面就是四邊形DMEN,易證MEDN且MEDN,因而它是一個梯形小結(jié):1證明“線共點”的方法,一般是先證兩條直線相交于一點,然后再證其它的直線過這一點2證明“線共面”的問題,一般先由公理3或推論確定一個平面,再證明其它的直線在這個平面內(nèi)3證明“點共線”的方法,一般都是通過證這些點在某兩個平面的交線上來解決4作幾何體的截面圖時,常利用平面的性質(zhì),設(shè)法確定所作截面上的關(guān)鍵點,從而確定截面圖形學(xué)生練習(xí) 1將命題“Pl,Ql,且P,Ql”用文字語言表述是

10、2若平面平面=直線l,點A,A則點 l ,其理由是 3下列命題中正確的是( )A空間不同的三點確定一個平面 B空間兩兩相交的三條直線確定一個平面C空間有三個角為直角的四邊形一定是平面圖形D和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)4一個水平放置的四邊形的斜二測直觀圖是一底角為45,腰和上底的長均為1的等腰梯形,那么原四邊形的面積是( )A2+ B1+ C D5E、F、G、H是三棱錐A-BCD的棱AB、AD、CD、CB上的點,延長EF、HG交于P點,則點P( )A 一定在直線AC上 B 一定在直線BD上C只在平BCD內(nèi) D只在平面ABD內(nèi)6空間三條直線中的一條直線與其它兩條都相交,那么由這三

11、條直線最多可確定平面的個數(shù)是( )個A1 B 2 C 3 D 4 7用一個平面截一個正方體,其截面是一個多邊形,則這個多邊形邊數(shù)最多是( )A 三 B四 C 六 D八 8“直線上有一點在平面內(nèi)”是“這條直線在這個平面內(nèi)”的( )A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件9已知空間四點中無任何三點共線,那么這四點可以確定平面的個數(shù)是 10下列說法正確的是 空間四邊形的對角線一定不相交 四個角都是直角的四邊形一定是平面圖形 兩兩相交的三條直線一定共面 在空間的四點,若無三點共線,則這四點一定不共面11已知直線c和d與異面直線a,b都相交,則由直線c,d可確定的平面的個數(shù)為

12、 12不重合的三個平面把空間分成n個部分(不包括平面本身)則n的可能值是 13已知不共面的三條直線a,b,c兩兩相交,求證:這三條直線交于一點14已知A,B,C是空間不共線的三點,畫直線AB,BC,CA設(shè)X,Y,Z分別表示直線BC,CA,AB上的任意一點,試問直線AX,BY,CZ是否共面?并證明你的結(jié)論課前后備注第九章 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標 1理解并會應(yīng)用平面的基本性質(zhì) 會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖 2掌握證明關(guān)于“線共點”、“線共面”、“點共線”的方法3會作幾何體的截面圖知識點歸納 1平面的概念:平面是沒有厚薄的,可以無限延伸,這是平面最基本的屬性2平面的

13、畫法及其表示方法:常用平行四邊形表示平面通常把平行四邊形的銳角畫成,橫邊畫成鄰邊的兩倍畫兩個平面相交時,當(dāng)一個平面的一部分被另一個平面遮住時,應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫一般用一個希臘字母、來表示,還可用平行四邊形的對角頂點的字母來表示如平面等3空間圖形是由點、線、面組成的點、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示:圖形符號語言文字語言(讀法)點在直線上點不在直線上點在平面內(nèi)點不在平面內(nèi)直線、交于點直線在平面內(nèi)直線與平面無公共點直線與平面交于點平面、相交于直線(平面外的直線)表示或4平面的基本性質(zhì)公理1 如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)推理模式: 如圖示:應(yīng)用:是

14、判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù),也可用于驗證一個面是否是平面公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別通過直線的“直”來刻劃平面的“平”,通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”,它既是判斷直線在平面內(nèi),又是檢驗平面的方法公理2如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線推理模式:且且唯一如圖示: 應(yīng)用:確定兩相交平面的交線位置;判定點在直線上公理2揭示了兩個平面相交的主要特征,是判定兩平面相交的依據(jù),提供了確定兩個平面交線的方法公理3 經(jīng)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面推理模式:不共線存在唯一的平面,使得應(yīng)用:確定平面;證明兩個平面重合

15、 “有且只有一個”的含義分兩部分理解,“有”說明圖形存在,但不唯一,“只有一個”說明圖形如果有頂多只有一個,但不保證符合條件的圖形存在,“有且只有一個”既保證了圖形的存在性,又保證了圖形的唯一性在數(shù)學(xué)語言的敘述中,“確定一個”,“可以作且只能作一個”與“有且只有一個”是同義詞,因此,在證明有關(guān)這類語句的命題時,要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證推論1 經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面推理模式:存在唯一的平面,使得, 推論2 經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面推理模式:存在唯一的平面,使得推論3 經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面推理模式:存在唯一的平面,使得5平面圖形與空間圖形的概念

16、:如果一個圖形的所有點都在同一個平面內(nèi),則稱這個圖形為平面圖形,否則稱為空間圖形題型講解 例1 如下圖,四面體ABCD中,E、G分別為BC、AB的中點,F(xiàn)在CD上,H在AD上,且有DFFC=23,DHHA=23求證:EF、GH、BD交于一點分析:只要證明點E、F、G、H分別所在的直線EG和HF平行,由公理的推論3就可知它們共面在ABD和CBD中,由E、G分別是BC和AB的中點及可得EGAC,HFAC,所以EGHF, 直線EF,GH是梯形的兩腰,所以它們的延長線必相交于一點P,因此,要證三條直線EF、GH、BD交于一點,只要證點P在直線AC上即可事實上,由于BD是EF和GH分別所在平面ABC和平

17、面ADC的交線,而點P是上述兩平面的公共點,由公理2知PBD證法一:(幾何法)連結(jié)GE、HF,E、G分別為BC、AB的中點,GEAC又DFFC=23,DHHA=23,HFACGEHF故G、E、F、H四點共面又EF與GH不能平行,EF與GH相交,設(shè)交點為P則P面ABD,P面BCD,而平面ABD平面BCD=BDEF、GH、BD交于一點證法二:(向量法)由 ,從而故G、E、F、H四點共面又EF與GH不能平行,EF與GH相交,設(shè)交點為P則P面ABD,P面BCD,而平面ABD平面BCD=BDEF、GH、BD交于一點點評:證明線共點,常采用證兩直線的交點在第三條直線上的方法,而第三條直線又往往是兩平面的交

18、線例2 已知n條互相平行的直線l1,l2,l3,ln分別與直線l相交于點A1,A2,An,求證:l1,l2,l3,ln與l共面分析:證明多條直線(三條或三條以上)共面,先由兩條確定一個平面,再證其它直線在這個平面內(nèi),或者分別由兩條直線確定幾個平面,再證這些平面重合證法一:因為l1l=A1,所以l1與l確定平面,設(shè)lk是與l1平行的直線中的任一條直線,且lkl=Ak,則,Ak,lkl1,設(shè)lk與l1確定平面,則,Ak,因此l1與Ak既在平面內(nèi)又在平面內(nèi),根據(jù)公理的推論1知過l1和其外一點的平面有且只有一個,所以重合,從而由lk的任意性知l1,l2,l3,ln共面證法二:l1l2,l1l3 直線l

19、1和l2及直線l1和l3分別確定一個平面l1l=A1, l2l=A2, l3l=A3, A1,A2,A2,A3,l,且l, 和都是過相交直線l1和l的平面,而過兩相交直線的平面有且只有一個l1,l2,l3,l共面,同理可證l4,l5,ln都在由直線l1和l所確定的平面內(nèi)例3 如圖,已知四邊形ABCD中,ABCD,四條邊AB,BC,DC,AD(或其延長線)分別與平面相交于E,F(xiàn),G,H四點,求證:四點E,F(xiàn),G,H共線證明:ABCD,AB,CD確定一個平面,易知AB,BC,DC,AD都在內(nèi),由平面的性質(zhì)可知四點E,F(xiàn),G,H都在上,因而,E,G,G,H必都在平面與的交線上,所以四點E,F(xiàn),G,H

20、共線例4 如圖,在一封閉的正方體容器內(nèi)裝滿水,M,N分別是AA1與C1D1的中點,由于某種原因,在D,M,N三點處各有一個小洞,為使此容器內(nèi)存水最多,問應(yīng)將此容器如何放置?此時水的上表面的形狀怎樣?解:使過三點M,N,D的平面成為水平面時,容器內(nèi)存水最多,至于水表面的形狀,實質(zhì)上就是過M,N,D三點所作正方體的截面的形狀連結(jié)DM并延長DM交D1A1的延長線于P,則點P既在截面內(nèi)又在底面A1B1C1D1內(nèi),連結(jié)PN交A1B1于E,連ME,ND,則過M,N,D的截面就是四邊形DMEN,易證MEDN且MEDN,因而它是一個梯形小結(jié):1證明“線共點”的方法,一般是先證兩條直線相交于一點,然后再證其它的直線過這一點2證明“線共面”的問題,一般先由公理3或推論確定一個平面,再證明其它的直線在這個平面內(nèi)3證明“點共線”的方法,一般都是通過證這些點在某兩個平面的交線上來解決4作幾何體的截面圖時,常利用平面的性質(zhì),設(shè)法確定所作截面上的關(guān)鍵點,從而確定截面圖形學(xué)生練習(xí) 1將命題“Pl,Ql,且P,Ql”用文字語言表述是 2若平面平面=直線l,點A,A則點 l ,其理由是 3下列命題中正確的是( )A空間不同的三點確定一個平面 B空間兩兩相交的三條直線

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