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文檔簡介

1、必修 11.1.1集合的含義與表示(一)引入課題 今天我們學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的第一章集合與函數(shù),初中我們就學(xué)習(xí)過函數(shù),高中我們將在集合的背景下重新學(xué)習(xí)函數(shù),所以我們從今天開始先學(xué)習(xí)集合,(板書)下面請咱班的全體同學(xué)把課本翻到第二頁,在這里,咱班的全體同學(xué)就構(gòu)成了一個集合。小學(xué)和初中我們已經(jīng)接觸過一些集合,例如,自然數(shù)的集合,不等式解的集合,平面內(nèi)到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合。那么集合的含義是什么呢?閱讀課本P2-5內(nèi)容,附加(9)我國的小河流;(10)全班成績好的學(xué)生其中(1)-(8)都是把一些確定的元素組成的總體叫集合,而(9),(10)其研究對象含糊不清,不明確,不能作為一個集合二、新課

2、教學(xué)1,集合的有關(guān)概念一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,一些元素組成的總體叫集合,也簡稱集。 比如說咱們班全體同學(xué)構(gòu)成了一個集合,其元素是每一位同學(xué)。 同學(xué)們舉例-2,關(guān)于集合的元素的特征教室內(nèi)帥氣的男生能否構(gòu)成一個集合?確定性:設(shè)A是一個給定的集合,x是某一個具體對象,則或者是A的元素,或者不是A的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立。今天上了哪些課程?今天數(shù)學(xué)是聯(lián)排課,數(shù)學(xué)用不用說兩遍?互異性:一個給定集合中的元素,指屬于這個集合的互不相同的個體(對象),因此,同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素。咱班的同學(xué)按照姓氏筆畫排列一遍,再按照年齡大小排列一遍,是不是同一個集合?無序性:給定一個集合與集

3、合里面元素的順序無關(guān)。練習(xí):判定是否是集合?(1) 方程x*2-2x+1=0的解集(2)魯迅,上海說明:其中前兩個性質(zhì)作為集合的判定定理3,元素與集合的關(guān)系;(1)如果a是集合A的元素,就說a屬于A,記作:aA(2)如果a不是集合A的元素,就說a不屬于A,記作:aA會不會有第三種關(guān)系,即不確定屬于不屬于?(確定性)例如,我們A表示“120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合,則有3A,4A,等等。4集合與元素的字母表示: 集合通常用大寫的拉丁字母A,B,C表示;集合的元素用小寫的拉丁字母a,b,c,表示。5常用的數(shù)集及記法:非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集),記作N;(自然英文首字母)正整數(shù)集,記作N*或N+;整

4、數(shù)集,記作Z;(zheng)有理數(shù)集,記作Q;(QQ交朋友)實(shí)數(shù)集,記作R;(真實(shí)的英文首字母)區(qū)分有理數(shù),無理數(shù):有理數(shù):整數(shù),分?jǐn)?shù),小數(shù),無限循環(huán)小數(shù)無理數(shù):無限不循環(huán)小數(shù),典型代表,e6,我們可以用自然語言來描述一個集合,比如說“四大洋”,這個集合有幾個元素?元素個數(shù)比較少,我們可以一一列舉出來,這就是集合的表示方法之一,列舉法,再比如2,4,6,7這四個數(shù)構(gòu)成的集合,用自然語言描述不好描述,用列舉法就很簡單,下面我們看看列舉法的一般的書寫格式列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,并用花括號“”括起來表示集合的方法叫列舉法。如:1,2,3,4,5,x2,3x+2,5y3-x,x2+y2,;

5、例1(課本例1)用列舉法表示下列集合:(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合;(2)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合;(3)由1到20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合;(4)方程組的解組成的集合說明:1集合中的元素具有無序性,所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序。2各個元素之間要用逗號隔開;3元素不能重復(fù); 4集合中的元素可以數(shù),點(diǎn),代數(shù)式等;5對于含有較多元素的集合,用列舉法表示時,必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號, 象自然數(shù)集用列舉法表示為6,實(shí)數(shù)集,R也是錯誤的,這里的 已包含“所有”的意思。思考:你能用列舉法表示不等式x-73的解集嗎?無法用列舉法(元素個數(shù)無限多,而且不容易寫出規(guī)

6、律加省略號),但是這些元素共同的性質(zhì)很容易概括,x2,(x,y)|y=x2+1,x直角三角形,;例2(課本例2)試分別用列舉法和描述法表示下列集合:(1)方程x22=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合;(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合;(3)方程組的解。描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素,如(x,y)|y= x2+3x+2與 y|y= x2+3x+2, x|y= x2+3x+2, y/3|y= x2+3x+2是不同的集合,探究:課本P5最后一段話;生活的的例子適合用自然語言,比如說我們班的全體同學(xué),元素個數(shù)有限且較少更適合列舉法,元素個數(shù)多或則無法一一列舉適合但共同屬性很容易概括適用于描述法

7、歸納小結(jié):1-6提升:集合是高中數(shù)學(xué)的一個重要平臺,學(xué)好集合基本知識,為我們在這個平臺上施展抱負(fù)做好準(zhǔn)備。1.1.2集合間的基本關(guān)系一、復(fù)習(xí)回顧:1.提問:集合的兩種表示方法? 如何用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?(1)10以內(nèi)3的倍數(shù); (2)1000以內(nèi)3的倍數(shù)2.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?0 N; Q; -1.5 R。思考1:類比實(shí)數(shù)的大小關(guān)系,如57,22,試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢?二、新課教學(xué)比較下面幾個例子,試發(fā)現(xiàn)兩個集合之間的關(guān)系:(1),;(2),;(3), 由學(xué)生通過觀察得結(jié)論。1 子集的定義:對于兩個集合A,B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,我們說這兩個集合有

8、包含關(guān)系,稱集合A是集合B的子集。 記作: 讀作:A包含于B,或B包含A當(dāng)集合A不包含于集合B時,記作用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系:B A 如:(1)中 2 集合相等定義:如果A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,則集合A與集合B中的元素是一樣的,因此集合A與集合B相等,即若,則。(可以類比兩個實(shí)數(shù)相等) 如(3)中的兩集合。(相等,子集兩種寫法都對)3 真子集定義:若集合,但存在元素,則稱集合A是集合B的真子集。記作:A B(或B A) 讀作:A真包含于B(或B真包含A) 如:(1)和(2)中A B,C D;(子集,真子集兩種寫法都對)探究A是B的子集可能包含了什么情況?4

9、空集定義:方程x*2+1=0的解集?你還能舉出不含任何元素的集合嗎?不含有任何元素的集合稱為空集,記作:。5 幾個重要的結(jié)論:(1) 空集是任何集合的子集;(2) 空集是任何非空集合的真子集;(3) 任何一個集合是它本身的子集;(4) 對于集合A,B,C,如果,且,那么。(5) 例3,練習(xí)1, 注意:1)分類討論要不重不漏,有邏輯性,可以按照元素的個數(shù)分類,2) 歸納法有猜想的成分,不嚴(yán)謹(jǐn),我們學(xué)習(xí)了排列組合可以嚴(yán)謹(jǐn)證明應(yīng)用:(1,2)真含于A含于(1,2,3,4,5)求滿足條件的集合A的個數(shù) 變式:(1,2)真含于A含于(1,2,3,4,5,6,7)課本P7練習(xí)2,3注意:集合與元素是“屬于

10、”“不屬于”的關(guān)系,集合與集合是“包含于”“不包含于”的關(guān)系;歸納小結(jié):本節(jié)課從實(shí)例入手,非常自然貼切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符號;并用Venn圖直觀地把這種關(guān)系表示出來;注意包含與屬于符號的運(yùn)用。提升:集合已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩節(jié)課,學(xué)習(xí)了不少概念,集合是數(shù)學(xué)的基本語言,同學(xué)們現(xiàn)在好比是牙牙學(xué)語的幼兒,希望同學(xué)們理解并記牢,快速成長!1.1.3集合的基本運(yùn)算一、復(fù)習(xí)回顧:1已知A=1,2,3,S=1,2,3,4,5,則A S;x|xS且xA= 。2用適當(dāng)符號填空:0 0; 0 ; x|x10,xR 0 x|x5; x|x6 x|x5 ; x|x3 x2同學(xué)們兩個實(shí)數(shù)之間有四則運(yùn)算,兩個集

11、合之間是否也有類似運(yùn)算嗎?二、新課教學(xué)思考:考察下列集合,說出集合C與集合A,B之間的關(guān)系:(1),;(2),;由學(xué)生通過觀察得結(jié)論。1并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做集合A與集合B的并集(union set)。記作:AB(讀作:“A并B”),即 用Venn圖表示: 這樣,在問題(1)(2)中,集合A,B的并集是C,即 = C說明:定義中要注意“所有”和“或”這兩個條件。課本例4,例5例5,數(shù)軸求并集1)畫線高低錯落,2)空心實(shí)心毫不含糊,3)求并有線就行討論:AB與集合A、B有什么特殊的關(guān)系?AA , A , AB BAABA , ABB .引入:1,

12、(2,4,6,8,10)(3,5,8,12)(8) 2,女同學(xué),高一學(xué)生,高一女同學(xué)2交集的定義:一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,叫作集合A、B的交集(intersection set),記作AB(讀“A交B”)即:ABx|xA,且xB用Venn圖表示:(陰影部分即為A與B的交集) 鞏固練習(xí)(口答):A3,5,6,8,B4,5,7,8,則AB ;A等腰三角形,B直角三角形,則AB ; Ax|x3,Bx|x0時,值域;當(dāng)a0時,值域。 (3)反比例函數(shù)的定義域是,值域是。(二)區(qū)間及寫法:設(shè)a、b是兩個實(shí)數(shù),且a5、x|x-1、x|x0(學(xué)生做,教師訂正)(3) 例題講解:

13、例1:求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示)1 f(x)=; f(x)=; f(x)=;學(xué)生試求訂正小結(jié):定義域求法(分式、根式、組合式)說明:求定義域步驟:列不等式(組) 解不等式(組)寫成集合或區(qū)間例2,已知函數(shù),求f(0)、f(a)、f(2a+1)、f(x-1)、f(g(x)的值。 說明:秘訣:整體打包代入例3(課本P18例2)下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等?(1); (2);(3); (4) 。說明:相同三要素完全相同,不同一個要素不同就不同。探究:三要素是有關(guān)系的,我們是否可以判定兩要素相同就說是同一個函數(shù)?總結(jié):函數(shù)的定義提升:從初中函數(shù)的概念到高中函數(shù)的概念,我們在更高的平臺上對函數(shù)有

14、了進(jìn)一步的了解,好比同學(xué)們的學(xué)習(xí),一個又一個臺階,不斷進(jìn)步!1.2.2函數(shù)的表示法一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備:1提問:函數(shù)的概念?函數(shù)的三要素? 2討論:初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)三種表示方法?試舉出日常生活中的例子說明.二、講授新課:(一)函數(shù)的三種表示方法:結(jié)合課本P15 給出的三個實(shí)例,說明三種表示方法的適用范圍及其優(yōu)點(diǎn):解析法:就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,如1.2.1的實(shí)例(1); 優(yōu)點(diǎn):簡明扼要;給自變量求函數(shù)值。圖象法:就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,如1.2.1的實(shí)例(2); 優(yōu)點(diǎn):直觀形象,反映兩個變量的變化趨勢。列表法:就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,如1.2.1的實(shí)

15、例(3); 優(yōu)點(diǎn):不需計算就可看出函數(shù)值,如股市走勢圖; 列車時刻表;銀行利率表等。例1(課本P19 例3)某種筆記本的單價是2元,買x (x1,2,3,4,5)個筆記本需要y元試用三種表示法表示函數(shù)y=f(x) 例2:(課本P20 例4)下表是某校高一(1)班三位同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲988791928895乙907688758680丙686573727582班平均分882783854803757826請你對這三們同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分析(二)分段函數(shù)的教學(xué):分段函數(shù)的定義:在函數(shù)的定義域內(nèi),對于自變量x的不同

16、取值范圍,有著不同的對應(yīng)法則,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù),如以下的例3的函數(shù)就是分段函數(shù)。說明:(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù),處理分段函數(shù)問題時,首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪個區(qū)間段,從而選取相應(yīng)的對應(yīng)法則;畫分段函數(shù)圖象時,應(yīng)根據(jù)不同定義域上的不同解析式分別作出;(2)分段函數(shù)只是一個函數(shù),只不過x的取值范圍不同時,對應(yīng)法則不相同。例3:(課本P21 例6)某市“招手即?!惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定:(1)5公里以內(nèi)(含5公里),票價2元;(2)5公里以上,每增加5公里,票價增加1元(不足5公里的俺公里計算)。如果某條線路的總里程為20公里,請根據(jù)題意,寫出票價與里程之間的函數(shù)解

17、析式,并畫出函數(shù)的圖象。例4 已知f(x),求f(0)、ff(-1)的值導(dǎo)入:對比函數(shù)的定義函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng),若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”,按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系,即映射。(三) 映射的概念教學(xué):定義:一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)為從集合A到集合B的一個映射。記作:討論:映射有哪些對應(yīng)情況?一對多是映射嗎?例1(課本P22例7)以下給出的對應(yīng)是不是從A到集合B的映射?(1) 集合A=P | P是數(shù)軸上的點(diǎn)

18、,集合B=R,對應(yīng)關(guān)系f:數(shù)軸上的點(diǎn)與它所代表的實(shí)數(shù)對應(yīng);(2) 集合A=P | P是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),B= ,對應(yīng)關(guān)系f: 平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的坐標(biāo)對應(yīng);(3) 集合A=x | x是三角形,集合B=x | x是圓,對應(yīng)關(guān)系f:每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓;(4) 集合A=x | x是新華中學(xué)的班級,集合B=x | x是新華中學(xué)的學(xué)生,對應(yīng)關(guān)系:每一個班級都對應(yīng)班里的學(xué)生。例2設(shè)集合A=a,b,c,B=0,1 ,試問:從A到B的映射一共有幾個?并將它們分別表示出來。(四)、歸納小結(jié):本節(jié)課歸納了函數(shù)的三種表示方法及優(yōu)點(diǎn);講述了分段函數(shù)概念;了解了函數(shù)的圖象可以是一些離散的點(diǎn)、線段、曲

19、線或射線。1.3.1單調(diào)性與最大(?。┲?1、 復(fù)習(xí)準(zhǔn)備:下圖是神州號飛船飛行的高度關(guān)于時間的圖像問題1,是定義在t0,8的函數(shù)圖像嗎?問題2,觀察函數(shù)圖像,你能了解神州號飛船的飛行規(guī)律嗎?上升下降,最高最低點(diǎn)這就是我們本節(jié)課要學(xué)習(xí)的兩個方面,單調(diào)性與最值(寫課題)引導(dǎo)1,在t0,2上圖像是如何變化的?上升的引導(dǎo)2,圖像是上升的,很好的感性的認(rèn)識,但一般不會作為嚴(yán)格的官方定義,如何定義呢?隨著x的變大y變大引導(dǎo)3,隨著x的變大y變大,也就是說如果x1x2時,則有f(x1)f(x2),這就是增函數(shù)的定義定義增函數(shù):設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x

20、1,x2,當(dāng)x1x2時,都有f(x1)0時, ;根式是能表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式 ,當(dāng)被開方的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時根式是否也能表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式? .這樣規(guī)定的合理性?使得理論體系得以推廣健全。定義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:規(guī)定;隨堂練習(xí):A.將下列根式寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式:; B. 求值 ; ; ; .討論:0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪? 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪?指出:規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):; ; 教學(xué)例題:(1)、(P51,例2)解: , ,總結(jié):有兩種思路:1)直接將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化成根式。但這樣做有時比

21、較麻煩,如。2)把底數(shù)先寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,這樣新老冪之間可能約分化簡,較好?。?)、(P51,例3)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式(0)解:, (3)(P52例5)計算下列各式(1)(2)0)無理指數(shù)冪的教學(xué)的結(jié)果?定義:無理指數(shù)冪.(結(jié)合教材P58利用逼近的思想理解無理指數(shù)冪意義)無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)?歸納小結(jié):1根式的概念:若n1且,則為偶數(shù)時,;2 掌握兩個公式:3 根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化。提升:指數(shù)冪的推廣完善:整數(shù)(初中)有理數(shù)實(shí)數(shù),理論體系就像一顆種子一樣慢慢的生根發(fā)芽開花結(jié)果!2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備:1. 提問:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是怎樣定

22、義的?2. 提問:有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則可歸納為幾條?講新課之前我想提一個一直困擾我的拉面問題,21=2,22=4,23=8,24=16,25=32-實(shí)際上就是一個函數(shù)關(guān)系,大約拉4,5次就可以了,正是這個函數(shù)把我從人生的困惑中解脫出來,這就是我們今天指數(shù)函數(shù)。2、 講授新課:舉例:生活中其它指數(shù)模型?A細(xì)胞分裂時,第一次由1個分裂成2個,第2次由2個分裂成4個,第3次由4個分裂成8個,如此下去,如果第x次分裂得到y(tǒng)個細(xì)胞,那么細(xì)胞個數(shù)y與次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是什么?B一種放射性物質(zhì)不斷變化成其他物質(zhì),每經(jīng)過一年的殘留量是原來的84,那么以時間x年為自變量,殘留量y的函數(shù)關(guān)系式是什么?討論:上面的

23、兩個函數(shù)有什么共同特征?底數(shù)是什么?指數(shù)是什么?定義:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential function),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R.討論:為什么規(guī)定0且1呢?否則會出現(xiàn)什么情況呢?討論:你能類比前面討論函數(shù)性質(zhì)時的思路,提出研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容和方法嗎?研究方法:畫出函數(shù)的圖象(有圖有真相),結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì) 研究內(nèi)容:定義域、值域、特殊點(diǎn)、單調(diào)性、最大(?。┲?、奇偶性如何做出一個新函數(shù)的圖像?描點(diǎn)法或者圖像變換作圖:在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)圖象: (師生共作小結(jié)作法)函數(shù)與的圖象有什么關(guān)系?如何由的圖象畫出的圖象?根據(jù)兩函數(shù)的圖象的特征,歸納出這兩個指數(shù)函

24、數(shù)的性質(zhì). 變底數(shù)為3或1/3等后?根據(jù)圖象歸納:指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) (書P56)0a1定義域值域單調(diào)性奇偶性定點(diǎn)圖像位置關(guān)系3、例題講解例1:(P56 例6)已知指數(shù)函數(shù)(0且1)的圖象過點(diǎn)(3,),求例2:(P56例7)比較下列各題中的個值的大?。?)1.72.5 與 1.73( 2 )與( 3 ) 1.70.3 與 0.93.1總結(jié):比較大小的常見方法:做差,做商,單調(diào)性,中間量-教學(xué)指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用模型: 出示例1:我國人口問題非常突出,在耕地面積只占世界7%的國土上,卻養(yǎng)育著22%的世界人口因此,中國的人口問題是公認(rèn)的社會問題2000年第五次人口普查,中國人口已達(dá)到13億,年增長率約為1%

25、為了有效地控制人口過快增長,實(shí)行計劃生育成為我國一項基本國策()按照上述材料中的1%的增長率,從2000年起,x年后我國的人口將達(dá)到2000年的多少倍?()從2000年起到2020年我國的人口將達(dá)到多少? (師生共同讀題摘要 討論方法 師生共練 小結(jié):從特殊到一般的歸納法) 練習(xí): 2005年某鎮(zhèn)工業(yè)總產(chǎn)值為100億,計劃今后每年平均增長率為8%, 經(jīng)過x年后的總產(chǎn)值為原來的多少倍? 變式:多少年后產(chǎn)值能達(dá)到120億? 小結(jié)指數(shù)函數(shù)增長模型:原有量N,平均最長率p,則經(jīng)過時間x后的總量y=? 一般形式:涉及到指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用,形如(a0且1).歸納小結(jié)1、指數(shù)函數(shù)的定義2、指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)提

26、升:思想方法:分類討論,數(shù)形結(jié)合,這是高中數(shù)學(xué)較比重要的思想希望同學(xué)們能有所體會!而且展示了研究一個新學(xué)函數(shù)方法,這位我們以后的學(xué)習(xí)起到了示范作用。2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算 復(fù)習(xí)準(zhǔn)備:今天我們學(xué)習(xí)2.2,在2.1中我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。指數(shù)函數(shù)對于這兩節(jié)內(nèi)容我們簡單復(fù)習(xí)一下:問題1.X2=4,X=2?.X2=5,X=5?為什么X=5?這個方程的根X真實(shí)存在,但在有理數(shù)范圍內(nèi)是無解的,于是我們規(guī)定了n次方根的定義,從而就可以把這兩個解書寫出來,可以說就是為了解方程的需要人為發(fā)明的一個符號標(biāo)記。問題2。對于指數(shù)函數(shù),Y=8,X=?, Y=30,X=?, X存在嗎?唯一確定嗎?你能估

27、測其所在區(qū)間嗎?雖然方程的根唯一確定但我們現(xiàn)在是無法說出x等于什么,怎么辦?人為標(biāo)記一個符號,怎么標(biāo)記?同學(xué)們嘗試發(fā)明創(chuàng)造-,大家的創(chuàng)造能力很強(qiáng),和合理,但生不逢時,這個已經(jīng)被數(shù)學(xué)前輩發(fā)明了,16世紀(jì)蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾,發(fā)明了對數(shù),對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)歷史上的重大事件,天文學(xué)家,航海家為之欣喜若狂,恩格斯把對數(shù)的發(fā)明,解析幾何,微積分并稱17世紀(jì)數(shù)學(xué)的3大創(chuàng)造,伽利略說過,給我空間時間和對數(shù)我就能創(chuàng)造一個宇宙!定義:一般地,如果,那么數(shù) x叫做以a為底 N的對數(shù)(logarithm).記作 ,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù) 用定義說明: =30,X=?, 定義:我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用

28、對數(shù)(common logarithm),并把常用對數(shù)簡記為lgN 在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828為底的對數(shù),以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù),并把自然對數(shù)簡記作lnN 認(rèn)識:lg5 ; lg3.5; ln10; ln3練習(xí)課本例1.互化,添加兩題(7)lg(-1)= (8)lg0= (9)lg1= (10)lg10= 結(jié)論:負(fù)數(shù)與零沒有有對數(shù)?(原因:在指數(shù)式中 N 0 ), 例2-指數(shù)有哪些運(yùn)算律?對數(shù)也應(yīng)當(dāng)有自己的運(yùn)算律,如果我們發(fā)現(xiàn)將是對對數(shù)體系是重大完善! 引例: 由,如何探討和、之間的關(guān)系?設(shè), ,由對數(shù)的定義可得:M=,N= MN=MN=p+q,即得MN=M + N 探討:

29、根據(jù)上面的證明,能否得出以下式子?如果 a 0,a 1,M 0, N 0 ,則; ; 性質(zhì)的證明思路?(對數(shù)定義,用定義證明是證明的根本,學(xué)過了哪些?證明單調(diào)性,奇偶性)自然語言如何敘述三條性質(zhì)? 例1. 判斷下列式子是否正確,(0且1,0且1,0,),(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)例2( P65例3例4):用,表示出(1)(2)小題,并求出(3)、(4)小題的值.(1) (2) (3) (4)對數(shù)在生活中的應(yīng)用是很強(qiáng)的,看課本P66,我國人口問題達(dá)到18億的年份,如何求,這里是非特殊值需要計算機(jī),但問題來了,計算器上都是以10,e,為底的,所以我們需要把這個結(jié)果轉(zhuǎn)化成以10

30、或e,為底的。換底公式,查計算機(jī)算出本題。從計算器求對數(shù)這個角度可以看出換底公式的重要性。換底公式的推論:;接下來繼續(xù)見證對數(shù)的神奇:長沙馬王墓女尸出土?xí)r碳14的余含量約占原始量的76.7%,試推算古墓的年代?歸納小結(jié):對數(shù)的定義:0且1) 對數(shù)的性質(zhì)公式:提升:同學(xué)們本節(jié)課大家見證了對數(shù)的發(fā)明與發(fā)展,這個過程神奇但也入情入理,希望同學(xué)們在數(shù)學(xué)上投入興趣多做研究,將來也能成為一名偉大的數(shù)學(xué)家!2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備:對數(shù)的定義和運(yùn)算,對數(shù)是17世紀(jì)數(shù)學(xué)史的重大發(fā)明,恩格斯把對數(shù)的發(fā)明,解析幾何,微積分并稱17世紀(jì)數(shù)學(xué)的3大創(chuàng)造,伽利略說過,給我空間時間和對數(shù)我就能創(chuàng)造一個宇宙。

31、比如教材P73例,對每一個碳14的含量P的取值,通過對應(yīng)關(guān)系,生物死亡年數(shù)t都有唯一的值與之對應(yīng),從而t是關(guān)于P的函數(shù),這個函數(shù)在考古年代斷定上有無以倫比的作用,這個函數(shù)就是今天要學(xué)習(xí)的對數(shù)函數(shù)。二、講授新課:定義:一般地,當(dāng)a0且a1時,函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)(logarithmic function).自變量是x; 函數(shù)的定義域是(0,+)探究:你能類比前面討論指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路,提出研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容和方法嗎?研究方法:畫出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì)研究內(nèi)容:定義域、值域、特殊點(diǎn)、單調(diào)性、最大(?。┲怠⑵媾夹匀绾巫龀鲆粋€新函數(shù)的圖像?描點(diǎn)法,圖像變換同一坐標(biāo)系中畫出下列對數(shù)函數(shù)的圖

32、象 ;(可以通過將得到關(guān)于X軸對稱)根據(jù)圖象,你能歸納出對數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)? 0a1定義域值域單調(diào)性奇偶性定點(diǎn)圖像位置關(guān)系例1:(P71例7)求下列函數(shù)的定義域(1) (2) (0且1)例2. (P72例8)比較下列各組數(shù)中的兩個值大?。?) (2)(3) (0,且1)例3. (P72例9):溶液酸堿度的測量問題:溶液酸堿度pH的計算公式,其中表示溶液中氫離子的濃度,單位是摩爾/升. ()分析溶液酸堿讀與溶液中氫離子濃度之間的關(guān)系? ()純凈水摩爾/升,計算純凈水的酸堿度.總結(jié):用函數(shù)思想解決實(shí)際應(yīng)用問題的步驟:第一步:抽象出的函數(shù)模型。(建函數(shù))(本題是直接給出函數(shù)) 第二步:如何應(yīng)用函數(shù)模

33、型解決問題?(用函數(shù))(單調(diào)性,由X求Y) 第三步:匯報實(shí)際結(jié)論。(跳出函數(shù))過度:PH值分別是8,9,10求對應(yīng)的氫離子的濃度,分別將函數(shù)值代入8,9,10再指對互化分別求出自變量,但這樣運(yùn)算有重復(fù)的嫌疑,指對互化了3次,我們可以先指對互化得到一個新函數(shù),對于這個新函數(shù)的自變量分別代入8,9,10這樣會簡單些。原函數(shù):PH值關(guān)于氫離子濃度的函數(shù),新函數(shù):氫離子濃度關(guān)于PH值的函數(shù)這兩個函數(shù)有什么變化?自變量和因變量顛倒。這就是我們下面要學(xué)習(xí)的反函數(shù)當(dāng)一個函數(shù)是一一映射時, 可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新函數(shù)的自變量, 而把這個函數(shù)的自變量新的函數(shù)的因變量. 我們稱這兩個函數(shù)為反函數(shù)(inv

34、erse function)如何由求出它的反函數(shù)? y=2x-1?函數(shù)由解出,是把指數(shù)函數(shù)中的自變量與因變量對調(diào)位置而得出的. 習(xí)慣上我們通常用x表示自變量,y表示函數(shù),即寫為.那么我們就說指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出上面兩對互為反函數(shù)的圖象,發(fā)現(xiàn)什么性質(zhì)?關(guān)于y=x對稱。為什么?例1、求下列函數(shù)的反函數(shù)(1) (2)(師生共練 小結(jié)步驟:解x ;交換x,y;定義域)類比:原函數(shù)(漢獻(xiàn)帝掌權(quán))反解x (曹操挾天子以令諸侯);交換x,y(曹操稱帝,當(dāng)然曹操自己沒有稱帝)例2、己知函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,3)其反函數(shù)的圖象過(2,0)點(diǎn),求的表達(dá)式.歸納小結(jié):對數(shù)函數(shù)的概

35、念、圖象和性質(zhì); 反函數(shù)的含義提升:指對函數(shù)是高中最先學(xué)的兩個基本初等函數(shù),它們關(guān)于Y=X對稱,(畫門形圖),走進(jìn)這扇門將正式進(jìn)入高中函數(shù)的學(xué)習(xí)!2.3冪函數(shù)新課引入:(1)邊長為的正方形面積,這里是的函數(shù);(2)面積為的正方形邊長,這里是的函數(shù);(3)邊長為的立方體體積,這里是的函數(shù);(4)某人內(nèi)騎車行進(jìn)了1,則他騎車的平均速度,這里是的函數(shù);(5)購買每本1元的練習(xí)本本,則需支付元,這里是的函數(shù). 觀察上述五個函數(shù),有什么共同特征?(指數(shù)定,底變) 給出定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù).冪函數(shù)和我們學(xué)習(xí)過的什么函數(shù)相似度較高?指數(shù)函數(shù)。區(qū)別是什么?指數(shù):底定指變,冪:指定底變

36、。 練:判斷在函數(shù)y=x3(是),y=3x(不是),y=3x2(不是),y=x2+x3(不是),y=1/x(是),y=x0(是),y=1(不是)中,哪幾個函數(shù)是冪函數(shù)?用定義嚴(yán)格判斷。只要形如這種形式的就是冪函數(shù),參數(shù)a可以取任何值。在這里我們也可以看出冪函數(shù)的多樣性,y=1/x,y=x,y=x2,圖像差別較大。如何研究冪函數(shù)?可類比指對函數(shù)研究的方式:函數(shù)定義有了,下一步有圖有真相,通過描點(diǎn)法出圖像,但由于圖像的多樣性,每個冪函數(shù)的類比性不強(qiáng),借鑒意義不算大,每個冪函數(shù)都要描點(diǎn),今天我們用“超級描點(diǎn)法”比如:y=x1/2:定義域【0,正無窮)值域【0,正無窮)圖像就鎖定第一象限且過原點(diǎn),單調(diào)

37、性【0,正無窮)單增,這樣就把圖像就有了大致輪廓,再描點(diǎn)就不會很盲目?。惐龋鹤鳟?,警察破案)練習(xí):分小組做出下列冪函數(shù)的大致圖像a=3,-3,2/3,3/2,-2/3,-3/2引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象,歸納概括冪函數(shù)的的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律:()所有的冪函數(shù)在(0,+)都有定義,并且圖象都過點(diǎn)(1,1);()時,冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn),并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地,當(dāng)時,冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時,冪函數(shù)的圖象上凸;()時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi),當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸。過度:這就是我們今天研究的冪函數(shù),體會了超級描點(diǎn)法,

38、就是先通過函數(shù)解析式,可以很容易得到函數(shù)的一些性質(zhì),定義域,值域,單調(diào)性,奇偶性,特殊點(diǎn)-這樣就可以勾勒出圖像大致輪廓,再描點(diǎn),就可以把圖像快速畫出!比如單調(diào)性不通過嚴(yán)謹(jǐn)證明,很容易判定出來,是增函數(shù),當(dāng)然如果你要想嚴(yán)謹(jǐn)證明也可以證出來。例1(P78例1)證明冪函數(shù)上是增函數(shù) 證:任取則 = = 因0,0 所以,即上是增函數(shù).例2. 比較大?。号c; 與; 與. 歸納小結(jié):1, 定義。2,作圖。3,性質(zhì)提升:通過作圖可以了解冪函數(shù)性質(zhì),而通過性質(zhì)我們也可以幫助我們作圖,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想,數(shù)形相輔相成。3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)引入:在第二章我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念,性質(zhì),指對冪函數(shù),函數(shù)是高

39、中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容,而函數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛,比如上一章我們研究的人口的增長問題就是指數(shù)型函數(shù)模型,考古中年代斷定就是對數(shù)型函數(shù),不舉高大上的就比如一個一直困擾我的拉面問題,21=2,22=4,23=8,24=16,25=32-實(shí)際上就是一個指數(shù)函數(shù),大約拉4,5次就可以了,正是這個函數(shù)把我從人生的困惑中解脫出來。第三章我們就重點(diǎn)研究函數(shù)的應(yīng)用。1、提出問題:一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象有什么關(guān)系?2先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象:方程與函數(shù)方程與函數(shù)方程與函數(shù) 生:這三個二次方程的根就是二次函數(shù)圖形與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)師:上述結(jié)論推廣到一般二次方程和二次函數(shù)又怎樣?可推廣為更一般的函數(shù)與方程嗎?方程的根就是函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就叫做函數(shù)的零點(diǎn)問上面三個函數(shù)的零點(diǎn)(糾錯零點(diǎn)不是點(diǎn)是橫坐標(biāo),名字有很強(qiáng)的迷惑性)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函

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