直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系―知識講解(提高)

1、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系知識講解（提高）【學習目標】1.理解并掌握直線與圓、圓與圓的各種位置關(guān)系；2.理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練 掌握以上內(nèi)容解決一些實際問題； 3.了解兩個圓相離(外離、內(nèi)含)，兩個圓相切(外切、內(nèi)切)，兩圓相交，圓心距等概念理解兩圓的位置關(guān)系與d、r1、r2之間的等價條件并靈活應(yīng)用它們解題【要點梳理】要點一、點和圓的位置關(guān)系1點和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有2三角

2、形的外接圓 經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等.要點詮釋：（1）點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；（2）不在同一直線上的三個點確定一個圓.要點二、直線和圓的位置關(guān)系1直線和圓的三種位置關(guān)系：(1) 相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交這時直線叫做圓的割線(2) 相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點(3) 相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直

3、線和圓相離2直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)直線與圓的位置關(guān)系能否像點與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關(guān)系下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑如果O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么要點詮釋： 這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定要點三、切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理1切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

4、.要點詮釋：切線的判定定理中強調(diào)兩點：一是直線與圓有一個交點，二是直線與過交點的半徑垂直，缺一不可.2切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.3切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.要點詮釋：切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段.4切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.要點詮釋：切線長定理包含兩個結(jié)論：線段相等和角相等.5三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.6三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫

5、做三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.要點詮釋：(1) 任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1) 到三角形三個頂點的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分BAC、A

6、BC、ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.要點四、圓和圓的位置關(guān)系1圓與圓的五種位置關(guān)系的定義兩圓外離：兩個圓沒有公共點，且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.兩圓外切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.兩圓相交：兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩圓相交.兩圓內(nèi)切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切.這個唯一的公共點叫做切點.兩圓內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含.2兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的

7、數(shù)量關(guān)系：設(shè)O1的半徑為r1，O2半徑為r2， 兩圓心O1O2的距離為d，則：兩圓外離 dr1+r2兩圓外切 d=r1+r2兩圓相交 r1-r2dr1+r2 (r1r2)兩圓內(nèi)切 d=r1-r2 (r1r2)兩圓內(nèi)含 dr1-r2 (r1r2)要點詮釋：(1) 圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點個數(shù)分類，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；(2) 內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點叫作切點；(3) 具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.【典型例題】類型一、點與圓的為位置關(guān)系1.已知O的半徑r5cm，圓心O

8、到直線的距離dOD3cm，在直線上有P、Q、R三點，且有PD4cm，QD4cm，RD4cm，P、Q、R三點與O位置關(guān)系各是怎樣的?【思路點撥】判斷點與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是計算出點與圓心的距離，再與圓的半徑比較大小，即可得出結(jié)論【答案與解析】依題意畫出圖形(如圖所示)，計算出P、Q、R三點到圓心的距離與圓的半徑比較大小連接PO，QO，RO PD4cm，OD3cm， PO 點P在O上， 點Q在O外， 點R在O內(nèi)【總結(jié)升華】本題也可以先計算出直線上的點恰好在圓上時，改點與垂足點D之間的距離，然后再比較得出結(jié)論.類型二、直線與圓的位置關(guān)系2.如圖，ABC內(nèi)接于O，D為AB延長線上一點，且DCB=A，求

9、證：CD是O的切線。 【答案與解析】如圖，作直徑CE，連結(jié)BE，則CBE=90，E=A，DCB=A，DCB=E，E+BCE=90，DCB+BCE=90，即CDEC，EC又是直徑，CD是O的切線?！究偨Y(jié)升華】證切線常用的方法是連半徑（或直徑），證垂直.舉一反三：【變式】已知:如圖，為外一點，、為的切線，和是切點，是直徑. 求證： 【答案】如圖，連接OA、AB，圓O為ABC的外接圓，BAC90度，即ACAB、為的切線，OAPA，OBPB，PA=PB，且OAOBr，OP是AB的的垂直平分線ABOPACOP(垂直同一條線的兩直線平行) 3. 如圖所示，I是ABC的內(nèi)心，A80，求BIC的度數(shù)【思路點撥

10、】根據(jù)A的度數(shù)，可以求出ABC+ACB的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，可以求出1+2的度數(shù)，進而求得BIC的度數(shù).【答案與解析】 I是ABC的內(nèi)心， 1ABC，2ACB 1+2(ABC+ACB)又 ABC+ACB180-A180-80100， BIC180-(1+2)180-50130【總結(jié)升華】 熟記結(jié)論，I是ABC的內(nèi)心，則，I是ABC的外心，則BIC2A，對解有關(guān)的填空、選擇題很方便類型三、圓與圓的位置關(guān)系4. 如圖所示，O的半徑為5，點P為O外一點，OP8求：(1)以P為圓心作P與O相切，則P的半徑為多少?(2)當P與O相交時，P的半徑的取值范圍為多少?【答案與解析】(1)當P與O外切時，則有5+r8， r3當P與O內(nèi)切時，則有r-58， r13 當r3或13時，O與P相切(2)當P與O相交時，則有| r-5|8r+5，解得3r13， 即當3r13時，P與O相交【總結(jié)升華】 兩圓相切包含兩圓外切與兩圓內(nèi)切，兩圓外切和內(nèi)切的對應(yīng)關(guān)系分別為dR+r和dR-r(Rr)，它們起著分界作用，分別是外離與相交，相交與內(nèi)