兩角和與差及二倍角公式.ppt

1、第十八講 兩角和與差及二倍角公式,回歸課本,1.C(-)cos(-)=coscos+sinsin C(+)cos(+)=coscos-sinsin S(+)sin(+)=sincos+cossin S(-)sin(-)=sincos-cossin,T(+)tan(+)= (,+k+ ,kZ) T(-)tan(-)= (,-k+ ,kZ).,注意:(1)注意公式的適用范圍:在T()中,都不等于k+ (kZ).即保證tantantan()都有意義.,(2)對公式tan(+)= ,下面的四種變式在以后的解題中經常用到: =tan(+)(逆用); 1-tantan= tan+tan=tan(+)(1-

2、tantan); tantantan(+)=tan(+)-tan-tan.,2.在和角公式S(+)C(+)T(+)中,當=時就可得到二倍角的三角函數(shù)公式S2C2T2. sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2, tan2=,3.余弦二倍角公式有三種形式,即cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,由此可得變形公式sin2= ,cos2= ,它的雙向應用分別起到縮角升冪和擴角降冪的作用.,4.asin+bcos= sin(+),其中cos= ,sin= ,tan= .的終邊所在象限由點(a,b)來確定.,注意:(1)公式成立的條件:在公式中,只有當公式的等號兩端

3、都有意義時,公式才成立. (2)公式應用要講究一個“活”字,即正用逆用變形用,還要創(chuàng)造條件用公式,如拆角配角技巧:=(+)-,2=(+)+(-)等.,注意切化弦通分等方法的使用,充分利用三角函數(shù)值的變式,如1=tan45,-1=tan135, =tan60, =cos60或 =sin30,sinx+ cosx=2sin 學會靈活地運用公式.,(3)當角,中有一個角為90的整數(shù)倍時,使用誘導公式較為簡便,誘導公式是兩角和與差的三角函數(shù)公式的特例. (4)搞清公式的來龍去脈,C(-)是基礎,其他公式都是用代換法及誘導公式得到的推論,即,(5)二倍角公式的正用逆用及變形用是公式的三種主要使用方法,特

4、別是變形用有時恰是解題思路的關鍵.如: 2sincos=sin2, sincos= sin2, cos= cos2-sin2=cos2, =tan2,1sin2=sin2+cos22sincos =(sincos)2, 1+cos2=2cos2, 1-cos2=2sin2.,考點陪練,1.sin15cos75+cos15sin105等于( ) 解析:sin15cos75+cos15sin105 =sin15cos75+cos15sin75=sin90=1. 答案:D,答案:A,答案:B,4.下列各式中,值為 的是( ) A.2sin15cos15 B.cos215-sin215 C.2sin2

5、15-1 D.sin215+cos215,答案:B,答案:A,類型一兩角和與差的三角函數(shù) 解題準備:利用和差公式對三角函數(shù)式進行化簡與求值,是每年高考必考內容,縱觀近幾年的高考試題,對本考點的內容一是直接考查,二是以和差公式為角的變換工具,與向量函數(shù)不等式等知識相結合的綜合題.,分析 先將條件等式展開,聯(lián)立方程組求得sincos與cossin的值,再將待求式子化簡即可.,反思感悟 已知三角函數(shù)值,求三角函數(shù)式的值,往往要對待求式進行化簡.像本題通過化簡發(fā)現(xiàn)必須先求 的值,而已知條件為正弦函數(shù)值,因此由求 轉化為求 的值,從而容易想到將兩個條件等式展開,再聯(lián)立方程組即可.,類型二二倍角的三角函數(shù)

6、 解題準備:本考點的考查基本上是以二倍角公式或變形公式為工具,對角或函數(shù)名稱進行恰當變換,以化簡求值為主,在具體問題中,必須熟練準確地運用公式.,反思感悟二倍角的余弦公式的正用是化倍角為單角,相應三角函數(shù)式項的次數(shù)翻倍(即升冪);其逆用則是化二次式為一次式(即降冪),單角變倍角,求解中注意倍角與單角的相對性.,類型三輔助角公式的應用 解題準備:1.由S(+),我們可以得出輔助角公式,即asinx+bcosx= sin(x+)(其中角的終邊所在象限由a,b的符號確定,角滿足cos= ,sin= ,這是經常用到的一個公式,它可把含sinx、cosx的一次式的三角函數(shù)式化為Asin(x+)的形式,從

7、而進一步探索三角函數(shù)的性質.,錯源一使用公式時不注意使用條件,剖析這是一道熱點測試題,上述解法執(zhí)行了“標準”答案選A.題設條件中的m(0,1),事實上,如當=2k+ (kZ)時,1-2m2=0,tan2失掉意義,若題設條件中限制m ,則應當選A. 答案D,錯源二求角時對角的范圍討論不準確 【典例2】若tan(-)= ,tan= ,且,(0,),求2-的值.,剖析上述解法就是犯了對角的討論不正確而錯誤確定了所求角的取值范圍.,技法一構造斜率 【典例1】求值:,解設A(cos40,sin40),B(cos20,sin20),于是所求是AB兩點連線的斜率kAB,而AB兩點都在單位圓x2+y2=1上.

8、 設直線AB與x軸交于C點,作ODAB垂足為D.易知xOB=20,xOA=40,BOA=20,BOD=10,于是在RtCOD中,COD=30,DCO=60,于是直線AB的傾斜角xCD=120, 所以kAB= =tan120=,技法二巧用兩角和與差公式解題 一巧變角 1.巧湊角 【典例2】若銳角、滿足cos= ,cos(+)= ,求sin的值.,解注意到=(+)-, sin=sin(+)- =sin(+)cos-cos(+)sin 為銳角且cos= ,sin=,2.巧拆角 【典例3】求 的值. 解題切入點該題為非特殊角三角函數(shù)求值,不能直接進行,注意拆角向特殊靠攏易求值.,二巧變公式結構 【典例4】求tan25+tan35+ tan25tan35的值. 解注意到25+35=60,故用兩角和正切變形公式.原式=tan(25+35)(1-tan25tan35)+ tan25tan35= (1-tan25tan35)+ tan25tan35=,三巧引參數(shù) 【典例5】已知銳角、滿足條件 求證+= . 解題切入點若注意到已知條件滿足公式sin2+cos2=1時,可引進參數(shù),進行三角代換.,證明由已知可設 =cos, =sin,則有 sin