同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)資料.ppt

1、高等數(shù)學(xué)(上) 總復(fù)習(xí),第一部分 復(fù)習(xí)的重點(diǎn)及題型分析,第二部分 高等數(shù)學(xué)(上)方法綜述,第一部分 復(fù)習(xí)的重點(diǎn)及題型分析,復(fù)習(xí)重點(diǎn),三個(gè)基本計(jì)算 極限 , 導(dǎo)數(shù) , 積分,兩個(gè)基本應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 , 積分應(yīng)用,一個(gè)基本理論 有關(guān)中值的定理及應(yīng)用,一. 三個(gè)基本計(jì)算 (約 70 % ),1. 極限的計(jì)算 (約 24 % ),主要題型,(1) 利用基本方法求極限,函數(shù)的連續(xù)性 ;,四則運(yùn)算法則 ;,極限存在準(zhǔn)則 ;,兩個(gè)重要極限 ;,等價(jià)無(wú)窮小替換 ;,洛必塔法則 .,(2) 利用特殊方法求極限,導(dǎo)數(shù)定義 ;,定積分定義 ;,微分中值定理 ;,變限積分求導(dǎo) ;,討論左右極限 .,(3) 無(wú)窮小量的

2、比較,例題分析,例1. 計(jì)算,解:,解: 利用等價(jià)關(guān)系,例2. 設(shè) f (x) 處處連續(xù), 且 f (2)=3, 計(jì)算,解:,化為指數(shù)形式 , 利用,例3. 計(jì)算,解:,例4. 計(jì)算,例5. 計(jì)算,解: 令,例6. 計(jì)算,解 : 令,例7. 計(jì)算,解:,利用等價(jià)無(wú)窮小,例8. 計(jì)算,解:,例9. 求,解: 令,則,原式 =,洛,例10. 計(jì)算,解:,直接用洛必塔法則不方便,利用等價(jià)無(wú)窮小,例11. 計(jì)算,解: 利用微分中值定理,例12. 計(jì)算,解:,洛,這是積分變量,例13. 求,原式 =,洛,利用等價(jià)無(wú)窮小,解:,例14. 已知,解:,對(duì)所給等式左邊用洛必塔法則, 得,再利用,可知,求 a,

3、 b .,2. 導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算 (約 18%),主要題型,(1) 計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分 ;,(2) 計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分 ;,(3) 參數(shù)方程求一階、二階導(dǎo)數(shù) ;,(4) 用導(dǎo)數(shù)定義求特殊點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值 ;,(5) 計(jì)算 n 階導(dǎo)數(shù) .,(包括對(duì)數(shù)微分法),例題分析,例1. 已知,解法1.,等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,故,解法2. 等式兩邊取對(duì)數(shù), 得,兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,故,例2. 已知,解：,兩邊取對(duì)數(shù)，得,兩邊對(duì) x 求導(dǎo),例3. 證明下述函數(shù)在 x = 0 連續(xù)且可導(dǎo),證: 因?yàn)?又,在 x = 0 連續(xù)且可導(dǎo).,思考: 若函數(shù)改為,是否有同樣的,結(jié)論?,例4. 已知,解:,

4、求,例5. 設(shè),解:,例6. 設(shè),解:,例7. 設(shè),求,解:,例8. 求,解:,方法1 .,利用歸納法可證,方法2 . 利用萊布尼茲求導(dǎo)公式,的 n 階導(dǎo)數(shù).,例9. 設(shè),求,解:,3. 不定積分與定積分的計(jì)算 (約 28%),主要題型,(1) 利用基本積分方法計(jì)算不定積分 ;,(2) 利用基本積分方法及公式計(jì)算定積分 ;,(3) 利用簡(jiǎn)化技巧計(jì)算積分 ;,(4) 廣義積分的計(jì)算及收斂性判別 .,例題分析,例1. 求,解:,令,令,例2. 求,解:,例3. 求,解:,原式 =,例4. 求,解:,例5. 討論積分,解:,的斂散性.,可見原積分發(fā)散.,例6. 求,解:,例7. 已知,解: 對(duì)所給等

5、式兩邊求導(dǎo), 得,求,利用“偶倍奇零”,得,例8. 設(shè), 求,(P270 題13),解: 令,則,例9. 已知,解: 由已知條件得,求,例10. 求,解:,利用 P248 例6(2), 即,例11. 利用遞推公式計(jì)算下列廣義積分,解:,(P260 題3),二. 兩個(gè)基本應(yīng)用 (約 24 % ),1. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (約 16 % ),主要題型,(1) 導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用,(2) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)形態(tài),(3) 求解最值問(wèn)題,(4) 利用導(dǎo)數(shù)證明恒等式,(5) 利用單調(diào)性證明不等式,例1. 設(shè)函數(shù),在定義域內(nèi)可導(dǎo),的圖形如右圖所示,則導(dǎo)函數(shù),的圖形為 . (2001考研),提示:,在某區(qū)間I 內(nèi)可導(dǎo),則

6、在I 內(nèi),是,的極值點(diǎn),例題分析,例2. 證明,在,上單調(diào)增加.,證:,令,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,故當(dāng) x 0 時(shí),從而,在,上單調(diào)增.,得,例3. 證明當(dāng) x 0 時(shí),證法1: 設(shè),則,故,證法2:當(dāng) x 0 時(shí),在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,得,例4.,證明:,證:,即,例5. 證明當(dāng),證: 歸結(jié)為證,即,在(0,1)上不好判別正負(fù)號(hào),提示: 證明 f (0) 是 f (x) 在( , 1) 上的最大值.,說(shuō)明: 若改為證明當(dāng) x 1 時(shí),如何證明?,例5.,設(shè),證: 設(shè),且,比較 , 可知,故不等式成立 .,有兩個(gè)根 ;,例6. 討論方程,有幾個(gè)實(shí)根.,解

7、: 設(shè),令,得,(最大值),注意,因此,當(dāng),時(shí),當(dāng),時(shí),只有一個(gè)根；,當(dāng),時(shí),無(wú)實(shí)根 .,(P153 題6),例7. 求雙曲線,的曲率半徑 R, 并分析何處 R 最小?,解:,則,利用,例8. 求內(nèi)接于半徑為R 的球內(nèi)的正圓錐體的最大體積.,解: 設(shè)錐體的底半徑為 r, 高為 h , 如圖,因 ADB BDE, 所以,圓錐體體積,為極大值點(diǎn),在 (0, 2R) 內(nèi)只有唯一駐點(diǎn), 且為極大值點(diǎn),故為最大,值點(diǎn), 最大值為,2. 定積分的應(yīng)用 (約 8% ),(1) 利用定積分計(jì)算面積,直角坐標(biāo)方程 參數(shù)方程 極坐標(biāo)方程,(2) 利用定積分計(jì)算弧長(zhǎng)及旋轉(zhuǎn)體體積,(3) 定積分的物理應(yīng)用,(4) 有

8、關(guān)定積分的證明題,主要題型,例題分析,例1. 求曲線,解:,設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程為,令,得,與其通過(guò)原點(diǎn)的切線及 y 軸所圍圖形,的面積.,故所求面積為,例2. 求曲線,解:,列表 :,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得,旋轉(zhuǎn)體的體積.,例3. 求拋物線,解:,與直線,所圍的圖形繞 y 軸,旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.,（此題也可用柱殼法）,（一般法）,例4. 求由圓,解: 圓的方程為,圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn),一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積.,利用“偶倍奇零”,（這是柱殼法）,例5. 證明,提示: 令, 得 x = 1, 0,判別 x = 1 為 f (x) 在,上的唯一極大點(diǎn) , 故,則,時(shí),例6. 求拋物線,在(

9、0,1) 內(nèi)的一條切線, 使它與,兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.,解: 設(shè)拋物線上切點(diǎn)為,則該點(diǎn)處的切線方程為,它與 x , y 軸的交點(diǎn)分別為,所求面積,且為最小點(diǎn) .,故所求切線為,得 0 , 1 上的唯一駐點(diǎn),三. 一個(gè)基本理論 有關(guān)中值的問(wèn)題 (約 5% ),主要題型,(1) 討論函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題或方程根的問(wèn)題,存在性,唯一性, 常用介值定理 ; 羅爾定理, 利用單調(diào)性 ; 反證法,(2) 利用微分和積分中值定理證明等式或不等式,例1. 敘述拉格朗日中值定理并證明之.,提示:,利用逆向思維設(shè)出滿足羅爾定理的輔助函數(shù) .,例題分析,例2. 設(shè)常數(shù),至少有一正根 , 且不超過(guò),證: 設(shè)

10、, 則,均為正值,證明方程,若,則,為一正根 , 且符合題意.,若,則,由根的存在定理知 , 又,至少存在一個(gè),使, 即所給方程至少有一個(gè)不超過(guò),的正根 .,證明方程,例3. 已知,證: 先證存在性.,使,再證唯一性.,在 0, 1 上有唯一的根.,則,因此,即,假設(shè)方程還有一根,則,無(wú)妨設(shè)x 0 x1 ,故存在一點(diǎn),則在x0 , x1上F (x) 滿足羅爾定理?xiàng)l件,即,與已知條件矛盾, 故假設(shè)不真, 因此根唯一.,例4. 設(shè),證: 設(shè),證明存在唯一一點(diǎn),因此存在唯一一點(diǎn),即,例5.,上可積且不變號(hào),證明存在,使,( P270 題14 ),證明思路:,想到用介值定理,證明: 設(shè) M , m 分

11、別為,上的最大值與最,小值 ,不妨設(shè),若,則,故對(duì)任意,結(jié)論都正確 ;,若,由連續(xù)函數(shù)介值定理可知,存在,使, 故定理成立 .,則,則,例6. 設(shè),在,內(nèi)二階可,求證:至少存,導(dǎo), 且,在一點(diǎn),提示:,由積分中值定理得,上用羅爾定理得,上用羅爾定理, 得,例7. 證明方程,證: 設(shè),原方程存在唯一實(shí)根,由,使,在0,1上存在唯一,的實(shí)根 xn , 且,則,得,由,四. 幾點(diǎn)說(shuō)明,1.函數(shù)也是考試重點(diǎn),(1) 函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式,(2) 討論函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)或間斷,例1. 證明,解:,在 x = 0 連續(xù).,例2. 設(shè),解:,故 x = 0 為第一類跳躍間斷點(diǎn) .,并指出其間斷點(diǎn)的類型.,思考: 如何求,及其間斷點(diǎn)?,例3. 設(shè),解: 因?yàn)?x 0 時(shí), F (x) 可導(dǎo), 故連續(xù),問(wèn) a 取何值時(shí) F (x) 連續(xù)?,顯然連續(xù),2. 注意綜合試題,(1) 極限