習(xí)題六習(xí)題答案修改稿

1、最新資料推薦第六章習(xí)題答案1.用二分法求方程f ( x)x3x23x30 在區(qū)間 1,2 內(nèi)的根，要求其絕對(duì)誤差不超過(guò) 10 2.解： 由于 f (1) 113 34 0,f (2)2322323 3 0,且當(dāng) x 1,2時(shí)， f ( x)3x22x 33(x1) 210033所以方程在區(qū)間1,2 內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根。由 k1 1 (2 1)1 10 2 ,解得 k2ln106.64385.22ln 2所以需要二分7 次，才能得到滿足精度要求的根。取 1,2 區(qū)間的中點(diǎn) x1 1.5, 將區(qū)間二等分，求得f (1.5)1.875 0, 與 f (1)同號(hào)，因此得到下一區(qū)間1.5,2;如此繼續(xù)下去，

2、即得計(jì)算結(jié)果。計(jì)算結(jié)果如下表：kak ( f (ak )的符號(hào) )xk ( f ( xk )的符號(hào) )bk ( f (bk )的符號(hào) )01（-）1.5（ -）2（+）11.5（-）1.75（+）2（+）21.5（-）1.625（-）1.75（ +）31.625（-）1.6875（ -）1.75（ +）41.6875（-）1.71875（-）1.75（ +）51.71875（ -）1.734375（+）1.75（ +）6 1.71875（ -）1.7265625（ -） 1.734375（+）7 1.7265625（-） 1.73046875（-） 1.734375（+）取 x7 ( a7 b

3、7 ) 2 1.73046875 1.73即滿足精度要求 。2.證明 1xsin x0 在 0,1 內(nèi)有一個(gè)根， 使用二分法求誤差不大于110 4 的根要迭代2多少次？證明：設(shè) f (x)1xsin x,由于 f (0)10sin 010, f (1)11sin1sin10,1最新資料推薦且當(dāng) x 0,1時(shí)， f(x)1cos x 0.因此方程在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)根。由 11 (1 0)1104, 解得 k4ln1013.293.2k2ln 2所以需要迭代14 次，才能使求得的根的誤差不大于110 4 。23.證明方程 ex10 x 20在(0,1) 內(nèi)有根，使用二分法求這個(gè)根，若要求| xn

4、 x|10 6 , 需二分區(qū)間0,1 多少等分？證明 ：設(shè)f()ex10x2.x由于 f (0)e00210, f (1)e11028e 0,且當(dāng) x0,1 時(shí)， f ( x)ex100.因此方程在區(qū)間 0,1內(nèi)有一個(gè)根。由 | xnx|k11 (ba)1k 1 (10)10 6 , 解得 k6ln10118.93155.22ln 2所以需二分區(qū)間0,119 等分，才能滿足 | xn x|10 6.4.能否用迭代法求解下列方程(1)x1( x)1cos x);(sin x42x(2) x2 ( x)4若不能，試將原方程改寫(xiě)成能用迭代法求解的形式。解：(1)1 ( x)1 (cos xsin x

5、).41 ( x )1c ox s111( 2 , ). 1 .4sx i nx( c o s xs i n) x442故迭代格式 x11( x )1 (sin xcos x ) 收斂，可以用其來(lái)求解方程。kk4kk(2) 設(shè) f ( x)x 2x40.f (1)121410; f (2)222420.且 f ( x)12x ln20.可知f ( x) 在 1,2 上存在一個(gè)根，即x 1,2.2 ( x)x2ln2當(dāng). x1,2時(shí)，2 (x)2x ln 21.2最新資料推薦可知不能用迭代格式xk 142xk 來(lái)求解方程?？蓪⒎匠套冃螢?2x4x, xln(4x) .令3( x)ln(4 x)

6、.ln 2ln 23 ( x)11 ,|3 (x) |11 |1|1 | 1, x1,2.ln 2 4 xln 2 4 xln 2 4 x所以迭代格式 xk1ln(4xk ) 收斂，可以用其來(lái)求解方程。ln 25.為求方程 x3x210 在 x01.5 附近的一個(gè)根， 設(shè)將方程改寫(xiě)成為下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：( 1x)1迭代公式 xk11112,2xxk(2) x31x2 , 迭代公式 xk13 1xk221迭代公式xk11試討論它們的收斂性。( 3x)x1,xk1解： (1)12(x)1x2,( x)x3 .( x0 )221.x(1.5,1.5).( x0 )31.53所以此迭

7、代格式是收斂的。2( 2 ) ( x)3 1 x2 , ( x)2x (1 x2 ) 3 .32x221.52( x0 )(1x02 ) 3 .(11.52 )31.x (1.5,1.5).33所以此迭代格式是收斂的。2( 3 ) ( x)1, ( x)( 1 )( x 1) 3 .x121212( x0 )(1)(1)1.x (1.5,1.5).)( x3)(1.5322所以此迭代格式不收斂的。6.給出計(jì)算 x222迭代格式，討論迭代格式的收斂性并證明x2.解：由題意可得出其迭代格式為xk12xk .3最新資料推薦11(x)2 x, (x)(2 x) 221.由上式可知，x0.22x當(dāng) x0

8、 時(shí)，(x)11.所以迭代格式是收斂的。2 2x由 lim xk 1x 可得， x2x .( x )22 x ,( x ) 2x20.k解得： x11, x22.其中 x110 舍去。可得 x2.即解得 x2.7.用下列給定的方法求f ( x)x33x 10 在 x0 2 附近的根，根的準(zhǔn)確值為x 1.87938524 ,要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。（ 1）用 Newton 法；（2）用弦截法，x02, x11.9;（3）用拋物線法，取x01,x13, x22.解： (1)用 Newton 法求解f ( x)x33x1, f (x)3x23.將它們代入公式xk 1xkf ( xk ) 有，

9、f ( xk )xk 1xk33xk1xk3xk2, k 0,1 .3取 x02, 計(jì)算結(jié)果列于下表，并和x1.87938524比較得出結(jié)果，k0123xk21.8888891.8794521.879385解得 x1.8794.(2) 用弦截法求解3取2, x1 1.9f ( x) x3 x 1. x0依迭代公式為xk 1xkf (xk )xk 1 ), k 0,1 . 進(jìn)行計(jì)算。( xkf ( xk ) f ( xk 1 )計(jì)算結(jié)果列于下表，并和 x1.87938524比較4最新資料推薦k01234xk21.91.8810941.8794111.879385解得 x1.8794.(3) 用拋

10、物線法求解f ( x)33 x 1.x0 1, x13, x22.x則 f ( x0 )3, f ( x1 )17, f (x2 )1, f ( x0 , x1 )10, f (x1, x2 )16, f (x0 , x1, x2 ) 6.故f ( x1 , x2 ) f (x0 , x1 , x2 )( x2x1 )10.0, 則根號(hào)前的符號(hào)為正。迭代公式為xk1xk2 f (xk )24 f (xk ) f ( xk , xk 1 , xk 2 )取 x01, x13, x2 2 計(jì)算 x3 :x3x22 f (x2 )221.893150.24 f ( x2 ) f ( x0, x1 ,

11、 x2 )1010024f ( x3 ) 0.105632, f (x2 , x3 ) 8.3703, f ( x1 , x2 , x3 )6.8932.f ( x2 , x3 )f (x1, x2 , x3 )(x3x2 )7.6338.x4x32 f ( x3 )1.8791x4達(dá)到要求24 f ( x3 ) f ( x1 , x2 , x3 )8.用 Aitken 加速迭代法求下列方程在指定區(qū)間內(nèi)的根。(1)x2ln x,(2,);(2) xx31,1,1.5.解： (1)由迭代格式xk 12l nxk則 (x)2 ln x,(x)1在 (2,) 上(x)11.x1,因此迭代格式是收斂的

12、。x2相應(yīng)于這一格式，可以得到Aitken 加速迭代格式：5最新資料推薦x( xk )xk )21,2k1( (xk ) 2 ( xk ) xkx03因此由( x0 )3.098612289, ( x0 )3.130954362.解得 x1 3.146738373;同理，得x23.146193227, x33.146193227.所以 (1) 式的近似解為x3.146193227.（ 2） xx31,1,1.5(x)= 3 x+1, 則迭代格式 為 xk1 (12取迭代函數(shù)1 = 3xk+1 ，(x)x) 3 13(x) - x)2xk 1xk -kk(k=0,1,2.)其 Aitken 加速

13、迭代法格式為(xk )2(xk )+xkx01_2(x0 ) - x0 )x1x01.325509599( (x0 ) 2 (x0 )+ x0_(x1) -x1 )2x2x11.324717961( (x1 ) 2 (x1 )+x1_(x2 ) -x2 )2x3x21.324717958( (x2 ) 2 (x2 )+x2x*1.324718注：若取迭代函數(shù)( x) x31，則因在 1,1.5 上( x)3x21,所以迭代格式xk1xk31 不收斂。但若用 Aitken加速迭代格式xk 1xk( xk ) xk )2, k1,2( (xk ) 2 ( xk ) xkx0 1.25計(jì)算，結(jié)果是收

14、斂的。x51.324718 。9.設(shè) f ( x) ( x3a)2 ,(1)構(gòu)造求解方程 f ( x)0 的 Newton 迭代格式；(2) 證明此迭代格式是線性收斂的。解： (1) 由 f (x)(x3a) 2 , f ( x)6x2 (x3a). 從而有 Newton 迭代格式6最新資料推薦f ( kx )323x 5aaxk 1xkxk( kxa)k, 2 0k , 1f ( kx )23xk2xk6xk( kxa)6xk6k6x( 2 迭)代格式為 xk15 xka2 , k0,1 .66 xk( x)5 xa2 , ( x)5a3 . 此外 x3 a.66x63x則( x )( 3

15、a )5a5 1 10.63( 3a )36 3 2所以此迭代格式是線性收斂的。10.設(shè) f ( x)x3a,(1)構(gòu)造求解方程f ( x)0的 Newton 迭代格式；(2) 證明此迭代格式具有二階收斂性。解： (1) 由 f (x)x3a,f ( x)3x2 .從而有 Newton 迭代格式xk 1xkf ( xk )xkxk3a 2xka2 , k 0,1f ( xk )233xk3xk( 2 迭)代格式為 xk12 xka2 , k0,1 .33xk5a,5a4a此外 x.3a.( x )x2x( )3, x ( )466x6x3x3則( x )( 3 a )22a2 20.33( 3

16、a )333( x )( 3 a)4a4a0. ( a 0).3( 3 a )43 3所以此迭代格式具有二階收斂性。11.用 Newton 迭代法求解方程x32x210 x200在 x0 1附近的一個(gè)實(shí)根，要求xk 1xk10 6 （準(zhǔn)確值為 x1.368808107 ）。解：由題意 f ( x) x32x210 x20, 則 f ( x) 3x24x 10.7最新資料推薦Newton 迭代公式為xk 1xkf ( xk ) ，f ( xk )x32x210 x20kkk.即 xk 1 xk3xk24xk10取 x0 1時(shí)，解得 x1 1.41176471,同理，可得 x21.36933647

17、, x31.36880819, x41.36880811.因 x4 x31.36880811 1.36880819 8 10 810 6.所以用迭代法求方程所得的根為x 3.36880811.12.試導(dǎo)出計(jì)算 1a (a 0)的 Newton迭代格式，使公式中既無(wú)開(kāi)方又無(wú)除法運(yùn)算。解：令 x1x211,a10.,則, ax2x2aaf ( x)a12 ,f(x)23 .xx由 Newton 迭代公式xk1xkf (xk ) ，有f (xk )a1xk 1f ( xk )xkxk23xka 3xk22xkf ( xk )2xk3即計(jì)算 1a (a0) 的 Newton 迭代格式為xk13 xka

18、 xk3。2a213.應(yīng)用 Newton迭代法于方程f ( x)xna 0和 f ( x)10, 分別導(dǎo)出求 n a 的迭xn代公式，并求lim ( naxk1 )( n axk ) 2k解：當(dāng)f ( x) xna 時(shí) , f( x)nx n 1. 故 Newton 迭代公式為xk 1xkf (x)xkxknan1a,k0,1f (x)n1nxkn1nxknxk此時(shí)：8最新資料推薦n11 n1nlimn a xk 1limann 1 xkaxklimnn 1 a 1 n xk(naxk )2(na xk )2( 1)2(na xk)kkkn 1a nxk(n 1)nlimn1na ）。2n.（ xk2a當(dāng) f ( x) 1a時(shí)，因 f( x)anxnxn 1 . 故 Newton 迭代公式為1an1xk1n 1xnxk 1xkxkxk1)xkxk, k0,1anann( nanxn1此時(shí)：n1xkn 1