電動(dòng)力學(xué)電動(dòng)力學(xué)二三(分離變量法).ppt

1、1,第三節(jié) 拉普拉斯方程 分離變量法,2,基本問(wèn)題：電場(chǎng)由電勢(shì)描述 電勢(shì)滿足泊松方程+邊界條件,只有在界面形狀是比輕簡(jiǎn)單的幾何曲面時(shí)，這類問(wèn)題的解才能以解析形式給出，而且視這體情況不同而有不同解法,本節(jié)和以下幾節(jié)我們研究幾種求解的解析方法,具體的工作：解泊松方程,3,在許多實(shí)際問(wèn)題中，靜電場(chǎng)是由帶電導(dǎo)體決定的,例如,電容器內(nèi)部的電場(chǎng)是由作為電極的兩個(gè)導(dǎo)體板上所帶電荷決定的 電子光學(xué)系統(tǒng)的靜電透鏡內(nèi)部，電場(chǎng)是由分布于電極上的自由電荷決定的,這些問(wèn)題的特點(diǎn)：自由電荷只出現(xiàn)在一些導(dǎo)體的表面上，在空間中沒(méi)有其他自由電荷分布,4,選擇導(dǎo)體表面作為區(qū)域V的邊界，V內(nèi)部自由電荷密度0，泊松方程化為比較簡(jiǎn)單的

2、拉普拉斯方程,它的通解可以用分離變量法求出。拉氏方程在球坐標(biāo)中的通解為,anm, bnm, cnm, dnm為任意常數(shù),5,若該問(wèn)題中具有對(duì)稱軸，取此軸為極軸，這種情形下通解為,6,例1 一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q，同心地包圍一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球（R1 R2），使這個(gè)導(dǎo)體球接地。求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和這個(gè)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。,7,這問(wèn)題有球?qū)ΨQ性，電勢(shì)不依賴于角度和。設(shè)導(dǎo)體殼外和殼內(nèi)的電勢(shì)分別為,解,8,邊界條件為：,（1）內(nèi)導(dǎo)體接地,（2）整個(gè)導(dǎo)體球殼為等勢(shì)體,（3）球殼帶總電荷Q，,9,將通解代入邊界條件,10,由這些邊界條件得,其中,利用這些值得電勢(shì)的解,導(dǎo)體球上的感

3、應(yīng)電荷為,11,例2 電容率為的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng)E0中，求電勢(shì)。,12,設(shè)球半徑為R0，球外為真空（如圖）。這問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，對(duì)稱軸為通過(guò)球心沿外電場(chǎng)E0方向的軸線，取此軸線為極軸。,球內(nèi)區(qū)域的電勢(shì),解,球外區(qū)域的電勢(shì),13,邊界條件：,（1）無(wú)窮遠(yuǎn)處，,因而,（2）R0處，2為有限值，因此,（3）在介質(zhì)球面上，有,14,則有,比較P1的系數(shù)得,可解出,其他Pn項(xiàng)的系數(shù)可解出為,15,所有常數(shù)已經(jīng)定出，因此本問(wèn)題的解為,在球內(nèi)總電場(chǎng)作用下，介質(zhì)的極化強(qiáng)度為,介質(zhì)球的總電偶極矩為,1表達(dá)式中的第二項(xiàng)正是這個(gè)電偶極矩所產(chǎn)生的電勢(shì),16,例3 半徑為R0的導(dǎo)體球置于均勻外電場(chǎng)E0中，求電勢(shì)和導(dǎo)體上的電荷面密度。,17,用導(dǎo)體表面邊界條件，照上例方法可解出導(dǎo)體球外電勢(shì),導(dǎo)體面上電荷面密度為,解,18,例4 導(dǎo)體尖劈帶電勢(shì)V，分析它的尖角附近的電場(chǎng)。,19,用柱坐標(biāo)系, 取z軸沿尖邊, 柱坐標(biāo)下的拉氏方程為,設(shè)的特解為,解,20,把的特解疊加為通解形式為,則上式分解為兩個(gè)方程,21,在尖劈=0面上，=V與r無(wú)關(guān)，因此,因r 0時(shí) 有限，得,在尖劈=2-面上， =V與r無(wú)關(guān)，必須,因此v的可能值為,22,考慮這些條件，可以重寫,為了確定選定常數(shù)An, 還必須用某一大曲面包圍著電場(chǎng)存在的區(qū)域, 并給定這曲面上的邊界條件。,23,在尖角附近r 0 ，上式求和式的主要貢獻(xiàn)來(lái)