2020年湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 2.5一元二次方程的應(yīng)用 教案.doc

1、25一元二次方程的應(yīng)用第1課時(shí)一元二次方程的應(yīng)用(1)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】使學(xué)生會(huì)用列一元二次方程的方法解應(yīng)用題【過程與方法】讓學(xué)生在經(jīng)歷運(yùn)用一元二次方程解決一些代數(shù)問題的過程中體會(huì)一元二次方程的應(yīng)用價(jià)值【情感態(tài)度】在應(yīng)用一元二次方程的過程中，提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力【教學(xué)重點(diǎn)】建立一元二次方程模型解決一些代數(shù)問題【教學(xué)難點(diǎn)】把一些代數(shù)問題化歸為解一元二次方程的問題教學(xué)過程一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知列方程解應(yīng)用問題的步驟是什么？審題，設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程，答【教學(xué)說明】七年級(jí)學(xué)過一元一次方程的應(yīng)用，實(shí)際上是據(jù)實(shí)際題意，設(shè)未知數(shù)，列出一元一次方程求解，從而得到問題的解決但有的實(shí)際問題

2、，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，這就是我們本節(jié)課所研究的問題，一元二次方程的應(yīng)用二、思考探究，獲取新知1某省農(nóng)作物秸稈資源巨大，但合理使用量十分有限，因此該省準(zhǔn)備引進(jìn)適用的新技術(shù)來提高秸稈的合理使用率，若今年的使用率為40%，計(jì)劃后年的使用率達(dá)到90%，求這兩年秸稈使用率的年平均增長(zhǎng)率(假設(shè)該省每年產(chǎn)生的秸稈總量不變)分析：由于今年到后年間隔兩年，所以問題中涉及的等量關(guān)系是：今年的使用率(1年平均增長(zhǎng)率)2后年的使用率解：設(shè)這兩年秸稈使用率的年平均增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：40%(1x)290%解得：x150%，x22.5根據(jù)題意可知：x50%答：這兩年秸稈使用率的

3、平均年增長(zhǎng)率為50%.2為執(zhí)行國家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來實(shí)惠，某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由100元降為81元求平均每次降價(jià)的百分率分析：?jiǎn)栴}中涉及的等量關(guān)系是：原價(jià)(1平均每次降價(jià)的百分率)2現(xiàn)在的售價(jià)解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：100(1x)281解得：x110%，x21.9根據(jù)題意可知：x10%答：平均每次降價(jià)的百分率為10%.3“議一議”運(yùn)用一元二次方程模型解決實(shí)際問題的步驟有哪些？【歸納結(jié)論】運(yùn)用一元二次方程模型解決實(shí)際問題的步驟：分析實(shí)際問題建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根的檢驗(yàn)實(shí)際問題的解【教學(xué)說明】使學(xué)生感受、明白利用一

4、元二次方程解決實(shí)際問題的過程與方法三、運(yùn)用新知，深化理解1見教材P50例2.2一件商品的原價(jià)是121元，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為100元如果每次降價(jià)的百分率都是x，根據(jù)題意列方程得_【答案】121(1x)21003某小區(qū)2013年屋頂綠化面積為2000平方米，計(jì)劃2015年屋頂綠化面積要達(dá)到2880平方米如果每年屋頂綠化面積的增長(zhǎng)率相同，那么這個(gè)增長(zhǎng)率是多少？分析：本題需先設(shè)出這個(gè)增長(zhǎng)率是x，再根據(jù)已知條件找出等量關(guān)系列出方程，求出x的值，即可得出答案解：設(shè)這個(gè)增長(zhǎng)率是x，根據(jù)題意得：2000(1x)22880解得：x120%，x2220%(舍去)故答案為：20%.4某電腦公司2012年的各項(xiàng)經(jīng)

5、營收入中，經(jīng)營電腦配件的收入為600萬元，占全年經(jīng)營總收入的40%，該公司預(yù)計(jì)2014年經(jīng)營總收入要達(dá)到2160萬元，且計(jì)劃從2012年到2014年，每年經(jīng)營總收入的年增長(zhǎng)率相同，問2013年預(yù)計(jì)經(jīng)營總收入為多少萬元？解：設(shè)每年經(jīng)營總收入的年增長(zhǎng)率為a.列方程，60040%(1a)22160解方程，a10.2，a22.2，(不符合題意，舍去)每年經(jīng)營總收入的年增長(zhǎng)率為0.2，則2013年預(yù)計(jì)經(jīng)營總收入為：60040%(10.2)60040%1.21800答：2013年預(yù)計(jì)經(jīng)營總收入為1800萬元5將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，能賣出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少1

6、0個(gè)，若這種商品漲價(jià)x元，則可賺得y元的利潤(rùn)(1)寫出x與y之間的關(guān)系式；(2)為了賺得8000元利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少元，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？解(1)商品的單價(jià)為50x元，每個(gè)的利潤(rùn)是(50x)40元，銷售量是50010x個(gè)，則依題意得y(50x)40(50010x)，即y10x2400x5000.(2)依題意，得10x2400x50008000.整理，得x240x3000.解得x110，x230.所以商品的單價(jià)應(yīng)定為501060(元)或503080(元)當(dāng)商品的單價(jià)為60元時(shí)，其進(jìn)貨量只能是5001010400(個(gè))；當(dāng)商品每個(gè)單價(jià)為80元時(shí)，其進(jìn)貨量只能是5001030200(個(gè))6“國運(yùn)興

7、衰，系于教育”下圖中給出了我國從19982002年每年教育經(jīng)費(fèi)投入的情況(1)由圖可見，19982002年的五年內(nèi)，我國教育經(jīng)費(fèi)投入呈現(xiàn)出_趨勢(shì)；(2)如果我國的教育經(jīng)費(fèi)從2002年的5500億元增加到2004年的7920億元，那么這兩年的教育經(jīng)費(fèi)平均年增長(zhǎng)率為多少？解：(1)上升或增長(zhǎng)(2)設(shè)平均每年增長(zhǎng)率為x.依題意，5500(1x)27920解得x10.220%，x22.2(不合題意，舍去)答：這兩年的教育經(jīng)費(fèi)平均年增長(zhǎng)率為20%.【教學(xué)說明】進(jìn)一步提高分析問題、解決問題的能力，深刻體會(huì)方程的思想方法在解應(yīng)用問題中的用途四、師生互動(dòng)、課堂小結(jié)先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表

8、進(jìn)行總結(jié)教師作以補(bǔ)充課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習(xí)題2.5”中第1、2題教學(xué)反思一元二次方程的應(yīng)用增長(zhǎng)率及利潤(rùn)問題與我們的生活密切相關(guān)，在解決增長(zhǎng)率問題時(shí)，要弄清關(guān)鍵詞語的含義和有關(guān)數(shù)量間的關(guān)系，掌握其規(guī)律，還應(yīng)注意各種數(shù)據(jù)變化的基礎(chǔ)，針對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容，制作了多媒體教學(xué)課件，讓學(xué)生在探討、練習(xí)中完成所學(xué)內(nèi)容本節(jié)課中，同學(xué)們能積極投入到課堂教學(xué)中，認(rèn)真思考、討論，踴躍發(fā)言，課堂氣氛活躍，在個(gè)別問題的回答上，學(xué)生大膽發(fā)言，配合默契，達(dá)到了積極的教學(xué)效果第2課時(shí)一元二次方程的應(yīng)用(2)教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】會(huì)建立一元二次方程的模型解決實(shí)際問題，并能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，對(duì)方程解的合理性作出解釋【過程與

9、方法】進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)【情感態(tài)度】讓學(xué)生進(jìn)一步感受一元二次方程的應(yīng)用價(jià)值，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題【教學(xué)難點(diǎn)】從實(shí)際問題中建立一元二次方程的模型教學(xué)過程一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知復(fù)習(xí)列方程解應(yīng)用題的一般步驟：(1)審題：仔細(xì)閱讀題目，分析題意，明確題目要求，弄清已知數(shù)、未知數(shù)以及它們之間的關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)：用字母(如x)表示題中的未知數(shù)，通常是求什么量，就設(shè)這個(gè)量為x；(3)列方程：根據(jù)題中已知量和未知量之間的關(guān)系列出方程；(4)解方程：求出所給方程的解；(5)檢驗(yàn)：既要檢驗(yàn)所求方程的

10、解是否滿足所列出的方程，又要檢驗(yàn)它是否能使實(shí)際問題有意義；(6)作答：根據(jù)題意，選擇合理的答案2說一說，矩形的面積與它的兩鄰邊長(zhǎng)有什么關(guān)系？【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備二、思考探究，獲取新知1思考：如圖，在一長(zhǎng)為40cm，寬為28cm的矩形鐵皮的四角截去四個(gè)全等的小正方形后，折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，若已知長(zhǎng)方體盒子的底面積為364平方厘米，求截去的四個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)(1)引導(dǎo)學(xué)生審題，弄清已知數(shù)、未知數(shù)以及它們之間的關(guān)系；(2)確定本題的等量關(guān)系是：盒子的底面積盒子的底面長(zhǎng)盒子的底面寬；(3)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)；(4)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等量關(guān)系列方程；(5)引導(dǎo)學(xué)生求出所列

11、方程的解；(6)檢驗(yàn)所求方程的解的合理性；(7)根據(jù)題意作答【教學(xué)說明】設(shè)未知數(shù)和作答時(shí)都不要漏寫單位，是多項(xiàng)式時(shí)要加括號(hào)再寫單位2如圖，一長(zhǎng)為32m，寬為20m的矩形地面上修建有同樣寬的道路(圖中陰影部分)，余下部分進(jìn)行了綠化，若已知綠化面積為540m2，求道路的寬分析：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，這類題目體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，如圖，需利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，進(jìn)而即可列出方程，求出答案還要注意根據(jù)題意考慮根的合理性，從而確定根的取舍本題可設(shè)道路寬為x米，利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，如此一來，所有草坪面積之和就變?yōu)榱?32x)(20x)平方米2，進(jìn)而即可列出方程，求出答案

12、解：設(shè)道路寬為x米(32x)(20x)540解得：x12，x250(不合題意，舍去)x2答：道路寬為2米3如圖所示，在ABC中，C90，AC6cm.BC8cm，點(diǎn)P沿AC邊從點(diǎn)A向終點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q沿CB邊從C向終點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)，問點(diǎn)P、Q出發(fā)幾秒后，可使PCQ的面積為9cm2?解：設(shè)xs后，可使PCQ的面積為9cm2.由題意得，APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm則(6x)2x9.整理，得x26x90，解得x1x23.所以P、Q同時(shí)出發(fā)，3s后可使PCQ的面積為9cm2.【教學(xué)說明】使學(xué)生感受、明白在幾何圖形

13、中利用一元二次方程解決實(shí)際問題的過程與方法三、運(yùn)用新知，深化理解1如圖，某中學(xué)為方便師生活動(dòng)，準(zhǔn)備在長(zhǎng)30m，寬20m的矩形草坪上修兩橫兩縱四條小路，橫縱路的寬度之比為32，若使余下的草坪面積是原來草坪面積的四分之三，若橫路寬為3xcm，則可列方程為_分析：若設(shè)小路的橫路寬為3xm，則縱路寬為2xm，我們利用“圖形經(jīng)過移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的道理，把縱、橫四條路移動(dòng)一下(目的是求出路面的寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖的位置修路)，則余下的草坪面積可用含x的代數(shù)式表示為(304x)(206x)m2，又由題意可知余下草坪的面積為原草坪面積的四分之三，可列方程則可列方程：(304x)(206x)

14、3020【答案】(304x)(206x)30202在一幅長(zhǎng)80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是()Ax2130x14000Bx265x3500Cx2130x14000Dx265x3500【答案】B3如圖，利用一面墻(墻的長(zhǎng)度不超過45m)，用80m長(zhǎng)的籬笆圍一個(gè)矩形場(chǎng)地(1)怎樣圍才能使矩形場(chǎng)地的面積為750m2?(2)能否使所圍矩形場(chǎng)地的面積為810m2，為什么？解：(1)設(shè)所圍矩形ABCD的長(zhǎng)AB為x米，則寬AD為(80x)米依題意，得x(80x)750.即，x2

15、80x15000，解此方程，得x130，x250.墻的長(zhǎng)度不超過45m，x250不合題意，應(yīng)舍去當(dāng)x30時(shí)，(80x)(8030)25，所以，當(dāng)所圍矩形的長(zhǎng)為30m、寬為25m時(shí)，能使矩形的面積為750m2.(2)不能因?yàn)橛蓌(80x)810得x280x16200.又b24ac(80)2411620800，上述方程沒有實(shí)數(shù)根因此，不能使所圍矩形場(chǎng)地的面積為810m2.4如圖，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的邊如圖，地毯中央的矩形圖案長(zhǎng)6米、寬3米，整個(gè)地毯的面積是40平方米求花邊的寬分析：本題可根據(jù)地毯的面積為40平方米來列方程，其等量關(guān)系式可表示為：(矩形圖案的長(zhǎng)兩個(gè)花邊的寬)(矩形圖案的

16、寬兩個(gè)花邊的寬)地毯的面積解：設(shè)花邊的寬為x米，根據(jù)題意得(2x6)(2x3)40，解得x11，x2，x2不合題意，舍去答：花邊的寬為1米5我校原有一塊正方形空地，后來在這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種花草(如圖)，原空地一邊減少了1m，另一邊減少了2m，使剩余的空地面積為12m2，求原正方形的邊長(zhǎng)分析：本題可設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為xm，則剩余的空地長(zhǎng)為(x1)m，寬為(x2)m.根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式方程可列出，進(jìn)而可求出原正方形的邊長(zhǎng)解：設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為xm，依題意有(x1)(x2)12整理，得x23x100.(x5)(x2)0，x15，x22(不合題意，舍去)答：原正方形的邊長(zhǎng)5m.6小明家有一塊

17、長(zhǎng)8m，寬6m的矩形空地，現(xiàn)準(zhǔn)備在該空地上建造一個(gè)十字花園(圖中陰影部分)，并使花園面積為空地面積的一半，小明設(shè)計(jì)了如圖的方案，求圖中的x值解：據(jù)題意，得(8x)(6x)86.解得x112，x22.x1不合題意，舍去x2.【教學(xué)說明】進(jìn)一步提高分析問題、解決問題的能力，深刻體會(huì)方程的思想方法在解應(yīng)用問題中的用途四、師生互動(dòng)、課堂小結(jié)先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié)教師作以補(bǔ)充課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習(xí)題2.5”中第3、4、7題教學(xué)反思本節(jié)課以學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活為問題的背景，讓學(xué)生從具體的問題情境中抽象出數(shù)量關(guān)系，歸納出變化規(guī)律，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，最終解決實(shí)際問題這類注重

18、聯(lián)系實(shí)際考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的問題，體現(xiàn)時(shí)代性，并且結(jié)合社會(huì)熱點(diǎn)、焦點(diǎn)問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注國家、人類和世界的命運(yùn)既有強(qiáng)烈的德育功能，又可以讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度分析社會(huì)現(xiàn)象，體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的作用復(fù)習(xí)與提升教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1一元二次方程的相關(guān)概念2靈活運(yùn)用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程3能運(yùn)用一元二次方程的根的判別式判定方程的根的情況4能簡(jiǎn)單運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決相關(guān)問題5構(gòu)造一元二次方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題【過程與方法】通過靈活運(yùn)用解方程的方法，體會(huì)幾種解法之間的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)一步熟練根據(jù)方程特征找出最優(yōu)解法【情感態(tài)度】通過實(shí)際問題的解決，進(jìn)一步熟練運(yùn)

19、用方程解決實(shí)際問題，體會(huì)方程思想在解決問題中的作用【教學(xué)重點(diǎn)】運(yùn)用知識(shí)、技能解決問題【教學(xué)難點(diǎn)】解題分析能力的提高教學(xué)過程一、知識(shí)框圖，整體把握【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生回顧本章知識(shí)點(diǎn)，展示本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，使學(xué)生系統(tǒng)地了解本章知識(shí)及之間的關(guān)系二、釋疑解惑，加深理解1一元二次方程的概念：如果一個(gè)方程通過移項(xiàng)可以使右邊為0，而左邊是只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，那么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2bxc0，(a，b，c是已知數(shù)且a0)，其中a，b，c分別叫作二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)2直接開平方法：對(duì)于形如(xn)2d(d0)的方程，可用直接開平方法解直接開平方法的步驟是：把方程變

20、形成(xn)2d(d0)，然后直接開平方得xn和xn，分別解這兩個(gè)一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解3配方法：通過配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，這種方法稱為配方法用配方法解一元二次方程的步驟：(1)把方程化為一般形式ax2bxc0；(2)把方程的常數(shù)項(xiàng)通過移項(xiàng)移到方程的右邊；(3)若方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a；(4)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；(5)此時(shí)方程的左邊是一個(gè)完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程來解4公式法：求根公式x(b24ac0)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法用公式法解一元二次方程

21、的一般步驟：首先要把原方程化為一般形式，從而正確地確定a，b，c的值；其次要計(jì)算b24ac的值，當(dāng)b24ac0時(shí)，再用求根公式求解5因式分解法：利用因式分解來解一元二次方程的方法叫做因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步驟：把方程化成一邊為0，另一邊是兩個(gè)一次因式的乘積的形式，然后使每一個(gè)一次因式等于0，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解就是原一元二次方程的解6一元二次方程的根的判別式：我們把b24ac叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“”表示即：b24ac(1)當(dāng)b24ac0時(shí)，一元二次方程ax2bxc0(a0)有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根即x1，x2.(2)當(dāng)b24ac0時(shí)，一元二次方程ax2bxc0(a0)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根(3)當(dāng)b24ac1 Bk1且k