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文檔簡介
1、.一、補成三角形1.補成三角形例 1.如圖 1,已知 E 為梯形 ABCD 的腰 CD 的中點;證明: ABE 的面積等于梯形 ABCD 面積的一半。分析:過一頂點和一腰中點作直線,交底的延長線于一點,構(gòu)造等面積的三角形。這也是梯形中常用的輔助線添法之一。略證:2.補成等腰三角形例 2 如圖 2.已知 A 90, AB AC , 1 2, CE BD ,求證: BD 2CE分析:因為角是軸對稱圖形,角平分線是對稱軸,故根據(jù)對稱性作出輔助線,不難發(fā)現(xiàn)CF 2CE,再證 BD CF 即可。略證:3.補成直角三角形例 3.如圖 3,在梯形 ABCD 中, AD BC , B C 90, F、 G 分
2、別是 AD 、 BC 的中點,若 BC 18, AD 8,求 FG 的長。分析: 從 B 、 C 互余,考慮將它們變?yōu)橹苯侨切蔚慕?,故延長 BA 、CD,要求 FG,需求 PF、 PG。圖 3略解:4.補成等邊三角形例 4.圖 4, ABC 是等邊三角形,延長 BC 至 D,延長 BA 至 E,使 AE BD ,連結(jié) CE、 ED 。證明: EC ED分析: 要證明 EC ED,通常要證 ECD EDC,但難以實現(xiàn)。這樣可采用補形法即延長BD 到 F,使 BF BE,連結(jié) EF。略證:.二、補成特殊的四邊形1.補成平行四邊形例 5.如圖 5,四邊形 ABCD 中, E、 F、 G、 H 分別
3、是 AB 、 CD 、AC 、 BD 的中點,并且E、 F、 G、 H 不在同一條直線上,求證:EF 和 GH 互相平分。分析:因為平行四邊形的對角線互相平分,故要證結(jié)論, 需考慮四邊形GEHF是平行四邊形。略證:2.補成矩形例 6.如圖 6,四邊形 ABCD 中, A 60,B D 90,AB 200m,CD 100m,求 AD 、 BC 的長。分析: 矩形具有許多特殊的性質(zhì), 巧妙地構(gòu)造矩形, 可使問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形,于是一些四邊形中較難的計算題不難獲解。略解:圖 63.補成菱形例 7.如圖 7,凸五邊形 ABCDE 中, A= B 120, EA AB BC 2,CD DE 4,求其
4、面積分析:延長EA 、 CB 交于 P,根據(jù)題意易證四邊形PCDE 為菱形。略解:圖 7.4.補成正方形例 8.如圖 8,在 ABC 中,AD BC 于 D, BAC 45,BD 3,DC 2。求 ABC 的面積。分析:本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實有些困難,如果從題設(shè) BAC 45,AD BC 出發(fā),可以捕捉到利用軸對稱性質(zhì)構(gòu)造一個正方形的信息,那么問題立即可以獲解。略解:圖 85.補成梯形例 9如圖 9,已知: G 是 ABC 中 BC 邊上的中線的中點,L 是 ABC 外的一條直線,自A 、 B、1C、 G 向 L 作垂線,垂足分別為A1、B 1、C1、G1。求證: GG
5、1 4 CC1 )。(2AA 1 BB 1分析:本題從已知條件可知,中點多、垂線多特點,聯(lián)想到構(gòu)造直角梯形來加以解決比較恰當(dāng),故過D 作 DD 1 L 于 D 1,則 DD 1 既是梯形BB 1C1C 的中位線,又是梯形DD 1A 1A 的一條底邊,因而,可想到運用梯形中位線定理突破,使要證的結(jié)論明顯地顯示出來,從而使問題快速獲證。圖 9略證:三、練習(xí) 1、在 ABC 中, AC=BC ,D 是 AC 上一點, 且 AE 垂直 BD 的延長線于E,又 AE=1BD ,2求證: BE 平分 ABC 。2、如圖,已知:在ABC 內(nèi), BAC=60, ACB=40,AP、 Q 分別在 BC 、CA
6、上,并且AP、BQ 分別是 BAC 、 ABC 的角 平 分Q.BPC.線,求證: BQ+AQ=AB+BP3、已知: BAC=90, AB=AC , AD=DC , AE BD ,求證: ADB= CDEADBCE4、設(shè)正三角形ABC 的邊長為2, M 是 AB 邊上的中點, P 是 BC 邊上的任意一點,PA+PM 的最大值和最22C小值分別記為S 和,求: S t的值。PABM.口訣三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,三線合一試試看。線段垂直平分線,常向兩端把線連。要證線段倍與半,延長縮短可試驗。三角形中兩中
7、點,連接則成中位線。三角形中有中線,延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn),對稱中心等分點。梯形里面作高線,平移一腰試試看。平行移動對角線,補成三角形常見。證相似,比線段,添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換,尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難,等量代換少麻煩。斜邊上面作高線,比例中項一大片。圓半徑與弦長計算,弦心距來中間站。圓上若有一切線,切點圓心半徑連。切線長度的計算,勾股定理最方便。要想證明是切線,半徑垂線仔細辨。是直徑,成半圓,想成直角徑連弦?;∮兄悬c圓心連,垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦,直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦,同弧對角等找完。要想作個外接圓,各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓,內(nèi)角平分線夢圓。如果遇到相交圓,不要忘作公共弦。內(nèi)外
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