人教A高中數(shù)學(xué)必修四課件112弧度制2

1、1.1.2 弧度制,1.度量角的兩種制度,半徑長,rad,弧度,度,2.角度制與弧度制的換算 (1)弧度數(shù) 正角的弧度數(shù)是一個_. 負角的弧度數(shù)是一個_. 零角的弧度數(shù)是_.,正數(shù),負數(shù),0,(2)弧度數(shù)的計算 |= .如圖：,(3)角度制與弧度制的換算,3.扇形的弧長和面積公式 設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，(02)為其圓心角，則 (1)弧長公式：l_. (2)扇形面積公式：S .,R,1判一判(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)“度”與“弧度”是相同的，都是用來度量角的單位. ( ) (2)1 rad的角和1的角大小不一樣.( ) (3)1弧度角是指弦長等于半徑的弦所對的圓心角.( ),【

2、解析】(1)錯誤.“度”與“弧度”雖然都是用來度量角的單位，但它們不一樣. (2)正確.1 rad的角約等于57.3，與1的角的大小不一樣. (3)錯誤.1弧度角是指弧長等于半徑的弧所對的圓心角. 答案：(1) (2) (3),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)18_rad. (2) _. (3)2 rad_. (4)若扇形弧長為，面積為，則扇形的半徑是_.,【解析】(1)18 答案： (2) 答案：54 (3) 257.3=114.6. 答案：114.6,(4)弧長l. 設(shè)扇形的半徑為R， 由于S扇 ， 所以 R，即R2，所以圓的半徑為2. 答案：2,【要點探究】 知識點 1 角

3、度制與弧度制概念 1.“角度”與“弧度”的區(qū)別與聯(lián)系,2.弧度制與角度制的互化技巧 弧度制與角度制的互化是一種比例關(guān)系的變形，具體變化時， 可牢記以下公式： 只要將已知數(shù)值填入相應(yīng)位置， 解出未知的數(shù)值，再添上相應(yīng)的單位即可 3.常見的角度與弧度的換算結(jié)論,【知識拓展】 1.用圓心角所對的弧長與半徑的比來度量圓心角的合理性 當(dāng)圓心角一定時，圓心角所對的弧長與半徑之比，與所取半徑大小無關(guān).如圖所示，,設(shè)為n(n0)的角，弧AB和AB的長分別是l和l， 點A和A到點O的距離(即圓的半徑)分別是r(r0)和r(r0)，由初中學(xué)過的弧長公式可得： 于是 因此用圓心角所對的弧長與半徑之比來度量這個圓心角

4、是合理的.,2.引入弧度制的意義 引入了弧度制后，統(tǒng)一了角度與長度的單位，使角的集合與實數(shù)集之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系即每一個角都有唯一一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一一個角(角的弧度數(shù)就等于這個實數(shù))與它對應(yīng)為下面學(xué)習(xí)三角函數(shù)做了知識上的鋪墊.,【微思考】 (1)角1這種表達方式正確嗎？ 提示：正確用弧度制表示角時，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，角1就表示是1 rad的角 (2)單位長度的弧長所對的圓心角是1弧度嗎？ 提示：不是.只有在以單位長度為半徑的圓中，單位長度的弧所對的圓心角才是1弧度的角.,【即時練】 1.下列說法正確的是( ) A.1弧度是

5、1度的圓心角所對的弧 B.1弧度是長度為半徑的弧 C.1弧度是1度的弧與1度的角之和 D.1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位 【解析】選D. 根據(jù)1弧度的定義，我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，即可判斷D正確,2.(2014撫順高一檢測)下列說法不正確的是( ) A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位 B1度的角是圓周的 所對的圓心角，1弧度的角是圓周的 所對的圓心角 C.根據(jù)弧度的定義知，180度一定等于 rad D不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們都與圓的半徑 的長短有關(guān),【解析】選D. 根據(jù)角度與弧度的定義可知，無論是角度制還是弧

6、度制，角的大小都與半徑的長短無關(guān)，所以D錯誤.,知識點 2 弧度制下弧長公式、扇形面積公式 對弧度制下弧長公式和扇形面積公式的三點說明 (1)由公式可知，由，l，R，S中的兩個量可以求出另外的兩 個量，即知二求二. (2)運用弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式明顯比角度制 下的公式簡單得多，但要注意它的前提是在弧度制的前提下. (3)在運用公式時，還應(yīng)熟練地掌握這兩個公式的變形應(yīng)用： lR， ,【微思考】 扇形的兩種面積公式選擇的依據(jù)是什么？ 提示：若已知弧長時，可使用 若已知圓心角時， 可使用 無論使用哪種公式，都必須有半徑R.,【即時練】 1.已知扇形的半徑是16，圓心角是2弧度，則扇形的

7、弧長是_ 【解析】1.因為R16，2 rad，所以lR21632. 答案：32,2.已知扇形的半徑為1，圓心角為1弧度，則其面積是_. 【解析】由弧長公式可得扇形的弧長為1，故其面積為 答案：,【題型示范】 類型一 角度和弧度的互化及應(yīng)用 【典例1】 (1)將下列角度與弧度進行互化. 20=_；15=_； =_； =_. (2)把1 480寫成2k(kZ)的形式，其中 02； 在0,4中找出與 角終邊相同的角,【解題探究】1.題(1)中角度和弧度換算的依據(jù)是什么？ 2.解題(2)的關(guān)鍵是什么？解題(2)的關(guān)鍵是什么？ 【探究提示】1.角度與弧度換算的關(guān)鍵是 1= 2.解題(2)時關(guān)鍵是將角度換

8、算為弧度；解題(2)時關(guān)鍵是將弧度換算為角度,【自主解答】(1)20 答案： 15 答案： 答案：105 答案：-396,(2)因為1 480 所以 其中 因為 所以終邊與 角相同的角為72k360(kZ)， 當(dāng)k0時，72= 當(dāng)k1時，432= 所以在0,4中與 角終邊相同的角為,【方法技巧】角度制與弧度制的互化的原則、方法以及注意點 (1)原則：牢記180= rad，充分利用1= 和1 rad = 進行換算. (2)方法：設(shè)一個角的弧度數(shù)為，角度數(shù)為n，則 rad=,(3)注意點： 以“弧度”為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫. 以“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數(shù)寫成

9、多少的形式，如無特別要求，不必把寫成小數(shù). 度化弧度時，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度.,【變式訓(xùn)練】將下列各角化成2k(02，kZ) 的形式，并指出它們是第幾象限角 (1)1 725.(2)870. 【解析】(1)因為1 725536075， 所以 所以1 725與 的終邊相同，故1 725是第一象 限角 (2)870 角870與 終邊相 同，故870是第二象限角,【補償訓(xùn)練】設(shè)集合 N| ，則MN_. 【解析】分別取k1,0,1,2，得 所以MN= 答案：,類型二 弧長公式及扇形面積公式的應(yīng)用 【典例2】 (1)(2014福州高一檢測)已知扇形的圓心角為120，半徑為 cm，則此扇形的面積

10、為_. (2)已知扇形的周長為10 cm，面積為4 cm2，求扇形圓心角的 弧度數(shù) 【解題探究】1.題(1)中據(jù)已知條件，可利用扇形的哪個面積 公式求面積？ 2.題(2)中需選用扇形的哪個面積公式？,【探究提示】1.由于已知扇形的圓心角和半徑，可利用扇形 面積公式S 2.已知周長與面積，故可選用公式 【自主解答】(1)設(shè)扇形弧長為l， 因為120 所以 所以 答案： cm2,(2)設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為(02 rad舍去 當(dāng)R4時，l2(cm)，此時，,【延伸探究】在本題(2)中，若扇形的周長10 cm改為40 cm，又如何求它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？,

11、【解析】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l，面積 為S，則l2R40,所以l402R， 所以 所以當(dāng)半徑R10 cm時，扇形的面積最大 這個最大值為100 cm2，這時,【方法技巧】弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問題的解題策略 (1)明確弧度制下弧長公式l=R，扇形的面積公式是S 其中l(wèi)是扇形的弧長，是扇形的圓心角. (2)涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算,關(guān)鍵是先 分析題目已知哪些量求哪些量,然后靈活運用弧長公式、扇形 面積公式直接求解或列方程(組)求解.,【變式訓(xùn)練】已知扇形AOB的圓心角為 半徑長為6，求： (1)弧AB的長. (2)扇形所含弓形的面積 【解題指南】(1)將角度化

12、為弧度，再根據(jù)公式求解弧長. (2)利用扇形面積減去三角形面積.,【解析】(1)lR 所以弧AB的長為4. (2)S扇形OAB 如圖所示， 過點O作ODAB，交AB于D點， 所以AOD=60, 于是有SOAB 所以弓形的面積為S扇形OABSOAB 所以弓形的面積是,【補償訓(xùn)練】已知一扇形的圓心角為 半徑為R，則該扇形的內(nèi)切圓面積與扇形面積之比為_ 【解題指南】先求出圓的半徑r與扇形半徑R的比為13，再求它們的面積的比,【解析】據(jù)題意，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,則 故3r=R,即 故內(nèi)切圓面積為S內(nèi)切=r2= 扇形面積S扇= 故 故面積之比為23. 答案：23,【易錯誤區(qū)】運算時角度制和弧度制混用而致錯 【典例】(2014西安高一檢測)將1 485化成2k(02，kZ)的形式為_,【解析】因為1 485436045 4360(360315) 5360315， 又5360=10，315