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1、12.3角平分線的性質(zhì)(一),角平分線的定義:,從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的角,C,平分線。,C,AOC =BOC,AOB =2AOC =2BOC,角平分線,在ADC和 ABC中,,AD= AB,AC=AC,DC=BC,ADC ABC,(SSS), DAE=DAE,=,=,尺規(guī)作圖,已知:AOB,如圖. 求作:射線OC,使AOC=BOC. 作法:,用尺規(guī)作角的平分線.,1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.,2.分別以點(diǎn)D和E為圓心,以大于DE/2長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在 AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.,3.作射線OC.,請(qǐng)你說(shuō)明OC為什么是AOB的平分線,并與
2、同伴進(jìn)行交流.,老師提示: 作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實(shí)掌握.,則射線OC就是AOB的平分線.,角平分線有什么性質(zhì)呢? OC是AOB的平分線,點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn),,1. 操作測(cè)量:取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置,分別過(guò)點(diǎn)P作PDOA,PE OB,點(diǎn)D、E為垂足,測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表:,2. 觀察測(cè)量結(jié)果,猜想線段PD與PE的大小關(guān)系, 寫出結(jié)論:_,C,O,B,A,PD=PE,角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn) 到角的兩邊的距離相等,題設(shè):一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上,結(jié)論:它到角的兩邊的距離相等,已知:OC是AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD OA ,PE OB,
3、垂足分別是D、E. 求證:PD=PE.,結(jié)論:,C,已知:AOC= BOC ,點(diǎn)P在OC上,PDOA于D, PEOB于E,求證: PD=PE,P,C, PDOA,PEOB,證明:, PDO= PEO= 90,在POD和PEO中, PDOPEO(AAS), PDOPEO AOCBOC OP=OP, PDPE,OC是AOB的平分線, 且PDOA,PEOB PD=PE (角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等),幾何語(yǔ)言:,角平分線性質(zhì): 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。,4,例1:如圖,在ABC中,C900,AD平分BAC交BC于點(diǎn)D,若BC8,BD5,則點(diǎn)D到AB的距離為?,例題講解,E,例2
4、:如圖,ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證:點(diǎn)P到三角形三邊的距離均相等。,E,F,G,M,N,例題講解,例3:在OAB中,OE是 AOB的角平分線,且EA=EB,EC、ED分別垂直O(jiān)A,OB,垂足為C,D,求證:AC=BD。,例題講解,1、如圖,OC平分AOB, PMOB于點(diǎn)M, PNOA于點(diǎn)N, POM的面積為6,OM=6,則PN=_。,2,練習(xí),2、如圖:ABC中, C=900,AD是BAC的平分線,DEAB于E,F(xiàn)在AC上,BD=DF,求證:CF=EB,練習(xí),3、如圖,ABC中,C=90,AC=CB,AD為BAC的平分線,DEAB于點(diǎn)E。 求證:DBE的周長(zhǎng)等于AB。,A,B,C,D,E,練習(xí),B,如圖所示OC是AOB 的平分線,P 是OC上任意一點(diǎn),問(wèn)PE=PD?為什么?,PD,PE沒(méi)有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等.,如圖,為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展,某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?,思考題,練習(xí)1:如圖,的的外角的平分線與的外角的平分線相交于點(diǎn)求證:點(diǎn)到三邊,所在直線的距離相等,F,G,H,練習(xí)2: 如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到AOB的兩邊的距離相等.,P,如圖,在
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