材料力學(xué)的課件.ppt

1、第七章 位移法,第一節(jié) 概 述,力法和位移法是分析超靜定結(jié)構(gòu)的兩種最基本的方法。力法是把超靜定結(jié)構(gòu)的多余未知力作為基本未知量（力），而位移法，則是把結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。 對(duì)于線性彈性結(jié)構(gòu)，在一定外荷載作用下內(nèi)力與位移存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。,第一節(jié) 概 述,在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，可設(shè)法求出結(jié)構(gòu)中的某些位移，通過(guò)位移與內(nèi)力之間確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出相應(yīng)的內(nèi)力，從而對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的方法叫位移法。,第二節(jié) 位移法的基本概念,用位移法分析結(jié)構(gòu)時(shí)，先將結(jié)構(gòu)隔離成單個(gè)桿件，進(jìn)行杠件受力分析，然后考慮變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件，將桿件在結(jié)點(diǎn)處拼裝成整體結(jié)構(gòu)。 所示結(jié)構(gòu)為例了解位移法的基

2、本思路。,第一步，使原結(jié)構(gòu)處于固定狀態(tài),第二步，用桿端位移表示桿端力,得桿件BC的桿端彎矩為： 桿件BA的桿端彎矩為：,第三步，用平衡條件建立位移方程,（MBA+MBC）=0,從上式中可求得B的角位移值為：,(順時(shí)針?lè)较?,可求得各桿件桿端彎矩值為：,桿件BC：,桿件BA：,(上邊纖維受拉),(左邊纖維受拉),(右邊纖維受拉),從上面簡(jiǎn)單剛架計(jì)算實(shí)例可以得到這樣結(jié)論：位移法是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為未知量，先通過(guò)“離散”和“組合”的過(guò)程中求出未知量，再利用它對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。 最后可以把位移法的基本思路概括為，先離散后組合的處理過(guò)程。所謂離散，就是把對(duì)整體結(jié)構(gòu)的分析轉(zhuǎn)化對(duì)單個(gè)桿件系在變形協(xié)調(diào)一致條件

3、下的桿系分析。所謂組合，是要把離散后的結(jié)構(gòu)恢復(fù)到原結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)，也就是要把各個(gè)桿件組合成原結(jié)構(gòu)，組合條件就是要滿足原結(jié)構(gòu)的平衡條件。,因此位移法分析中應(yīng)解決的問(wèn)題有以下幾方面：,確定桿端內(nèi)力與桿端位移及荷載之間的函數(shù)關(guān)系。 確定結(jié)構(gòu)中哪些結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。 如何建立求解基本未知量的位移法方程式。 這些問(wèn)題將在以后的各節(jié)中分別予以介紹和討論。,第三節(jié)等截面直桿的形常數(shù)和截常數(shù),用位移法分析結(jié)構(gòu)時(shí)，是用增加附加約束的辦法，把對(duì)原結(jié)構(gòu)的分析轉(zhuǎn)化為對(duì)單跨超靜定桿件及靜定桿件的分析。 對(duì)單跨超靜定桿件分析是位移法分析的基礎(chǔ)。又因?yàn)槲灰品ㄊ墙⒃谑炙慊A(chǔ)上，基本未知量的數(shù)目越少越好，所以，為了減少

4、基本未知量數(shù)目，我們給出三種基本桿件類型：兩端固定桿件；一端固定、另一端鉸支座桿件；一端固定、另一端定向支座桿件。由于結(jié)構(gòu)常為等截面直桿構(gòu)成，所以只討論三種類型的等截面直桿在桿端位移和外荷載分別作用下產(chǎn)生的桿端力。,桿端位移的正負(fù)號(hào)規(guī)定,桿端角位移（結(jié)點(diǎn)角位移），以順時(shí)針?lè)较?旋轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù),桿端線位移（結(jié)點(diǎn)線位移）。桿端線位移是 指桿件兩端垂直于桿軸線方向的相對(duì)線位移， 正負(fù)號(hào)則以使整個(gè)桿件順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)規(guī)定為正,反之為負(fù) 。,桿端內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定,桿端彎矩。對(duì)桿件而言，當(dāng)桿端彎矩繞桿件順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。對(duì)結(jié)點(diǎn)而言，當(dāng)桿端彎矩繞結(jié)點(diǎn)（或支座）逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為正，反之為負(fù) 桿端

5、剪力Q正負(fù)號(hào)的規(guī)定，同材料力學(xué)和本書中前面的規(guī)定，這里從略。,等截面直桿的剛度系數(shù)和固端力,（1）剛度系數(shù) 桿件剛度系數(shù)，是指使單跨超靜定桿件在桿端沿某位移方向發(fā)生單位位移時(shí)，所需要施加的桿端力。由于它只是與桿件長(zhǎng)度、截面尺寸以及材料的彈性常數(shù)（如彈性模量等）有關(guān)的常數(shù)，又稱它為形常數(shù)。在表8-1、8-2和8-3中分別給出了三種不同類型的桿件有桿端單位角位移和單位相對(duì)線位移的剛度系數(shù)，這些形常數(shù)是用力法推導(dǎo)出來(lái)的，正負(fù)號(hào)是按本節(jié)規(guī)定確定的。,（2）截常數(shù) 單跨超靜桿件在荷載等外部因素作用下引起的桿端內(nèi)力，常稱為固端內(nèi)力（包括固端彎矩和固端剪力）。在給定桿件類型后，其數(shù)值與荷載形式等有關(guān)，故稱為

6、載常數(shù)。在表8-1、8-2及8-3中給出三種類型桿件在常見荷載作用下的載常數(shù)，也是用力法推導(dǎo)出的，正負(fù)號(hào)也是按本節(jié)規(guī)定確定的。,第四節(jié)位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu),位移法基本概念可知，如果結(jié)構(gòu)的每根桿件的桿端位移已知，即可求出桿件內(nèi)力。又由于匯交于剛結(jié)點(diǎn)處各桿端位移相等，且等于結(jié)點(diǎn)位移，位移法把結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。結(jié)點(diǎn)位移由結(jié)點(diǎn)角位移和結(jié)點(diǎn)線位移兩部分組成，則基本未知量由結(jié)點(diǎn)角位移和結(jié)點(diǎn)線位移兩部分組成。同時(shí)位移法引入變形假設(shè)：假設(shè)結(jié)構(gòu)變形是微小的；忽略受彎直桿（件）的軸向變形和剪切變形對(duì)結(jié)點(diǎn)位移的影響。下面將按照變形假設(shè)、三種類型桿件以及結(jié)構(gòu)的支座約束條件，討論結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位

7、移 。,（1） 結(jié)點(diǎn)角位移,由材料力學(xué)梁彎曲的平面截面假設(shè)可知，桿件發(fā)生彎曲變形后，橫截面保持平面且與桿軸線垂直，故桿端角位移和桿端橫截面的角位移是相等的。又根據(jù)剛結(jié)點(diǎn)的變形連續(xù)條件，桿端角位移與該桿端相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)角位移是相同的。由此得出，通常情況下，一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移（轉(zhuǎn)角）。,結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)的基本類型有剛結(jié)點(diǎn)和鉸結(jié)點(diǎn)，另外還有混合結(jié)點(diǎn)，而混合結(jié)點(diǎn)中有剛性連結(jié)部分和鉸結(jié)部分，可把一個(gè)剛性連接部分也作為一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)，仍然適用于一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移。鉸結(jié)點(diǎn)處的桿端雖然有角位移，在位移法計(jì)算中可以選用表8-2一端固定，一端鉸支座桿件的形常數(shù)和載常數(shù)，則鉸支端的角位移不作為基本未知量。

8、,（2） 結(jié)點(diǎn)線位移,分析結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移時(shí)，先分析結(jié)點(diǎn)和桿件連結(jié)關(guān)系。一般情況下，平面桿件結(jié)構(gòu)中每個(gè)結(jié)點(diǎn)（包括剛結(jié)點(diǎn)和鉸結(jié)點(diǎn)）均可能有兩個(gè)（如水平和豎向）結(jié)點(diǎn)線位移。若不考慮桿件的軸向變形，每根受彎直桿變形后在桿軸方向上兩端間距（長(zhǎng)度）不改變，則有一根受彎直桿等同一根鏈桿的作用，能減少一個(gè)結(jié)點(diǎn)線位移。若兩個(gè)結(jié)點(diǎn)用一根受彎直桿連結(jié)后，在桿軸方向上將原有的兩個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移減少為一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移。由此推得，在一條直線上的多個(gè)結(jié)點(diǎn)（包括剛結(jié)點(diǎn)和鉸結(jié)點(diǎn)）用受彎桿件相互連接后，在該直線上的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移只有一個(gè)。,位移法的基本結(jié)構(gòu),位移法中采用增加附加約束，以限制原結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移而得到的新結(jié)構(gòu)，

9、稱為位移法的基本結(jié)構(gòu)。 使用的附加約束有兩種形式：對(duì)應(yīng)于結(jié)點(diǎn)角位移，在剛結(jié)點(diǎn)處附加剛臂，只限制剛結(jié)點(diǎn)的角位移，不限制結(jié)點(diǎn)線位移，用符號(hào)“”表示剛臂；對(duì)應(yīng)于獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移用附加鏈桿，只限制結(jié)點(diǎn)線位移。,第五節(jié) 位移法的典型方程,用位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，根據(jù)建立求基本未知量的位移法基本方程方法的不同，可分為典型方程法和平衡方程法兩種。本節(jié)先討論典型方程法。,51 位移法的典型方程的建立,以圖8-8（a）所示剛架為例，說(shuō)明典型方程法建立位移法方程的過(guò)程。圖8-8（a）所示剛架在剛結(jié)點(diǎn)B處有一個(gè)獨(dú)立角位移，編號(hào)為Z1；另外結(jié)點(diǎn)A、B、C有一個(gè)獨(dú)立水平線位移，編號(hào)為Z2，基本未知量和基本結(jié)構(gòu)見圖（b

10、）。圖（b）中為桿件的線剛度。,基本結(jié)構(gòu)在外荷載q單獨(dú)作用下引起的彎矩圖，記為圖，見圖（C）。它引起附加剛臂和附加鏈桿的反力矩和反力，分別用、（圖C）表示。其中第一個(gè)腳標(biāo)表示反力所屬約束，第二個(gè)腳標(biāo)表示反力產(chǎn)生的原因。如表示由荷載作用引起附加剛臂的反力矩，后面遇到下標(biāo)的物理意義可按此類推。,圖8-8（d）、（e）分別表示基本結(jié)構(gòu)在Z1=1及Z2=1單獨(dú)作用下產(chǎn)生的彎矩圖，稱為單位彎矩圖（或稱圖及圖）。用r11、r21、r12、r22表示在相應(yīng)的附加約束中產(chǎn)生的反力矩及反力。他們的第一個(gè)腳標(biāo)表示該反力所屬的附加約束；第二個(gè)腳標(biāo)則表示反力產(chǎn)生的原因。例如r11表示由Z1=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，在

11、附加剛臂中產(chǎn)生的反力矩（圖d）；r12表示由Z2=1單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)時(shí)，在附加剛臂中產(chǎn)生的反力矩（圖e）。單位位移均按基本未知量的正方向設(shè)定，而各反力的方向也均按所設(shè)的基本未知量方向設(shè)定。,設(shè)基本結(jié)構(gòu)在外荷載和獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移Z1 及Z2分別作用下，在附加剛臂和鏈桿中產(chǎn)生的反力矩和反力之和為R1及R2，由疊加法可得其表達(dá)式為：,要使基本結(jié)構(gòu)在荷載和基本未知量共同作用下的受力和原結(jié)構(gòu)受力相同，所以R1和R2應(yīng)該等于零，故式（a）變?yōu)? 上式稱為二個(gè)未知量的位移法典型方程。它的物理意義是，基本結(jié)構(gòu)在外荷載和結(jié)點(diǎn)位移共同作用下，在每一個(gè)附加約束中產(chǎn)生的反力等于零。它反映了基本結(jié)構(gòu)受力與原結(jié)構(gòu)是相同的，

12、實(shí)質(zhì)上代表了原結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程。結(jié)構(gòu)有多少個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移未知數(shù)，就可以建立與之對(duì)應(yīng)的相同數(shù)目的平衡方程。,5.2 n個(gè)基本未知量的位移法典型方程,對(duì)于具有n個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移的結(jié)構(gòu)，在原結(jié)構(gòu)中加入相應(yīng)的附加約束，根據(jù)每個(gè)附加約束中的反力矩或反力都應(yīng)等于零的平衡條件， 則可建立n個(gè)方程如下：,也可寫成矩陣表達(dá)式:,在位移法典型方程中，每個(gè)系數(shù)都是單位結(jié)點(diǎn)位移所引起的附加約束的反力，它的大小與結(jié)構(gòu)剛度有關(guān)；剛度愈大則反力也愈大。故把系數(shù)稱為結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，把典型方程稱為剛度方程，把位移法也叫剛度法。 無(wú)論剛架、連續(xù)梁、鉸接排架還是組合結(jié)構(gòu)，也無(wú)論結(jié)構(gòu)形式有多大差異，也不管基本未知量的類型有什么不同

13、，只要結(jié)構(gòu)的位移法基本未知量數(shù)目相同，位移法方程形式都是相同的。,5.3 位移法典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算,計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)時(shí)，可根據(jù)單位彎矩圖、 以及荷載彎矩圖,取隔離體,由平衡條件求得系數(shù)和自由項(xiàng).現(xiàn)以圖8-8（a）所示剛架中的系數(shù)和自由項(xiàng)具體計(jì)算說(shuō)明如下。,計(jì)算附加剛臂中由Z1=1，Z2=1及荷載單獨(dú)作用下產(chǎn)生的反力矩時(shí)，從圖8-8（d）、（e）、（c）中取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，運(yùn)用力矩平衡方程可求得有關(guān)剛臂中的反力矩系數(shù)和自由項(xiàng)：,計(jì)算附加鏈桿中產(chǎn)生的反力時(shí)，從圖8-8（d）、（e）、（c）中取橫梁ABC部分為隔離體，受力見圖8-9（d）、（e）、（f）。用投影方程，可求得相應(yīng)的系數(shù)和自由

14、項(xiàng)：,5.4 解聯(lián)立方程組求基本未知量,將求得的系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程，可得： 求解方程組，得基本未知量的值為：,5.5 求最后內(nèi)力并作內(nèi)力圖,在計(jì)算位移法典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)時(shí)，已經(jīng)作出單位彎矩圖、 以及荷載彎矩圖,可用疊加法求最后內(nèi)力和作彎矩圖。 用簡(jiǎn)支梁疊加法可繪出最后彎矩圖，見圖8-8（f）。繪出M圖后，可由靜力平衡條件求得桿端剪力和軸力，并作出剪力圖和軸力圖。,第六節(jié) 用典型方程法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu),典型方程法的計(jì)算步驟 用位移法的典型方程方法計(jì)算各外部因素（載荷、支座位移等）作用下的各類結(jié)構(gòu)內(nèi)力的步驟歸納如下： 1確定原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)和基本未知量； 2列位移法的基本方程（典型方程

15、）； 3計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。首先作圖和圖，然后用平衡條件計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)； 4解聯(lián)立方程組求基本未知量； 5求結(jié)構(gòu)內(nèi)力，并作內(nèi)力圖； 6校核。 用位移法分析超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，把只有角位移沒(méi)有線位移結(jié)構(gòu)，稱無(wú)側(cè)移結(jié)構(gòu)，如連續(xù)梁；又把有線位移的結(jié)構(gòu)，稱為有側(cè)移結(jié)構(gòu)。如鉸接排架和有側(cè)移剛架等。,6.2 有一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移未知量的結(jié)構(gòu)計(jì)算,例8-1 用位移法計(jì)算圖8-10（a）所示結(jié)構(gòu)，繪彎矩圖。 （1）確定基本未知量和基本結(jié)構(gòu)。各結(jié)點(diǎn)無(wú)線位移，只有剛結(jié)點(diǎn)E處角位移，作為基本未知量，并加附加剛臂約束限制結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角。可將原結(jié)構(gòu)分成單跨超靜定桿件和靜定桿件，得基本結(jié)構(gòu)和基本未知量，見圖（b），令，各桿的線剛度標(biāo)在圖（b）中。,2）列典型方程： 式中系數(shù)和自由項(xiàng)的物理意義見圖（c）和（d）。,（3）計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。作在Z1=1和外荷載分別作用下基本結(jié)構(gòu)的圖和圖，見圖（c）和（d）。 從圖（c）和（d）中 取結(jié)點(diǎn)E為隔離體，畫受力圖，由力矩平衡條件得：,（4）解方程求Z1。把（b）、（c）式代入式（a），解得：,（5）