積分變換 課件

1、積分變換,第一章 付里葉變換,第二章 拉普拉斯變換,1.1 付氏積分,1.2 付氏變換,1.3 付氏變換的公式和性質(zhì),1.4 卷積與相關函數(shù),2.1 拉普拉斯變換的概念,2.2 拉氏變換的基本公式和性質(zhì),2.3 拉氏逆變換,2.4 拉氏變換的應用,(一)付氏級數(shù),稱實系數(shù)R上的實值函數(shù) f（t） 在閉區(qū)間a,b,上滿足狄利克萊（DirichL et）條件，如果它滿足條件：, 在a,b上或者連續(xù)，或者只有有限個第一 類間斷點；, f（t）在a,b上只有有限個極值點。,1.1 付氏積分,第一章 付里葉變換,從T為周期的周期函數(shù)fT(t)，如果在 上滿足狄利克雷條件，那么在 上fT(t)可以展成付氏

2、級數(shù)，在fT(t)的連續(xù)點處，級數(shù)的三角形成為,其中 稱為頻率，頻率對應的周期T與fT(t)的周期相同，因而稱為基波頻率，n稱為fT(t)的n次諧波頻率。,(二)付氏級數(shù)的復指數(shù)形式,在fT(t)的間斷點t0處，式(1.1.1)的左端代之為,付氏積分定理 若f (t)在(-，+)上滿足下列條件：,注 非周期函數(shù)滿足付氏積分定理的條件1，才能保證函數(shù)在任意有限區(qū)間上能展為付氏級數(shù)。滿足付氏積分定理的第2條,才能保證 存在。,1.2 付氏變換,例 1 求矩形脈沖函數(shù) 的付氏變換及其積分表達式。,t,(二)尤拉公式及尤拉公式推出的幾個公式,2.2 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換,在物理和工程技術中, 常常

3、會碰到單位脈沖函數(shù). 因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), 如在電學中, 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流; 在力學中, 要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等. 研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).,在原來電流為零的電路中, 某一瞬時(設為t=0)進入一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t). 以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù), 則,當t0時, i(t)=0, 由于q(t)是不連續(xù)的, 從而在普通導數(shù)意義下, q(t)在這一點是不能求導數(shù)的.,如果我們形式地計算這個導數(shù), 則得,這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度. 為了確定

4、這樣的電流強度, 引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù), 簡單記成d-函數(shù):,有了這種函數(shù), 對于許多集中于一點或一瞬時的量, 例如點電荷, 點熱源, 集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術中的非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, 以統(tǒng)一的方式加以解決.,（在極限與積分可交換意義下）,工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。,可將d-函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示, 這個線段的長度表示d-函數(shù)的積分值, 稱為d-函數(shù)的強度.,d-函數(shù)有性質(zhì)：,可見d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實軸上的積分都有明確意義。,(三)函數(shù)及其付氏變換,1.函數(shù)的定義,(1)(狄拉克)滿足一列兩個條件的函數(shù)稱為函數(shù)。,d

5、-函數(shù)的傅氏變換為:,于是d (t)與常數(shù)1構成了一傅氏變換對.,證法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆變換可得,例1 證明：1和2pd (w)構成傅氏變換對.,證法1：,3.函數(shù)在積分變換中的作用,(1)有了函數(shù)，對于點源和脈沖量的研究就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣，以統(tǒng)一的方式來對待。 (2)盡管函數(shù)本身沒有普通意義下的函數(shù)值，但它與任何一個無窮次可做的函數(shù)的乘積在(-,+)上的積分都有確定的值。 (3)函數(shù)的付氏變換是廣義付氏變換，許多重要的函數(shù)，如常函數(shù)、符號函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等是不滿足付氏積分定理中的絕對可積條件的(即 不存在)，這些函數(shù)的廣義付氏變換都可以

6、利用函數(shù)而得到。,由上面兩個函數(shù)的變換可得,這種頻譜圖稱為離散頻譜，也稱為線狀頻譜,(四)付氏變換的物理意義頻譜,1.非正弦的周期函數(shù)的頻譜,例4 求正弦函數(shù)f (t)=sinw0t的傅氏變換。,(一)常用函數(shù)付里葉變換公式,1.3 付氏變換的公式和性質(zhì),例 5 證明：,證：,(三)付氏變換的性質(zhì),1線性性質(zhì)。,2位移性質(zhì),該性質(zhì)在無線電技術中也稱為時移性質(zhì)。,3對稱性質(zhì),4相似性質(zhì),5象函數(shù)的位移性質(zhì),象函數(shù)的位移性質(zhì)在無線電技術中也稱為頻移性質(zhì)。,6.翻轉性質(zhì),7.微分性質(zhì),若f 在 上連續(xù)或只有有限個可去間斷點,且當 時， ，則,推論 若 （k=1,2,n）在 上連 續(xù)或只有有限個可去間

7、斷點，且 =0，k=0,1,2,(n-1), 則有,8.象函數(shù)的微分性質(zhì),若 ，則,一般地，有,若當 時， = ,則,如果 ，則,9.積分性質(zhì),其中,10.象函數(shù)的積分性質(zhì),若 ，則,11.乘積定理,若 ， ，則,其中 ， 均為t的實函數(shù)， 、 分別為 、 的共軛函數(shù)。,12.能量積分,若 ，則,該等式又稱為巴塞瓦等式。,13.卷積定理,設 ， 滿足付氏積分定理中的條件， 且 ， ，則,1.4 卷積與相關函數(shù),二、卷積的性質(zhì),(二)積分變換的運用,例 求微分積分方程,運用微分性質(zhì)及積分性質(zhì),求解方程,由微分性質(zhì)，有,求下面方程的解, 其中t+, a,b,c均為常數(shù).,根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積

8、分性質(zhì), 且記F x(t)=X(w), F h(t)=H(w).在方程兩邊取傅氏變換, 可得,第二章 拉普拉斯變換,2.1 拉普拉斯變換的概念,一、拉氏變換和拉氏逆變換的定義,稱 為 的拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）或象函數(shù)，記為 ，即,又稱 為 的拉普拉斯逆變換（簡稱為拉氏逆變換）或象原函數(shù)，記 即,二、拉氏變換的存在定理,拉氏變換存在定理 設函數(shù)f (t)滿足下列條件：,關于拉氏變換存在定理，做如下的幾點說明： (1)從物理應用觀點來看，條件2、3都是容易滿足的。實用上所考察的物理過程，往往是用時間函數(shù)來描述的，并且是從某一時刻開始，因此可以選這時刻為t=0，在此以前情況則不加考慮。例如si

9、nt，若要對它進行拉氏變換則應把它理解為sintu(t)。,(2)工程技術中所遇到的函數(shù)大部分是存在拉氏變換的。,(3)如果f (t)為指數(shù)級函數(shù)，則其增長指數(shù)不唯一。,三、關于拉氏變換的積分下限問題,2.2 拉氏變換的基本公式和性質(zhì),一、常用函數(shù)的拉氏變換公式,當m為正整數(shù)時，有,注函數(shù)具有如下的遞推公式,當m是正整數(shù)時，,(9)設 是0，+)上的周期為T的函數(shù)，即,則 的拉氏變換為,二、拉氏變換的性質(zhì),設 則有,(1) 線性性質(zhì)（設、為常數(shù)）,（2）位移性質(zhì)（設a為常數(shù)）,（3）延遲性質(zhì),若t0時 ，則對任一非負實數(shù) 有,亦可寫為,注 中的 意味著 （當 時）,只有此式成立時才能使用延遲性質(zhì)，這一點容易被忽略，因而造成錯誤，為了避免出現(xiàn)這種錯誤。故將延遲性質(zhì)寫為(2.2.16)式的形式。,(4)微分性質(zhì),特別地，當初值 時，有,(5)積分性質(zhì),推論,(6)象函數(shù)微分性質(zhì),一般地，有,(7)象函數(shù)積分性質(zhì),若積分 收斂，則,一般地，有,注由象函數(shù)的積分性質(zhì)得 即,(8)卷積定理,注付氏變換中的卷積定理包含兩個公式，而拉氏變換中卷積定理只含一個公式。,(9)初值定理,若 存在，則,(10)終值定理,若 的所有奇點全在