高中數(shù)學(xué) 1.1.1 1.1.2 函數(shù)的平均變化率 瞬時速度與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教B版選修

1、11.1函數(shù)的平均變化率11.2瞬時速度與導(dǎo)數(shù)1理解函數(shù)平均變化率的概念，會求函數(shù)的平均變化率(重點)2理解瞬時變化率、導(dǎo)數(shù)的概念(難點、易混點)3會用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)初探教材整理1函數(shù)的平均變化率閱讀教材P3P4“例1”以上部分，完成下列問題函數(shù)的平均變化率的定義一般地，已知函數(shù)yf(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點，記xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，則當x0時，商_稱作函數(shù)yf(x)在區(qū)間x0，x0x(或x0x，x0)的平均變化率【答案】判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)x表示x2x1，是相對于x1的一個增量，x可以為零()(2)y表

2、示f(x2)f(x1)，y的值可正可負也可以為零()(3)表示曲線yf(x)上兩點(x1，f(x1)，(x2，f(x2)連線的斜率()【答案】(1)(2)(3)教材整理2瞬時速度與導(dǎo)數(shù)閱讀教材P6P8，完成下列問題1物體運動的瞬時速度設(shè)物體運動路程與時間的關(guān)系是sf(t)，當_時，函數(shù)f(t)在t0到t0t之間的平均變化率_趨近于常數(shù)，我們把這個常數(shù)稱為t0時刻的瞬時速度2函數(shù)的瞬時變化率設(shè)函數(shù)yf(x)在x0及其附近有定義，當自變量在xx0附近改變量為x時，函數(shù)值相應(yīng)地改變yf(x0x)f(x0)，如果當x趨近于0時，平均變化率_趨近于一個常數(shù)l，那么常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點x0的瞬時變化

3、率記作：當x0時，l.還可以說：當x0時，函數(shù)平均變化率的極限等于函數(shù)在x0的瞬時變化率l，記作 l.3函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)yf(x)在點x0的_，通常稱為f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作_，即f(x0)_.4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點x_的，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個值x，都對應(yīng)一個_于是，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f(x)構(gòu)成一個新的函數(shù)，把這個函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)記為_【答案】1.t趨近于02.3瞬時變化率f(x0) 4都是可導(dǎo)確定的導(dǎo)數(shù)f(x)f(x)或y(或yx)1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)y

4、f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值與x值的正、負無關(guān)()(2)瞬時變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化快慢的物理量()(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，x，y都不可能為零()【解析】(1)由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在xx0處的導(dǎo)數(shù)只與x0有關(guān)，故正確(2)瞬時變化率是刻畫某一時刻變化快慢的物理量，故錯誤(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，y可以為零，故錯誤【答案】(1)(2)(3)2函數(shù)f(x)x2在x1處的瞬時變化率是_ 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】f(x)x2，函數(shù)f(x)在x1處的瞬時變化率是 (2x)2.【答案】2質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作

5、型求函數(shù)的平均變化率(1)已知函數(shù)yf(x)x21，則在x2，x0.1時，y的值為()A0.40B0.41C0.43D0.44(2)已知函數(shù)f(x)x，分別計算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率，并判斷在哪個區(qū)間上函數(shù)值變化得較快【精彩點撥】(1)由yf(xx)f(x)f(20.1)f(2)可得(2)【自主解答】(1)yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41.【答案】B(2)自變量x從1變到2時，函數(shù)f(x)的平均變化率為；自變量x從3變到5時，函數(shù)f(x)的平均變化率為.因為0)垂直上拋的物體，t秒時的高度為s(t)v0tgt2，則物體在t0時刻的瞬時

6、速度為_(2)某物體的運動方程為s2t3，則物體在第t1時的瞬時速度是_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【精彩點撥】先求出，再求 .【自主解答】(1)sv0(t0t)g(t0t)2v0tgt0tgt2，v0gt0gt， v0gt0，即t0時刻的瞬時速度為v0gt0.(2)當t1時，s2(1t)321321(t)33t3(t)2222(t)36t6(t)222(t)36(t)26t，2(t)26t6， 6，則物體在第t1時的瞬時速度是6.【答案】(1)v0gt0(2)61求運動物體瞬時速度的三個步驟(1)求時間改變量t和位移改變量ss(t0t)s(t0)；(2)求平均速度；(3)求瞬時速度，當t無限趨近于0時，

7、無限趨近于常數(shù)v，即為瞬時速度2求(當x無限趨近于0時)的極限的方法(1)在極限表達式中，可把x作為一個數(shù)來參與運算(2)求出的表達式后，x無限趨近于0就是令x0，求出結(jié)果即可再練一題2一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關(guān)系是s3tt2(位移單位：m，時間單位：s)(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t2時的瞬時速度；(3)求t0到t2時的平均速度【解】(1)初速度v0 (3t)3，即物體的初速度為3 m/s.(2)v瞬 (t1)1，即物體在t2時的瞬時速度為1 m/s，方向與初速度方向相反(3)1，即t0到t2時的平均速度為1 m/s.探究共研型求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)一質(zhì)點的運動方程為

8、s83t2，其中s表示位移，t表示時間探究1試求質(zhì)點在1,1t這段時間內(nèi)的平均速度【提示】63t.探究2當t趨近于0時，探究1中的平均速度趨近于何值？如何理解這一速度？【提示】當t趨近于0時，趨近于6.這時的平均速度即為t1時的瞬時速度(1)求函數(shù)f(x)x2x在x1附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)y3x2在x1處的導(dǎo)數(shù)【精彩點撥】求函數(shù)f(x)在任意點處的導(dǎo)數(shù)都應(yīng)先求平均變化率，再求f(x0)【自主解答】(1)yf(1x)f(1)(1x)2(1x)23x(x)2，3x，f(1) (3x)3.(2)yf(1x)f(1)3(1x)236x3(x)2，63x，f(1) (63x

9、)6.1通過本例(1)進一步感受平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系，對于y與x的比值，感受和認識在x逐漸變小的過程中趨近于一個固定的常數(shù)A這一現(xiàn)象2用定義求函數(shù)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)求極限，得導(dǎo)數(shù)為f(x0) .簡記為：一差、二比、三趨近再練一題3求函數(shù)f(x)x在x1處的導(dǎo)數(shù)【解】y(1x)x1x，1，f(1) 2.構(gòu)建體系1已知函數(shù)yf(x)2x2的圖象上點P(1,2)及鄰近點Q(1x,2y)，則的值為()A4B4xC42x2D42x【解析】42x.【答案】D2一個物體的運動方程為s1tt2，其中s的單位是：m，t的單位是：s

10、，那么物體在3 s末的瞬時速度是()A7 m/sB6 m/sC5 m/sD8 m/s【解析】5t， (5t)5(m/s)【答案】C3質(zhì)點運動規(guī)律sgt2，則在時間區(qū)間(3,3t)內(nèi)的平均速度等于_(g10 m/s2)【解析】sg(3t)2g32106t(t)230t5(t)2，305t.【答案】305t4一質(zhì)點M按運動方程s(t)at21做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)若質(zhì)點M在t2 s時的瞬時速度為8 m/s，則常數(shù)a_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】因為ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以4aat，故當t2時，瞬時速度為 4a，所以4a8，所以a2.【答案】25

11、在曲線yf(x)x23上取一點P(1,4)及附近一點(1x,4y)，求：(1)；(2)f(1)【解】(1)2x.(2)f(1) (2x)2.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標一、選擇題1函數(shù)f(x)x21在區(qū)間1，m上的平均變化率為3，則實數(shù)m的值為()A3B2C1D4【解析】由已知得：3，m13，m2.【答案】B2一質(zhì)點運動的方程為s53t2，若該質(zhì)點在時間段1,1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為3t6，則該質(zhì)點在t1時的瞬時速度是()A3B3C6D6【解析】由平均速度和瞬時速度的關(guān)系可知，vs(1) (3t6)6.【答案】D3已知函數(shù)f

12、(x)2x24的圖象上一點(1，2)及附近一點(1x，2y)，則()A4B4xC42xD42(x)2【解析】因為yf(1x)f(1)2(1x)24(2124)4x2(x)2，所以42x.【答案】C4設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b為常數(shù))，則()Af(x)aBf(x)bCf(x0)aDf(x0)b【解析】f(x0) (abx)a，f(x0)a.【答案】C5設(shè)函數(shù)yf(x)在xx0處可導(dǎo)，且 1，則f(x0)等于()A1B1C D.【解析】 (3)3f(x0)1，f(x0).【答案】C二、填空題6若f(x0)1，則 _. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】 f

13、(x0).【答案】7汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖111所示在時間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為1，2，3，其三者的大小關(guān)系是_圖111【解析】1kMA，2kAB，3kBC，由圖象可知：kMAkAB21.【答案】3218一物體位移s和時間t的關(guān)系是s2t3t2，則物體的初速度是_【解析】物體的速度為vs(t)，s(t) 26t.即v26t，所以物體的初速度是v02602.【答案】2三、解答題9已知某物體按照s(t)3t2t4(t的單位：s，s的單位：m)的規(guī)律做直線運動，求該物體在4 s附近的平均速度【解】(253t)m/s，即該物體在4 s附近的平均速度為

14、(253t)m/s.10(2016聊城高二檢測)求函數(shù)yx2axb(a，b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)【解】因為y(xx)2a(xx)b(x2axb)2xx(x)2ax(2xa)x(x)2，故(2xa)x， (2xax)2xa，所以y2xa.能力提升1若f(x)x3，f(x0)3，則x0的值是()A1B1C1D3【解析】yf(x0x)f(x0)(x0x)3x3xx3x0(x)2(x)3，3x3x0x(x)2，f(x0)3x3x0x(x)23x，由f(x0)3，得3x3，x01.【答案】C2如果函數(shù)yf(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)為1，那么 ()A.B1C2 D.【解析】因為f(1)1，所以 1，所以 .【答案】A3已知f(x0)0，若a ，b ，c ，d ，e ，則a，b，c，d，e的大小關(guān)系為_【解析】a f(x0)，b f(x0)，c 2 2f(x0)，d f(x0)，e f(x0)即cadeb.【答案】cadeb4(2016南充高二檢測)某一運動物體，在x