浙江版高考數(shù)學一輪復習專題6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用講

1、第05節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用【考綱解讀】考點考綱內(nèi)容五年統(tǒng)計分析預(yù)測與數(shù)列有關(guān)的綜合問題1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式及其應(yīng)用.2了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.3會用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實際問題.2017浙江6,22；2016浙江文8;理6,20；2015浙江理20；2014浙江文19；理19.1.高頻考向:根據(jù)數(shù)列的遞推式或者通項公式確定基本量，選擇合適的方法求和，進一步證明不等式2.低頻考向:數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合.3.特別關(guān)注:（1）靈活選用數(shù)列求和公式的形式，關(guān)注應(yīng)用公式的條件；（2）熟悉分組求和法、裂項相消法及錯

2、位相減法；（3)數(shù)列求和與不等式證明、不等式恒成立相結(jié)合求解參數(shù)的范圍問題.【知識清單】一、等差數(shù)列和等比數(shù)列比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義常數(shù)常數(shù)通項公式判定方法(1)定義法；(2)中項公式法：為等差數(shù)列；(3)通項公式法：(為常數(shù),) 為等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：(為常數(shù), ) 為等差數(shù)列；(5) 為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列 (，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法： () 為等比數(shù)列(3)通項公式法： (均是不為0的常數(shù)，)為等比數(shù)列(4) 為等差數(shù)列(總有意義)為等比數(shù)列性質(zhì)(1)若，且，則(2) (3) ，仍成等差數(shù)列(1)若，且，則(2) (3)等比數(shù)列依次每項和()，即 ，仍

3、成等比數(shù)列前n項和時，；當時，或.對點練習：【2018年屆廣西桂林市柳州市高三模擬金卷】已知是等差數(shù)列，公差不為零若， ， 成等比數(shù)列，且，則 .【答案】.二數(shù)列求和1. 等差數(shù)列的前和的求和公式：.2等比數(shù)列前項和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項和是，當時，或；當時，（錯位相減法）.3. 數(shù)列前項和重要公式：（1） （2）（3） （4） 等差數(shù)列中，；等比數(shù)列中，.對點練習：【2017屆浙江臺州中學高三10月月考】在等差數(shù)列中，其前項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，且，（1）求與；（2）證明：【答案】（1），；（2）詳見解析.試題解析：（1）設(shè)的公差為，解得或（舍）， 故，；（2），故，即

4、.【考點深度剖析】數(shù)列求和是高考重點考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，以解答題為主，難度中等或稍難，數(shù)列求和問題為先導，在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合.【重點難點突破】 考點1 等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題【1-1】【2017杭州調(diào)研】已知數(shù)列an，bn中，a11，bn，nN*，數(shù)列bn的前n項和為Sn.(1)若an2n1，求Sn；(2)是否存在等比數(shù)列an，使bn2Sn對任意nN*恒成立？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列an的通項公式；若不存在，請說明理由；(3)若an是單調(diào)遞增數(shù)列，求證：Sn2.【答案】(1).(2)滿足條件的數(shù)列an存在，且只

5、有兩個，一個是an1，另一個是an(1)n1.(3)證明見解析.(2)解滿足條件的數(shù)列an存在且只有兩個，其通項公式為an1和an(1)n1.證明：在bn2Sn中，令n1，得b3b1.設(shè)anqn1，則bn.由b3b1得.若q1，則bn0，滿足題設(shè)條件.此時an1和an(1)n1.若q1，則，即q21，矛盾.綜上所述，滿足條件的數(shù)列an存在，且只有兩個，一個是an1，另一個是an(1)n1.(3)證明因為1a1a2an0，01，于是01.bn2.故Snb1b2bn222222.所以SnN時，根據(jù)，而，所以.于是，.累加可得（*）由（1）可得，而當時，顯然有，因此有，這顯然與（*）矛盾，所以.【領(lǐng)

6、悟技法】1. 數(shù)列與不等式的綜合問題是近年來的高考熱門問題，與不等式相關(guān)的大多是數(shù)列的前n項和問題，對于這種問題，在解答時需要利用化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為我們較熟悉的問題來解決，要掌握常見的解決不等式的方法，以便更好地解決問題數(shù)列與不等式的結(jié)合，一般有兩類題：一是利用基本不等式求解數(shù)列中的最值；二是與數(shù)列中的求和問題相聯(lián)系，證明不等式或求解參數(shù)的取值范圍，此類問題通常是抓住數(shù)列通項公式的特征，多采用先求和后利用放縮法或數(shù)列的單調(diào)性證明不等式，求解參數(shù)的取值范圍以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題，或不等式的證明問題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，或利用放縮法證明.解決數(shù)列和式與不等式證

7、明問題的關(guān)鍵是求和，特別是既不是等差、等比數(shù)列，也不是等差乘等比的數(shù)列求和，要利用不等式的放縮法，放縮為等比數(shù)列求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和，最終歸結(jié)為有限項的數(shù)式大小比較數(shù)列與不等式綜合的問題是常見題型，常見的證明不等式的方法有：作差法；作商法；綜合法；分析法；放縮法.2. 數(shù)列與解析幾何交匯問題主要是解析幾何中的點列問題，關(guān)鍵是充分利用解析幾何的有關(guān)性質(zhì)、公式，建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后借助數(shù)列的知識加以解決3. 處理探索性問題的一般方法是：假設(shè)題中的數(shù)學對象存在或結(jié)論成立或其中的一部分結(jié)論成立，然后在這個前提下進行邏輯推理若由此導出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定結(jié)論，其中反證法

8、在解題中起著重要的作用還可以根據(jù)已知條件建立恒等式，利用等式恒成立的條件求解4. 解答數(shù)列綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解5.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故數(shù)列有著許多函數(shù)的性質(zhì)等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本、最常見的數(shù)列，它們是研究數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)，它們與函數(shù)、方程、不等式、三角等內(nèi)容有著廣泛的聯(lián)系，等差數(shù)列和等比數(shù)列在實際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，隨著高考對能力要求的

9、進一步增加，這一部分內(nèi)容也將受到越來越多的關(guān)注，解決此類問題時要注意把握以下兩點：(1)正確審題，深摳函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列的定義；(2)明確等差、等比數(shù)列的通項、求和公式的特征【觸類旁通】【變式一】【2017屆浙江省杭州市高三4月二?！恳阎獢?shù)列的各項均為非負數(shù)，其前項和為，且對任意的，都有.（1）若， ，求的最大值；（2）若對任意，都有，求證： .【答案】（1）見解析（2）見解析，便可求出的最大值；（2）首先假設(shè)，根據(jù)已知條件得 ，于是通過證明對于固定的值，存在，由此得出與矛盾，所以得到，再設(shè)，則根據(jù)可得，接下來通過放縮，可以得到，于是可以得出要證的結(jié)論. 試題解析：（1）由題意知，設(shè) ，則，且，

10、 ，所以，.（2）若存在，使得，則由，得，因此，從項開始，數(shù)列嚴格遞增，故 ，對于固定的，當足夠大時，必有，與題設(shè)矛盾，所以不可能遞增，即只能.令， ，由，得， ，故 ， ，所以，綜上，對一切，都有.【變式二】【2017屆浙江省嘉興一中、杭州高級中學、寧波效實中學等高三下五校聯(lián)考】已知數(shù)列中，滿足記為前n項和（I）證明： ；（）證明： （）證明： .【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析試題解析：證明：（I）因 故只需要證明即可 3分下用數(shù)學歸納法證明：當時， 成立假設(shè)時， 成立，那么當時， ，所以綜上所述，對任意， 6分（）用數(shù)學歸納法證明當時， 成立假設(shè)時， 那么當時， 所以綜上

11、所述，對任意， 10分（）得 12分故 15分【易錯試題常警惕】易錯典例：【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列滿足，（I）證明：，；（II）若，證明：，易錯分析：一是不能正確理解題意，二是在證明過程中不能正確第進行不等式的放縮.試題解析：（I）由得，故，所以，因此（II）任取，由（I）知，對于任意，故從而對于任意，均有由的任意性得 否則，存在，有，取正整數(shù)且，則，與式矛盾綜上，對于任意，均有溫馨提醒：（I）先利用三角形不等式及變形得，再用累加法可得，進而可證；（II）由（I）的結(jié)論及已知條件可得，再利用的任意性可證【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】-數(shù)列求和與比較大小數(shù)列與不等式知識相結(jié)合的考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；三是考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明.在解決這些問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等.如果是解不等式問題，要使用不等式的各種