初中數(shù)學(xué)輔助線技巧(含練習(xí)

1、.一、補成三角形1.補成三角形例 1.如圖 1，已知 E 為梯形 ABCD 的腰 CD 的中點；證明： ABE 的面積等于梯形 ABCD 面積的一半。分析：過一頂點和一腰中點作直線，交底的延長線于一點，構(gòu)造等面積的三角形。這也是梯形中常用的輔助線添法之一。略證：2.補成等腰三角形例 2 如圖 2.已知 A 90， AB AC ， 1 2， CE BD ，求證： BD 2CE分析：因為角是軸對稱圖形，角平分線是對稱軸，故根據(jù)對稱性作出輔助線，不難發(fā)現(xiàn)CF 2CE，再證 BD CF 即可。略證：3.補成直角三角形例 3.如圖 3，在梯形 ABCD 中， AD BC ， B C 90， F、 G 分

2、別是 AD 、 BC 的中點，若 BC 18， AD 8，求 FG 的長。分析： 從 B 、 C 互余，考慮將它們變?yōu)橹苯侨切蔚慕?，故延長 BA 、CD，要求 FG，需求 PF、 PG。圖 3略解：4.補成等邊三角形例 4.圖 4， ABC 是等邊三角形，延長 BC 至 D，延長 BA 至 E，使 AE BD ，連結(jié) CE、 ED 。證明： EC ED分析： 要證明 EC ED，通常要證 ECD EDC，但難以實現(xiàn)。這樣可采用補形法即延長BD 到 F，使 BF BE，連結(jié) EF。略證：.二、補成特殊的四邊形1.補成平行四邊形例 5.如圖 5，四邊形 ABCD 中， E、 F、 G、 H 分別

3、是 AB 、 CD 、AC 、 BD 的中點，并且E、 F、 G、 H 不在同一條直線上，求證：EF 和 GH 互相平分。分析：因為平行四邊形的對角線互相平分，故要證結(jié)論， 需考慮四邊形GEHF是平行四邊形。略證：2.補成矩形例 6.如圖 6，四邊形 ABCD 中， A 60，B D 90，AB 200m，CD 100m，求 AD 、 BC 的長。分析： 矩形具有許多特殊的性質(zhì)， 巧妙地構(gòu)造矩形， 可使問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，于是一些四邊形中較難的計算題不難獲解。略解：圖 63.補成菱形例 7.如圖 7，凸五邊形 ABCDE 中， A= B 120， EA AB BC 2，CD DE 4，求其

4、面積分析：延長EA 、 CB 交于 P，根據(jù)題意易證四邊形PCDE 為菱形。略解：圖 7.4.補成正方形例 8.如圖 8，在 ABC 中，AD BC 于 D， BAC 45，BD 3，DC 2。求 ABC 的面積。分析：本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實有些困難，如果從題設(shè) BAC 45，AD BC 出發(fā)，可以捕捉到利用軸對稱性質(zhì)構(gòu)造一個正方形的信息，那么問題立即可以獲解。略解：圖 85.補成梯形例 9如圖 9，已知： G 是 ABC 中 BC 邊上的中線的中點，L 是 ABC 外的一條直線，自A 、 B、1C、 G 向 L 作垂線，垂足分別為A1、B 1、C1、G1。求證： GG

5、1 4 CC1 )。(2AA 1 BB 1分析：本題從已知條件可知，中點多、垂線多特點，聯(lián)想到構(gòu)造直角梯形來加以解決比較恰當(dāng)，故過D 作 DD 1 L 于 D 1，則 DD 1 既是梯形BB 1C1C 的中位線，又是梯形DD 1A 1A 的一條底邊，因而，可想到運用梯形中位線定理突破，使要證的結(jié)論明顯地顯示出來，從而使問題快速獲證。圖 9略證：三、練習(xí) 1、在 ABC 中， AC=BC ，D 是 AC 上一點， 且 AE 垂直 BD 的延長線于E，又 AE=1BD ，2求證： BE 平分 ABC 。2、如圖，已知：在ABC 內(nèi)， BAC=60， ACB=40，AP、 Q 分別在 BC 、CA

6、上，并且AP、BQ 分別是 BAC 、 ABC 的角 平 分Q.BPC.線，求證： BQ+AQ=AB+BP3、已知： BAC=90， AB=AC ， AD=DC ， AE BD ，求證： ADB= CDEADBCE4、設(shè)正三角形ABC 的邊長為2， M 是 AB 邊上的中點， P 是 BC 邊上的任意一點，PA+PM 的最大值和最22C小值分別記為S 和，求： S t的值。PABM.口訣三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中

7、點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外