積分變換 課件

1、積分變換,第一章 付里葉變換,第二章 拉普拉斯變換,1.1 付氏積分,1.2 付氏變換,1.3 付氏變換的公式和性質(zhì),1.4 卷積與相關(guān)函數(shù),2.1 拉普拉斯變換的概念,2.2 拉氏變換的基本公式和性質(zhì),2.3 拉氏逆變換,2.4 拉氏變換的應(yīng)用,(一)付氏級(jí)數(shù),稱(chēng)實(shí)系數(shù)R上的實(shí)值函數(shù) f（t） 在閉區(qū)間a,b,上滿足狄利克萊（DirichL et）條件，如果它滿足條件：, 在a,b上或者連續(xù)，或者只有有限個(gè)第一 類(lèi)間斷點(diǎn)；, f（t）在a,b上只有有限個(gè)極值點(diǎn)。,1.1 付氏積分,第一章 付里葉變換,從T為周期的周期函數(shù)fT(t)，如果在 上滿足狄利克雷條件，那么在 上fT(t)可以展成付氏

2、級(jí)數(shù)，在fT(t)的連續(xù)點(diǎn)處，級(jí)數(shù)的三角形成為,其中 稱(chēng)為頻率，頻率對(duì)應(yīng)的周期T與fT(t)的周期相同，因而稱(chēng)為基波頻率，n稱(chēng)為fT(t)的n次諧波頻率。,(二)付氏級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式,在fT(t)的間斷點(diǎn)t0處，式(1.1.1)的左端代之為,付氏積分定理 若f (t)在(-，+)上滿足下列條件：,注 非周期函數(shù)滿足付氏積分定理的條件1，才能保證函數(shù)在任意有限區(qū)間上能展為付氏級(jí)數(shù)。滿足付氏積分定理的第2條,才能保證 存在。,1.2 付氏變換,例 1 求矩形脈沖函數(shù) 的付氏變換及其積分表達(dá)式。,t,(二)尤拉公式及尤拉公式推出的幾個(gè)公式,2.2 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換,在物理和工程技術(shù)中, 常常

3、會(huì)碰到單位脈沖函數(shù). 因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), 如在電學(xué)中, 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后產(chǎn)生的電流; 在力學(xué)中, 要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等. 研究此類(lèi)問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).,在原來(lái)電流為零的電路中, 某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t). 以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù), 則,當(dāng)t0時(shí), i(t)=0, 由于q(t)是不連續(xù)的, 從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下, q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.,如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù), 則得,這表明在通常意義下的函數(shù)類(lèi)中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度. 為了確定

4、這樣的電流強(qiáng)度, 引進(jìn)一稱(chēng)為狄拉克(Dirac)的函數(shù), 簡(jiǎn)單記成d-函數(shù):,有了這種函數(shù), 對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量, 例如點(diǎn)電荷, 點(diǎn)熱源, 集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, 以統(tǒng)一的方式加以解決.,（在極限與積分可交換意義下）,工程上將d-函數(shù)稱(chēng)為單位脈沖函數(shù)。,可將d-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段表示, 這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示d-函數(shù)的積分值, 稱(chēng)為d-函數(shù)的強(qiáng)度.,d-函數(shù)有性質(zhì)：,可見(jiàn)d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實(shí)軸上的積分都有明確意義。,(三)函數(shù)及其付氏變換,1.函數(shù)的定義,(1)(狄拉克)滿足一列兩個(gè)條件的函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)。,d

5、-函數(shù)的傅氏變換為:,于是d (t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì).,證法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆變換可得,例1 證明：1和2pd (w)構(gòu)成傅氏變換對(duì).,證法1：,3.函數(shù)在積分變換中的作用,(1)有了函數(shù)，對(duì)于點(diǎn)源和脈沖量的研究就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣，以統(tǒng)一的方式來(lái)對(duì)待。 (2)盡管函數(shù)本身沒(méi)有普通意義下的函數(shù)值，但它與任何一個(gè)無(wú)窮次可做的函數(shù)的乘積在(-,+)上的積分都有確定的值。 (3)函數(shù)的付氏變換是廣義付氏變換，許多重要的函數(shù)，如常函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等是不滿足付氏積分定理中的絕對(duì)可積條件的(即 不存在)，這些函數(shù)的廣義付氏變換都可以

6、利用函數(shù)而得到。,由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得,這種頻譜圖稱(chēng)為離散頻譜，也稱(chēng)為線狀頻譜,(四)付氏變換的物理意義頻譜,1.非正弦的周期函數(shù)的頻譜,例4 求正弦函數(shù)f (t)=sinw0t的傅氏變換。,(一)常用函數(shù)付里葉變換公式,1.3 付氏變換的公式和性質(zhì),例 5 證明：,證：,(三)付氏變換的性質(zhì),1線性性質(zhì)。,2位移性質(zhì),該性質(zhì)在無(wú)線電技術(shù)中也稱(chēng)為時(shí)移性質(zhì)。,3對(duì)稱(chēng)性質(zhì),4相似性質(zhì),5象函數(shù)的位移性質(zhì),象函數(shù)的位移性質(zhì)在無(wú)線電技術(shù)中也稱(chēng)為頻移性質(zhì)。,6.翻轉(zhuǎn)性質(zhì),7.微分性質(zhì),若f 在 上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn),且當(dāng) 時(shí)， ，則,推論 若 （k=1,2,n）在 上連 續(xù)或只有有限個(gè)可去間

7、斷點(diǎn)，且 =0，k=0,1,2,(n-1), 則有,8.象函數(shù)的微分性質(zhì),若 ，則,一般地，有,若當(dāng) 時(shí)， = ,則,如果 ，則,9.積分性質(zhì),其中,10.象函數(shù)的積分性質(zhì),若 ，則,11.乘積定理,若 ， ，則,其中 ， 均為t的實(shí)函數(shù)， 、 分別為 、 的共軛函數(shù)。,12.能量積分,若 ，則,該等式又稱(chēng)為巴塞瓦等式。,13.卷積定理,設(shè) ， 滿足付氏積分定理中的條件， 且 ， ，則,1.4 卷積與相關(guān)函數(shù),二、卷積的性質(zhì),(二)積分變換的運(yùn)用,例 求微分積分方程,運(yùn)用微分性質(zhì)及積分性質(zhì),求解方程,由微分性質(zhì)，有,求下面方程的解, 其中t+, a,b,c均為常數(shù).,根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積

8、分性質(zhì), 且記F x(t)=X(w), F h(t)=H(w).在方程兩邊取傅氏變換, 可得,第二章 拉普拉斯變換,2.1 拉普拉斯變換的概念,一、拉氏變換和拉氏逆變換的定義,稱(chēng) 為 的拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏變換）或象函數(shù)，記為 ，即,又稱(chēng) 為 的拉普拉斯逆變換（簡(jiǎn)稱(chēng)為拉氏逆變換）或象原函數(shù)，記 即,二、拉氏變換的存在定理,拉氏變換存在定理 設(shè)函數(shù)f (t)滿足下列條件：,關(guān)于拉氏變換存在定理，做如下的幾點(diǎn)說(shuō)明： (1)從物理應(yīng)用觀點(diǎn)來(lái)看，條件2、3都是容易滿足的。實(shí)用上所考察的物理過(guò)程，往往是用時(shí)間函數(shù)來(lái)描述的，并且是從某一時(shí)刻開(kāi)始，因此可以選這時(shí)刻為t=0，在此以前情況則不加考慮。例如si

9、nt，若要對(duì)它進(jìn)行拉氏變換則應(yīng)把它理解為sintu(t)。,(2)工程技術(shù)中所遇到的函數(shù)大部分是存在拉氏變換的。,(3)如果f (t)為指數(shù)級(jí)函數(shù)，則其增長(zhǎng)指數(shù)不唯一。,三、關(guān)于拉氏變換的積分下限問(wèn)題,2.2 拉氏變換的基本公式和性質(zhì),一、常用函數(shù)的拉氏變換公式,當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)，有,注函數(shù)具有如下的遞推公式,當(dāng)m是正整數(shù)時(shí)，,(9)設(shè) 是0，+)上的周期為T(mén)的函數(shù)，即,則 的拉氏變換為,二、拉氏變換的性質(zhì),設(shè) 則有,(1) 線性性質(zhì)（設(shè)、為常數(shù)）,（2）位移性質(zhì)（設(shè)a為常數(shù)）,（3）延遲性質(zhì),若t0時(shí) ，則對(duì)任一非負(fù)實(shí)數(shù) 有,亦可寫(xiě)為,注 中的 意味著 （當(dāng) 時(shí)）,只有此式成立時(shí)才能使用延遲性質(zhì)，這一點(diǎn)容易被忽略，因而造成錯(cuò)誤，為了避免出現(xiàn)這種錯(cuò)誤。故將延遲性質(zhì)寫(xiě)為(2.2.16)式的形式。,(4)微分性質(zhì),特別地，當(dāng)初值 時(shí)，有,(5)積分性質(zhì),推論,(6)象函數(shù)微分性質(zhì),一般地，有,(7)象函數(shù)積分性質(zhì),若積分 收斂，則,一般地，有,注由象函數(shù)的積分性質(zhì)得 即,(8)卷積定理,注付氏變換中的卷積定理包含兩個(gè)公式，而拉氏變換中卷積定理只含一個(gè)公式。,(9)初值定理,若 存在，則,(10)終值定理,若 的所有奇點(diǎn)全在