彎曲變形例題ppt課件

1、1,例1 求如圖示等截面直梁的撓曲線方程、用積分法求最大撓度及最大轉角。,建立坐標系并寫出彎矩方程,寫出微分方程并積分,解：,x,以x為自變量的積分,以(L-x)為自變量的積分轉角的定義為在某一點出的傾斜度；轉角的真正含義。,2,應用位移邊界條件求積分常數,以x為自變量的積分,以(L-x)為自變量的積分,其結果為積分常數的不同,3,寫出彈性曲線方程并畫出曲線,以x為自變量的積分,以(L-x)為自變量的積分,4,最大撓度及最大轉角,B的符號為負，表示截面的轉角是順時針方向的； 而撓度fB是負的，表示B點的撓度是向下。,5,解：建立坐標系并寫出彎矩方程,寫出微分方程的積分并積分,x,6,用邊界條件

2、求積分常數,x,寫出AB段的撓曲線方程和轉角方程并畫出曲線圖,x,7,最大撓度(x=L)及最大轉角(*BC為直線，故B=C),因為B很小，故f2= B(L-a),8,外力都作用在縱向對稱面內的彎曲叫平面彎曲 受外力作用的梁其橫截面上-彎曲內力(剪力，彎矩) 橫截面上剪力和彎矩的求法 均布載荷，剪力，彎矩三者之間的關系,梁的純彎曲和橫力彎曲；彎曲正應力的求法和分布,中性軸的曲率半徑的計算,梁橫截面上任意一點正應力的計算,某一橫截面上最大正應力的計算,梁的最大正應力的計算,橫力彎曲時，矩形，圓形，工字鋼等截面上剪應力的分布和計算。一般情況下，由正應力強度條件得出結構尺寸，由剪應力強度條件對構件進行

3、校核,9,度量梁變形的兩個基本位移量:撓度 轉角 撓曲線及其近似微分方程求法 彎矩方程，轉角，撓度之間的關系 怎樣用積分法求梁的變形：注意式中的積分常數C，D 利用邊界條件確定積分常數： 在鉸支座上，撓度v等于零 在固定端，撓度v和轉角均為零 在彎曲變形的對稱點上，轉角等于零 撓曲線是一條光滑和連續(xù)的曲線,10,求彎曲變形的二個方法： 1.用直接積分法求梁的彎曲變形（積分常數，分段）,撓曲線方程：,撓曲線方程一次積分：,撓曲線方程二次積分：,2.用疊加法求彎曲變形 載荷疊加、結構固化 是否需要結構固化，要視情況而定； 目的就是把復雜的簡單化，并且撓度和轉角可 以在表中直接查取。,11,疊加法可

4、分為載荷疊加 結構形式疊加（逐段剛化法） 無論用那種方法疊加，目的就是要把原來復雜的變成簡單的，并且使其撓度和轉角都可以在表7.1中直接查取的載荷形式。,12,用疊加法求梁變形時的幾個注意點,fC,13,例3 按疊加原理求A點轉角和C點撓度。,解、載荷分解如圖,由梁的簡單載荷變形表(7.1)序號5，7查得：,14,疊加,15,例4：若圖示梁B端的轉角B=0，則力偶矩等于多少？,16,解：,表7.1中序號2,表7.1中序號1,17,例5-1：用疊加法求圖示梁B端的撓度和轉角。,18,解：,表7.1中序號3,表7.1中序號3,19,解：,表7.1中沒有,表7.1中序號7,表7.1中序號4，撓度向上

5、為正,例5-2：欲使AD梁C點撓度為零，求P與q的關系。,20,例6-1 試用疊加法求簡支梁在圖示載荷作用下跨度中點C的撓度。,解：圖(a)分解為圖(b)和圖(c)之和,圖(b)中點C的撓度為:,圖(c)中點C的撓度為零；因為載荷關于C反對稱。,疊加:,第七章,21,例6-2 試用疊加法求簡支梁在圖示載荷作用下跨度中點C的撓度。,解：圖(a)分解為圖(b)和圖(c)之和,圖(b)中點C的撓度為:,圖(c)中點C的撓度為：,疊加:,+,=,第七章,22,例7：求圖示梁B、D兩處的撓度 vB、 vD 。,23,解：,解除B點約束以反力qa代替,24,例8：求圖示梁 C、D兩點的撓度 vC、 vD。

6、,25,解：,26,結構形式疊加（逐段剛化法) 原理說明。,=,+,x,f,x,f,x,f,剛化AC段后,BC段就成懸臂梁了。同時，AC段無外載荷，對BC段無影響。,剛化BC段后,AC段就成簡支梁了。BC段上外載荷需移到C截面上，其對AC段有影響如圖。外載荷的大小及方向可用外載荷等效法判定。,27,=,外伸梁剛化原理說明,BC外伸梁上作用均布載荷， 剛化AB段，BC為懸臂梁。這種形式可以在表7.1中查取。被剛化的 AB段上由于無任何載荷作用，故對BC段的變形無任何影響。 剛化BC段，BC為自由端。?取而代之均布載荷的等效載荷為作用在B截面上的彎矩和集中載荷；由表7.1查取。平面系內力的遷移。

7、判斷鋼化結果的正誤:兩者載荷之和是否為原來的載荷?,28,習題7.8c EI為常量，用疊加法求圖示外伸梁B端的和。,解:1)把復合載荷分解成二個簡單載荷的作用；如圖(b)、 (c)。圖(b)固化DB段；圖(c)固化AD段。 圖(b)的載荷形式可以在表7.1中直接查取，圖 (c)載荷形式無法直接獲得；故需對結構進行固化成圖(d)和(e)的形式，可直接查表。 在圖(d)、 (e)中，截面D上作用的載荷是兩對作用力與反作用力。其大小和方向如何求？,(a),(b),(e),+,+,=,=,29,均布載荷q引起B(yǎng)截面的撓度和轉角,載荷P引起D截面的轉角,彎矩引起D截面的轉角?,2) 分別求出簡單載荷作用

8、時外伸端B的變形：,(b),(e),固定端雖有載荷，但對DB段的轉角和撓度均無影響,集中載荷對DB段的轉角和撓度均無影響,表7.1-5,表7.1-3,表7.1-4,30,3) 疊加,B點的轉角為：,B點的撓度為：,(a),(b),(e),+,=,+,31,(a),若把CB段作為懸臂梁，自由端B的撓度大小等于原來梁C點的撓度圖(b)。,1)由于是變截面，故要分段計算。 首先把DB段作為懸臂梁 圖(c)； 自由端B的撓度大小可由表7.1-2求得。固定端D的載荷大小和方向很容易求得，且對DB段的變形不產生任何影響。,解：由變形的對稱性可看出： 跨度中點截面C的轉角為零，撓曲線在C點的切線是水平的。,

9、習題7.6b 變截面梁如圖所示； 試求跨度中點C的撓度。,32,2)其次，D截面上的剪力和彎矩如圖(d)所示。這兩個載荷將在D截面上產生撓度和轉角，其大小可由表7.1-1，7.1-2求得圖(d)。,33,3)如圖(d)所示，B端由于 ， 而引起的撓度為：,4)疊加 和 ，可求出作為自由端B處的撓度為：,34,習題7.15. 圖中兩根梁由鉸鏈相互聯接，EI相同，且EI=常量。試求P力作用點D的位移。,解：(1)對兩根梁受力分析,中間鉸鏈不傳遞力偶，所以可用外力RE來取代鉸鏈約束，并求出RE=P/2。,35,=,+,(2) 求出梁AE上E點的位移,把AE梁的結構簡化成圖(c)的懸臂梁及圖(d)的簡

10、支梁,圖(c)懸臂梁：表7.1-2,圖(d)簡支梁：彎矩的作用使得CE段轉動。表7.1-4 受力分析的求解利用！,36,(2)分析EB梁：圖(e)由于E點的位移而引起D的位移為:,圖(e)簡支梁：載荷P的作用使D點產生的位移為(表7.1-5)：,D的位移為：,37,7-6 簡單超靜定梁,超靜定梁：未知力的數目多于靜力平衡方程的數目,求解方法： 1.根據靜不定次數選取靜不定梁的基本結構(靜定基) 解除多余約束(個數與靜不定次數相同)，用多余約束力代替，得到靜不定梁的基本結構；*解除多余約束的方法不同，則基本結構也不同； 2.找變形幾何關系(變形協調關系) 即多余約束處梁的變形應滿足的條件；比如支

11、座處的位移為零等； 3.求出多余約束處的變形，由此得到補充方程 4.聯立求解補充方程和平衡方程，得出約束力 5.求解梁的其它問題(強度、剛度等),38,例11：列出如圖示超靜定梁的求解步驟,=,A,B,解：建立靜定基 確定超靜定次數，用反力代替多余約束所得到的結構靜定基。 圖(1)把固定端變成鉸支座后增加約束反力MA; 圖(2)把鉸支座B去掉后增加約束反力RB;,39,幾何方程變形協調方程,+,=,物理方程變形與力的關系,補充方程,求解其它問題(反力、應力、 變形等),40,幾何方程：變形協調方程,解：建立靜定基,=,例12 結構如圖，求B點反力。,LBC,C,=,+,41,=,LBC,C,+

12、,物理方程變形與力的關系,補充方程,公式(2.10),42,例13：圖示桿系中，AB和CD梁的抗彎剛度為EI，BD桿的拉壓剛度是EA，不計剪切變形的影響，求BD桿的內力。,解：(1)確定靜不定梁的基本結構： 取D為多余約束，以外力代之,(2)求變形幾何關系,(3)求物理關系,43,(4)補充方程,(5)求BD桿的內力,44,7-7 如何提高梁的承載能力,強度：正應力：,剪應力：,剛度：,穩(wěn)定性：,與內力和截面性質有關。,一般來說可采取以下的方法 1）合理安排梁的載荷和支座，以降低Mmax的數值 2）采用合理的截面形狀，以提到Wz的數值,45,7.7.1 合理布置外力（包括支座），使 M max

13、 盡可能小。,46,可以求得：當x為0.207L時，彎矩最小為0.0214ql2,47,7.7.2 合理選擇截面的形狀，使 Wmax 盡可能大,若把梁的彎卻正應力強度條件寫成：MmaxW， 則梁可以承受的最大彎矩與抗彎截面模量W成正比； 同時，使用材料的多少和自重又與截面面積A成正比。 即，合理的經濟的截面形狀應該是W越大，A越小。 引入W/A的比值來評價和衡量截面形狀的合理性。,故，豎放比平放的抗彎強度大，(1)比(2)更合理。,48,*矩形木梁的合理高寬比,北宋李誡于1100年著營造法式 一書中指出: 矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = ) 1.5,英(T.Young)于1807年著自然

14、哲學與機械技術講義 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為,49,在面積相等的情況下 一般截面形狀的抗彎截面模量大小為：,W框W環(huán)W矩W方W園,有了這個概念以后，我們選擇截面形狀時，盡可能選中間空洞的截面，即可省材料又可減輕重量；盡量避免采用實心和圓形的截面。,50,7.7.3 根據材料特性選擇截面形狀,對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方。即：若抗拉能力弱，而梁的危險截面又處上側受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：,51,7.7.4 采用等強度梁,等強度梁的概念，就是在最大彎矩處的抗彎截面模量達到最大值；而在彎矩沿軸線逐漸減少的地方，其相應的抗

15、彎截面模量也減少；從而達到縮小截面尺寸，節(jié)約材料和減少自重的目的。 設計時，可設想截面的尺寸沿梁的軸線改變，即M(x)和W(x)都表示為軸線x的函數，引入變截面等強度梁的概念，使得各截面都能滿足強度條件。一般均以正應力為校核指標，即：,有時，在固定端的M(x)=0，這并不意味著該處的截面尺寸可以為零。故需用剪應力來確定最小截面尺寸：,52,7.7.5 選用高強度材料，提高許用應力值,同類材料，“E”值相差不多，“jx”相差較大，故換用同類材料只能提高強度，不能提高剛度和穩(wěn)定性。 不同類材料，E和G都相差很多（鋼E=200GPa , 銅E=100GPa），故可選用不同的材料以達到提高剛度和穩(wěn)定性

16、的目的。但是，改換材料，其原料費用也會隨之發(fā)生很大的改變！,53,*例14：為了提高懸臂梁AB的強度和剛度，用短梁CD加固。設二梁EI相同，試求 (1) 二梁接觸處的壓力； (2) 加固前后AB梁最大彎矩的比值； (3) 加固前后B點撓度的比值。,54,解：(1)變形協調條件為：,(2),P產生的撓度,RD產生的撓度,55,(3),加固前,加固后,由RD引起,由D引起,RD,RD,P,P,56,7.17 圖示等截面梁的抗彎剛度為EI。梁下有柱形曲面y=-Ax3，欲使梁變形后恰好與該曲面密合，且曲面不受壓力，試問在梁的自由端應作用什么載荷？并確定載荷的大小和方向。,解：根據題意，要使得梁的撓曲線

17、方程為y=Ax3, 在自由端B加上彎矩Me和集中載荷P； (1)用剪力圖彎矩圖求解,由彎矩和剪力的關系可得：,畫出剪力圖和彎矩圖后，就可得到B端的Me和P；固定端的MA=0。,Q,M,57,+,(2)用疊加法求解,由(1)和(2)可得：,58,(3)用撓曲線方程求解,求出固定端A的反力為：,寫出彎矩方程為：,彎矩方程和撓曲線的關系為：,59,又因為：,彎矩為順時針方向，集中載荷向上。 事實上，固定端的MA=0,60,1.梁的剛度條件,其中稱為許用轉角；f/L稱為許用撓跨比。通常依此條件進行如下三種剛度計算：,、校核剛度：,、設計截面寸； 、設計載荷。,二、梁的剛度校核（未作要求）,61,=,+,+,=,例10 下圖為一空心圓桿，內外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點的f/L=0.00001,B點的=0.001弧度,試核此桿的剛度。,62,=,+,