2011走向高考,賈鳳山,高中總復(fù)習,第8篇1-2.ppt

1、第二講推理與證明,重點難點 重點：掌握合情推理和演繹推理 能熟練地運用綜合法和分析法證題 難點：用綜合法、分析法、反證法證題的思路,知識歸納 1推理的概念 根據(jù)一個或幾個已知事實(或假設(shè))得出一個判斷，這種思維方式叫推理，推理一般有兩部分組成：前提和結(jié)論 推理一般分為合情推理和演繹推理兩類,(1)歸納推理 根據(jù)一類事物的部分對象具有某種特征，推出該類事物的所有對象都具有這種特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，叫做歸納推理(簡稱歸納)，歸納推理是由部分到整體，由特殊到一般的推理 歸納推理的一般步驟： 通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì) 從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜

2、想),2合情推理 前提為真時，結(jié)論可能為真的推理叫合情合理數(shù)學中常見的合情推理是歸納和類比推理,(2)類比推理 根據(jù)兩類不同對象之間具有的某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征推測另一類事物也具有這些特征的推理叫類比推理 類比推理是由特殊到特殊的一種推理形式，類比的結(jié)論可能是真的所以類比推理屬于合情推理 類比推理的一般步驟： 找出兩類對象之間的相似性或一致性 用一類對象具有某種性質(zhì)去推測另一類對象可能具有這種性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想),3演繹推理 從一般性的原理出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推導(dǎo)出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理形式稱作演繹推理演繹推理是從一般到特殊的推理 它的特征是：當前提為真時，

3、結(jié)論必然為真,(1)三段論推理 在推理中：“若bc，而ab，則ac”，這種推理規(guī)則叫三段論推理它包括： 大前提已知的一般性原理M是P 小前提所研究的特殊情況S是M 結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷S是P，三段論推理是演繹推理的一般模式 (2)假言推理 假言推理的規(guī)則是：“若pq，p真，則q真” 它的本質(zhì)是，通過驗證結(jié)論的充分條件為真，從而判斷結(jié)論為真,(3)關(guān)系推理 推理規(guī)則是：“如果aRb，bRc，則aRc”(其中R表示具有傳遞性的關(guān)系)，這種推理叫關(guān)系推理，如：由ab，bc，推出ac，若ab，bc，則ac，都是關(guān)系推理 (4)完全歸納推理 把所有情況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則叫做完全歸

4、納推理,4直接證明 直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理、法則等，直接推證結(jié)論的真實性 (1)綜合法 利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法叫做綜合法綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法 綜合法的證明步驟用符號表示是： P0(已知)P1P2Pn(結(jié)論),(2)分析法 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件或定理、定義、公理等)為止，這種證明方法稱為分析法 分析法是一種執(zhí)果索因的證明方法，用分析法證明的邏輯關(guān)系是：B(結(jié)論)B1B2BnA

5、(已知) 分析法的特點是：從“未知”看需知，逐步靠攏“已知”，其每步推理都是尋求使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后把要證明的結(jié)論歸納為判定一個明顯成立的條件為止,綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其每步推理都是尋找使每一步結(jié)論成立的必要條件,5反證法 一般地，由證明pq，轉(zhuǎn)向證明qrt，而t與已知矛盾或與某個真命題矛盾，從而判定q為假，推出q為真的證明方法叫做反證法 反證法是從否定命題的結(jié)論出發(fā)，通過正確、嚴密的邏輯推理，由此引出一個新的結(jié)論，而這個新結(jié)論與已知矛盾，從而肯定原結(jié)論是正確的一種間接證明方法 這里所謂的“與已知矛盾”主要是指： (1)與假設(shè)自相矛盾 (2)

6、與數(shù)學公理、定理、公式、法則、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾 (3)與公認的簡單事實矛盾,反證法主要適用于以下情形： 結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題； 關(guān)于唯一性、存在性的命題； 結(jié)論以“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題； 結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題； 要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰的命題 如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形,誤區(qū)警示 1用作商比較法時，要注意除式的符號，否則易出錯因為 1，若B0，有AB，但若B0，則有AB. 2分析法的過程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件,1綜

7、合法往往是分析法的逆過程，表述簡單，條理清楚，所以實際證題時，可將分析法、綜合法結(jié)合起來使用，即：分析找思路，綜合寫過程 2用反證法證題時，首先要搞清反證法證題的方法，其次注意反證法是在條件較少，不易入手時常用的方法,反證法還常常用在要證的結(jié)論中含有許多種情形，而結(jié)論的反面則有較少或僅一種情形的命題的證明中，要注意否定原命題時，要準確無誤 3在進行類比推理時要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤,解析： 在n邊形A1A2An中： (n3) 點評：歸納出的一般性結(jié)論，要能使已知的結(jié)論為其特殊情形,觀察下列已知的恒等式： 據(jù)此猜想出

8、一個一般性結(jié)論_,答案：,例2(文)在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2AC2BC2.”拓展到空間，類比平面幾何定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則_”,解析：設(shè)ABa，ACb，ADc. 三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩垂直， AB、AC、AD兩兩垂直,(理)如圖(1)，過四面體VABC的底面內(nèi)任一點O分別作OA1VA，OB1VB，OC1VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側(cè)面交點,分析：考慮平面上的類似命題：“過ABC底邊AB上任一點O分別作OA1AC，OB1

9、BC，分別交BC，AC于A1，B1，求證 為定值” 這一命題利用相似三角形的性質(zhì)很容易推出其為定值1.另外，過A，O分別作BC垂線，過B，O分別作AC垂線，則用面積法也不難證明定值為1.于是類比到空間圖形，也可用兩種方法證明其定值為1.,證明：如圖(2)，設(shè)平面OA1VABCM，平面OB1VBACN，平面OC1VCABL，則有MOA1MAV，NOB1NBV，LOC1LCN.得 在底面ABC中，由于AM，BN，CL交于一點O，,點評：(1)用現(xiàn)代的眼光看，類比就是兩個同構(gòu)關(guān)系的模型間的推理，模型間的同構(gòu)關(guān)系，即它們結(jié)構(gòu)或功能上存在的某種對應(yīng)性(相似性)，它是進行類比推理的依據(jù) (2)本例中的三角

10、形與四面體就是平面與空間中的兩個常見具有同構(gòu)關(guān)系的模型，因而四面體中的很多性質(zhì)及證明方法都可以通過三角形中的性質(zhì)及證明方法類比得到 (3)數(shù)學中其他一些常見的具有同構(gòu)關(guān)系的模型有：等式與不等式、分數(shù)與分式、橢圓與雙曲線、等差數(shù)列與等比數(shù)列、長方形與長方體、圓與球等,在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式_成立,解析：解法1：從分析所提供的性質(zhì)入手：由a100，可得aka20k0，因而當n19n時的情形. 由此可知：等差數(shù)列an之所以有等式成立的性質(zhì)，關(guān)鍵在于在等差數(shù)列中有性質(zhì)：an1a

11、19n2a100，類似地，在等比數(shù)列bn中，也有性質(zhì)：bn1b17nb1，因而得到答案：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*),解法2：因為在等差數(shù)列中有“和”的性質(zhì)a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，故在等比數(shù)列bn中，由b91，可知應(yīng)有“積”的性質(zhì)b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)成立(1) 證明如下：當n8時，等式(1)為b1b2bnb1b2bnbn1b17n 即：bn1bn2b17n1.(2) b91，bk1b17kb 1. bn1 bn2b17nb 1. (2)式成立，即(1)式成立；,當n8時，(1)式即：b91顯然成立； 當8n17時，(1)式

12、即： b1b2b17nb18nbnb1b2b17n 即：b18nb19nbn1(3) b91，b18kbkb 1 b18nb19nbnb 1 (3)式成立，即(1)式成立 綜上可知，當?shù)缺葦?shù)列bn滿足b91時，有： b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)成立 答案：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*),如圖是三個拼在一起的正方形， 求證： .,如圖，在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，點E、F分別是AB、BD的中點求證： (1)EF平面ACD； (2)平面EFC平面BCD.,證明：(1)E、F分別為AB、BD的中點，EFAD， 又AD平面ACD，EF平面ACD，EF平面A

13、CD. (2),例4在ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：ABC為等邊三角形 分析：要證明三角形ABC為正三角形，可證三條邊相等或三個角相等 證明：由A、B、C成等差數(shù)列，有2BAC. 因為A、B、C為ABC的內(nèi)角， 所以ABC.,由得，B . 由a、b、c成等比數(shù)列，有b2ac. 由余弦定理及可得， b2a2c22accosBa2c2ac. 再由得，a2c2acac. 即(ac)20，因此ac. 從而有AC. 由得，ABC . 所以ABC為等邊三角形.,例5已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，A、B、C的對邊分別為a

14、、b、c，求證： 證明：要證,0B180，只需證B60， A、B、C成等差數(shù)列，B60成立 因此原結(jié)論成立 點評：把以上各步逆寫出來就是綜合法的證題過程.,例6若p0，q2，即p2q， p3(2q)3812q6q2q3，即812q6q2(q3p3)0， 612q6q20，那么q22q10，(q1)20與(q1)20相矛盾， 故假設(shè)不成立，pq2.,點評：1.條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系不是很明顯，直接證明無從著手，可考慮使用反證法. 2反證法是常用的一種重要的思維方式和數(shù)學方法，在平面幾何、不等式及立體幾何中有著廣泛的應(yīng)用，反證法的一般步驟為： (1)反設(shè)：即作出與命題結(jié)論相反的假設(shè)； (2)歸謬

15、：將所作的假設(shè)為依據(jù)，通過嚴格的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾； (3)下結(jié)論：判斷產(chǎn)生矛盾的原因在于所作的假設(shè)是錯誤的，因此原命題正確,3正確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)，是正確運用反證法的前提，要注意一些常見結(jié)論的“否定形式”如“至少有一個”、“至多有一個”、“都是”的否定形式分別是“一個也沒有”、“至少有兩個”、“不都是” 4在推理時導(dǎo)致的矛盾是多種多樣的可能是：與已知矛盾；與公理、定義、定理、公式矛盾；也可以與反設(shè)矛盾或自相矛盾作出反設(shè)后，可把反設(shè)也當做已知條件的一部分，和原來的已知條件合并在一起，用它們的全部或部分進行推理，由于選的條件不同，得出的矛盾也不同可見矛盾是在推理過程中發(fā)現(xiàn)的，而不是推理之

16、前設(shè)計或確定的,設(shè)直線a平面，點A，Ab，ab，求證b. 證明：假設(shè)b，a，A，Aa，點A與直線a可確定一個平面，與有公共點A，必有經(jīng)過點A的交線l，a，al，又ba，bl.這與b和l有公共點A矛盾，原假設(shè)不成立，故b.,一、選擇題 1已知數(shù)列an的前n項和Snn2an(n2)，而a11，通過計算a2、a3、a4，猜想an() 答案B,解析由Snn2an知Sn1(n1)2an1 Sn1Sn(n1)2an1n2an an1(n1)2an1n2an，,2(09山東)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x) ，則f(2009)的值為() A1 B0 C1D2 答案C,解析當x1時，f(x)f(x1)f(

17、x2) f(x2)f(x3)f(x2) f(x3) f(x6)f(x6) 函數(shù)的周期T6. f(2009)f(63345)f(5)f(1)log221.,3(文)已知ab0，且ab1,0q Bpq Cpq Dpq 答案B,(理)用Maxa1，a2，an表示數(shù)集a1，a2，an中最大的一個數(shù)，則對于a0、b0且ab，設(shè)f(x) x， (),答案D,二、填空題 4如圖數(shù)表滿足：(1)第n行首尾兩數(shù)均為n；(2)表中遞推關(guān)系類似楊輝三角下一行除首尾兩數(shù)外，每一個數(shù)都是肩上兩數(shù)之和記第n(n1)行第2個數(shù)為f(n)，根據(jù)數(shù)表中上下兩行數(shù)據(jù)關(guān)系，可以得到遞推關(guān)系：f(n)_，并可解得通項f(n)_.,答

18、案f(n)f(n1)n1；f(n) 解析 觀察圖表知f(n)等于f(n1)與其相鄰數(shù)n1的和 遞推關(guān)系為f(n)f(n1)n1， f(n)f(n1)n1， 即f(2)f(1)1， f(3)f(2)2， f(4)f(3)3， f(n)f(n1)n1， 相加得f(n) .,5對于非零實數(shù)a、b，以下四個命題都成立： a 0；(ab)2a22abb2；若|a|b|，則ab；若a2ab，則ab.那么，對于非零復(fù)數(shù)a、b，仍然成立的命題的所有序號是_ 答案 解析對于，當ai時，a i ii0，故不成立對于，由復(fù)數(shù)四則運算的性質(zhì)知，仍然成立對于，取a1，bi，則|a|b|，但ab，故不成立，故填.,三、解答題 解析證法1：(作