插板法原理及應(yīng)用[分享借鑒]

1、插板法理論分析：假定M個(gè)元素，分成N組。M個(gè)元素中間有（M-1）個(gè)空，如果想分為N組的話需要插入（N-1）個(gè)木板，所以方法數(shù)為：C（M-1，N-1）；注意插板法的三要件：相同元素分配；所分組是不相同的；每組至少分到一個(gè)。插板法的三種基本形式：（1）將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法？A.21 B.28 C.32 D.48楚香凝解析：8個(gè)球中間有7個(gè)空，分到3個(gè)盒子需要插兩塊板，插板法C（7 2）=21種，選A 對(duì)于不滿足第三個(gè)條件-即“每組至少一個(gè)”的情況，要先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再使用插板法。（2）將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒

2、子至少放兩個(gè)球，一共有多少種方法？A.3 B.6 C.12 D.21楚香凝解析：先往每個(gè)盒子里提前放一個(gè)、還剩下5個(gè)；轉(zhuǎn)化為5個(gè)相同的球分到3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)，插板法C（4 2）=6種，選B（3）將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，一共有多少種方法？A.15 B.28 C.36 D.45楚香凝解析：此時(shí)因?yàn)槊總€(gè)盒子可以分0個(gè)，先讓每個(gè)盒子提供一個(gè)球給我們、分的時(shí)候再還回去；轉(zhuǎn)化為11個(gè)相同的球分到3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)，插板法C（10 2）=45種，選D此時(shí)也可以根據(jù)八個(gè)球之間9個(gè)空，兩個(gè)板子插不同的空有C（9 2）=36種、插同一個(gè)空有C（9 1）=9種，36+9

3、=45種；對(duì)比三種不同的考法，其實(shí)它們之間是存在密切聯(lián)系的。8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放0 個(gè)球，有C（10 2）種；8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，有C（7 2）種；8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放兩個(gè)球，有C（4 2）種； 這三種基本形式，要牢牢掌握。例1：某單位訂閱了30份相同的學(xué)習(xí)材料發(fā)放給3個(gè)部門，每個(gè)部門至少發(fā)放9份材料。問(wèn)共有多少種不同的發(fā)放方法？ 【國(guó)家2010】A.12 B.10 C.9 D.7楚香凝解析：每個(gè)部分先提前分8份材料，還剩下30-38=6份；相當(dāng)于6份材料分給3個(gè)部門，每個(gè)部門至少分1份，插

4、板法C（5 2）=10種，選B例2：某辦公室接到15份公文的處理任務(wù)，分配給甲、乙、丙三名工作人員處理。假如每名工作人員處理的公文份數(shù)不得少于3份，也不得多于10份，則共有（ ）種分配方式。 【廣州2014】 A.15 B.18 C.21 D.28楚香凝解析：每人先分2份、還剩下15-32=9份；相當(dāng)于9份公文分給三個(gè)人，每人至少1份、至多8份，插板法C（8 2）=28種，選D例3：某單位共有10個(gè)進(jìn)修的名額分到下屬科室，每個(gè)科室至少一個(gè)名額，若有36種不同分配方案，問(wèn)該單位最多有多少個(gè)科室？ 【黑龍江2015】A.7 B.8 C.9 D.10楚香凝解析：C（10-1，n-1）=36，代入n=

5、8滿足，選B補(bǔ)充：若問(wèn)最少有多少個(gè)科室，因?yàn)镃（9 2）=36，此時(shí)為3個(gè)科室。例4：把10個(gè)相同的球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，使得每個(gè)盒子中的球數(shù)不小于它的編號(hào)，則不同的方法有（）種。A.10 B.15 C.20 D.25楚香凝解析：第二個(gè)盒子先提前放1個(gè)球、第三個(gè)盒子先提前放2個(gè)球，還剩下10-1-2=7個(gè)球；相當(dāng)于把7個(gè)相同的球放入三個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，插板法C（6 2）=15種，選B例5：把10個(gè)相同小球放入3個(gè)不同箱子，第一個(gè)箱子至少1個(gè)，第二個(gè)箱子至少3個(gè)，第三個(gè)箱子可以放空球，有幾種情況？ A.15 B.28 C.36 D.66楚香凝解析：第二個(gè)盒子先提前放

6、2個(gè)球、從第三個(gè)盒子拿出1個(gè)球，還剩下10-2+1=9個(gè)球；相當(dāng)于把9個(gè)相同的球放入三個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，插板法C（8 2）=28種，選D例6：現(xiàn)有9塊巧克力（其中5塊有夾心），若將這些巧克力分給3個(gè)小朋友，平均每個(gè)人都有3塊，問(wèn)每個(gè)小朋友都至少分得1塊夾心巧克力的情況有多少種？ 【粉筆?？肌緼.6 B.9 C.12 D.25楚香凝解析：相當(dāng)于把5塊夾心巧克力分給3個(gè)人，每人至少1塊、至多3塊，插板法C（4 2）=6種，然后再分配非夾心巧克力使得每人恰好3塊即可，選A對(duì)于插板法的基礎(chǔ)題型來(lái)說(shuō)，最關(guān)鍵的一步就是把題中的條件轉(zhuǎn)化成插板法的標(biāo)準(zhǔn)形式，即“每組至少一個(gè)”。插板法技巧進(jìn)階篇

7、在直接使用插板法時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)不滿足題意的情況，需要減掉。例6：某單位購(gòu)買了10臺(tái)新電腦，計(jì)劃分配給甲、乙、丙3個(gè)部門使用。已知每個(gè)部門都需要新電腦,且每個(gè)部門最多得到5臺(tái)，那么電腦分配方法共有（ ）種。 【廣東2013】A.9 B.12 C.18 D.27 楚香凝解析：插板法C（9 2）=36種；然后去掉不滿足題意的情況（即有的部門多于5臺(tái)）：選一個(gè)部門C（3 1）、先分給這個(gè)部門5臺(tái)，再把剩下的5臺(tái)分給3個(gè)部門，插板法C（4 2），則不滿足題意的情況有C（3 1）C（4 2）=18種，滿足題意的情況有36-18=18種，選C例7：有3個(gè)單位共訂300份人民日?qǐng)?bào)，每個(gè)單位最少訂99份，最多1

8、01份。問(wèn)一共有多少種不同的訂法？ 【黑龍江2010】A.4 B.5 C.6 D.7楚香凝解析：解法一：分類：99+100+101的情況有A（3 3）=6種，100+100+100的情況有一種，共7種，選D解法二：每個(gè)單位先提前分98份，還剩下300-398=6份；相當(dāng)于把6份日?qǐng)?bào)分給3個(gè)單位，每個(gè)單位至少分1份、至多分3份，插板法減去有單位分到4份的情況，C（5 2）-C（3 1）=7種，選D有時(shí)直接正面使用插板法，因?yàn)樾枰獪p掉的情況比較多，可以考慮從反面入手，利用“先全部分下去再收回一部分”的思想。例3：四個(gè)小朋友分17個(gè)相同的玩具，每人至多分5個(gè)，至少分1個(gè)，那么有多少種分法？【河南招警

9、2011】A.18 B19 C20 D21楚香凝解析：每個(gè)小朋友先分5個(gè)、共分了20個(gè)，再收回20-17=3個(gè)，每人至少交回0個(gè)，插板法C（6 3）=20種，選C例4：某快問(wèn)快答節(jié)目第一關(guān)設(shè)置4道題，選手答錯(cuò)任意一題則立即停止答題。比賽規(guī)定：第一題到第四題的答題時(shí)間分別限定在10、8、6、3秒內(nèi)（選手每題的答題時(shí)間都計(jì)為整秒且至少為1秒），某位選手通過(guò)第一關(guān)，答題用時(shí)24秒，則該選手在4道題上的答題用時(shí)組合有多少種： 【粉筆?？肌緼.8 B.15 C.19 D.20楚香凝解析：總的時(shí)間上限=10+8+6+3=27秒，相當(dāng)于從27秒中去掉3秒，每題可以去0秒、第四題最多去2秒；轉(zhuǎn)化為三個(gè)名額分給

10、四道題，每道題至少分0個(gè)，再去掉三個(gè)名額都分給第四題的情況，插板法，C（6 3）-1=19種，選C如果對(duì)于以上知識(shí)都已理解，可以通過(guò)下面幾道練習(xí)題進(jìn)行鞏固。練習(xí)1：有3個(gè)單位共訂300份人民日?qǐng)?bào)，每個(gè)單位最少訂99份，最多102份。問(wèn)一共有多少種不同的訂法？ A.6 B.7 C.8 D.10楚香凝解析：每個(gè)單位先提前分98份，還剩下300-398=6份；相當(dāng)于把6份日?qǐng)?bào)分給3個(gè)單位，每個(gè)單位至少分1份、至多分4份，插板法C（5 2）=10種，選D練習(xí)2：某辦公室接到15份公文的處理任務(wù)，分配給甲、乙、丙三名工作人員處理。假如每名工作人員處理的公文份數(shù)不得少于2份，也不得多于10份，則共有多少種

11、分配方式：A.52 B.53 C.54 D.55楚香凝解析：每人先分1份、還剩下12份；相當(dāng)于把12份公文分給3個(gè)人，每人至少1份、至多9份，插板法C（11 2）=55種，去掉有人分到多于9份的情況（即10+1+1）、有C（3 1）=3種，則滿足題意的情況有55-3=52種，選A練習(xí)3：某辦公室接到18份公文的處理任務(wù)，分配給甲、乙、丙三名工作人員處理。假如每名工作人員處理的公文份數(shù)不得少于3份，也不得多于10份，則共有多少種分配方式：A.43 B.46 C.51 D.55楚香凝解析：每人先分2份、還剩下12份；相當(dāng)于把12份公文分給3個(gè)人，每人至少1份、至多8份，插板法C（11 2）=55種

12、，去掉有人分到多于8份的情況：先選一個(gè)人分給他8份，剩下的4份分給3個(gè)人，每人至少1個(gè)，有C（3 1）C（3 2）=9種，則滿足題意的情況有55-9=46種，選B練習(xí)4：某辦公室接到16份公文的處理任務(wù)，分配給甲、乙、丙、丁四名工作人員處理。假如每名工作人員處理的公文份數(shù)不得少于2份，也不得多于5份，則共有多少種分配方式：A.20 B.27 C.31 D.35楚香凝解析：每人先分5份、共分了20份，再收回4份，每人至少交出0份、至多交出3份，插板法C（7 3）=35種，去掉有人交出4份的情況C（4 1）=4種，則滿足題意的情況有35-4=31種，選C練習(xí)5：袋中有紅、白、黑三種顏色的球各10個(gè)

13、，從中抽出16個(gè)，要求三種顏色的球都有，有多少種不同的抽法？A.35 B.45 C.75 D.105 楚香凝解析：相當(dāng)于16個(gè)名額分給三種顏色，每種顏色至少一個(gè)名額，插板C（15 2）=105種；去掉某種顏色多于10個(gè)球的情況，先選一種顏色C（3 1）、先分給它10個(gè)，剩下6個(gè)名額再分給三種顏色，每種顏色至少一個(gè)名額，插板C（5 2）=10，則滿足題意的情況有105-310=75種，選C插板法技巧之比賽得分計(jì)算（1）某社區(qū)組織開(kāi)展知識(shí)競(jìng)賽，有5個(gè)家庭成功晉級(jí)決賽的搶答環(huán)節(jié)，搶答環(huán)節(jié)共5道題。計(jì)分方式如下：每個(gè)家庭有10分為基礎(chǔ)分；若搶答到題目，答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)一題扣2分；搶答不到題目不得分

14、。那么，一個(gè)家庭在搶答環(huán)節(jié)有可能獲得（ ）種不同的分?jǐn)?shù)?！緩V東2013】A.18 B.21 C.25 D.36楚香凝解析：有沒(méi)有基礎(chǔ)分并不影響得分的情況數(shù)；相當(dāng)于把5道題分給答對(duì)、答錯(cuò)、不答三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少分0道題，插板法C（7 2）=21種，選B通過(guò)分類可以看的更加清楚，答對(duì)一道和答錯(cuò)一道相差5+2=7分；搶到0道時(shí)，得分只有一種，即基礎(chǔ)分10分；搶到1道時(shí)，得分有兩種，答錯(cuò)為8分、答對(duì)為15分；搶到2道時(shí)，得分有三種，分別是6、13、20；搶到3道時(shí)，得分有四種，分別是4、11、18、25；搶到4道時(shí)，得分有五種，分別是2、9、16、23、30；搶到5道時(shí)，得分有六種，分別是0、7、

15、14、21、28、35；共1+2+3+4+5+6=21種，選B（2）某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有10道選擇題，評(píng)分辦法是答對(duì)一道得4分，答錯(cuò)一道扣1分，不答得0分。設(shè)這次競(jìng)賽最多有N種可能的成績(jī)，則N應(yīng)等于多少？ 【深圳2008】A.45 B.47 C.49 D.51楚香凝解析：相當(dāng)于把10道題分給答對(duì)、答錯(cuò)、不答三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少分0道題，插板法C（12 2）=66種，但是注意此時(shí)有些情況的得分是重復(fù)的，出現(xiàn)重復(fù)的原因是41+（-1）4=0，即答對(duì)一道+答錯(cuò)四道=不答五道=0分。如果先拿出5道題、這五道題共得了0分、而得到0分的情況有兩種，所以在對(duì)剩余的五道題進(jìn)行插板分配時(shí)C（7 2）=21，這21

16、種情況出現(xiàn)的得分跟前五道題的0分合起來(lái)，每種得分都被重復(fù)算了兩次、需要減掉一次，所以滿足題意的情況數(shù)有66-21=45種，選A也可以結(jié)合一個(gè)具體的得分進(jìn)行說(shuō)明，比如8這個(gè)得分，8=42=43+（-1）4，有兩種可能：（1）答對(duì)兩道、不答八道，（2）答對(duì)三道、答錯(cuò)四道、不答三道；兩種可能性進(jìn)行對(duì)比，消掉相同部分（答對(duì)兩道、不答三道）后，（1）不答五道，（2）答對(duì)一道、答錯(cuò)四道。這其實(shí)就是出現(xiàn)重復(fù)的根源，或者說(shuō)，對(duì)于任何一種重復(fù)得分，消掉相同部分后，剩下的部分都是不答五道=答對(duì)一道+答錯(cuò)四道，即如果先拿出五道題，對(duì)剩下五道題進(jìn)行插板，這C（7 2）=21種情況都會(huì)出現(xiàn)重復(fù)、需要減掉。（3）某測(cè)驗(yàn)包

17、含10道選擇題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為答對(duì)得3分，答錯(cuò)扣1分，不答得0分，且分?jǐn)?shù)可以為負(fù)數(shù)。如所有參加測(cè)驗(yàn)的人得分都不相同，問(wèn)最多有多少名測(cè)驗(yàn)對(duì)象？ 【浙江B2018】A.38 B.39 C.40 D.41楚香凝解析：相當(dāng)于把10道題分給答對(duì)、答錯(cuò)、不答三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少分0道題，插板法C（12 2）=66種，但是注意此時(shí)有些情況的得分是重復(fù)的，出現(xiàn)重復(fù)的原因是31+（-1）3=0，即答對(duì)一道+答錯(cuò)三道=不答四道=0分。如果先拿出4道題、這四道題共得了0分、而得到0分的情況有兩種，所以在對(duì)剩余的六道題進(jìn)行插板分配時(shí)C（8 2）=28，這28種情況出現(xiàn)的得分跟前四道題的0分合起來(lái)，每種得分都被重復(fù)算了兩

18、次、需要減掉一次，所以滿足題意的情況數(shù)有66-28=38種，選A也可以結(jié)合一個(gè)具體的得分進(jìn)行說(shuō)明，比如15這個(gè)得分，15=35=36+（-1）3，有兩種可能：（1）答對(duì)五道、不答五道，（2）答對(duì)六道、答錯(cuò)三道、不答一道；兩種可能性進(jìn)行對(duì)比，消掉相同部分（答對(duì)五道、不答一道）后，（1）不答四道，（2）答對(duì)一道、答錯(cuò)三道。這其實(shí)就是出現(xiàn)重復(fù)的根源，或者說(shuō)，對(duì)于任何一種重復(fù)得分，消掉相同部分后，剩下的部分都是不答四道=答對(duì)一道+答錯(cuò)三道，即如果先拿出四道題，對(duì)剩下六道題進(jìn)行插板，這C（8 2）=28種情況都會(huì)出現(xiàn)重復(fù)、需要減掉。對(duì)于加分和減分不互質(zhì)的情況，需要進(jìn)行一步轉(zhuǎn)化。（4）某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有10

19、道選擇題，評(píng)分辦法是答對(duì)一道得4分，答錯(cuò)一道扣2分，不答得0分。設(shè)這次競(jìng)賽最多有N種可能的成績(jī)，則N應(yīng)等于多少？ A.21 B.30 C.38 D.51楚香凝解析：相當(dāng)于把10道題分給答對(duì)、答錯(cuò)、不答三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少分0道題，插板法C（12 2）=66種，但是注意此時(shí)有些情況的得分是重復(fù)的，出現(xiàn)重復(fù)的原因是41+（-2）2=0，即答對(duì)一道+答錯(cuò)兩道=不答三道=0分。如果先拿出3道題、這三道題共得了0分、而得到0分的情況有兩種，所以在對(duì)剩余的七道題進(jìn)行插板分配時(shí)C（9 2）=36，這36種情況出現(xiàn)的得分跟前三道題的0分合起來(lái)，每種得分都被重復(fù)算了兩次、需要減掉一次，所以滿足題意的情況數(shù)有6

20、6-36=30種，選B（5）某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有10道選擇題，評(píng)分辦法是回答完全正確得5分，不完全正確得3分，完全錯(cuò)誤得0分。設(shè)這次競(jìng)賽最多有N種可能的成績(jī)，則N應(yīng)等于多少？A.30 B.38 C.45 D.60楚香凝解析：先做一步轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型。雞兔同籠思想：假設(shè)初始為30分，相當(dāng)于10道題全部不完全正確，在此基礎(chǔ)上，每對(duì)一道增加2分、每錯(cuò)一道減少3分，那么就變成了回答完全正確得2分，不完全正確得0分，完全錯(cuò)誤得-3分。插板法C（12 2）=66種，去掉重復(fù)的部分：先拿出3+2=5道題，剩下的五道題插板C（7 2）=21種，66-21=45種，選C（6）在一次數(shù)學(xué)考試中，有10道選擇題，

21、評(píng)分辦法是：答對(duì)一題得4分，答錯(cuò)一題倒扣1分，不答得0分，已知參加考試的學(xué)生中，至少有4人得分相同。那么，參加考試的學(xué)生至少有多少人？A.91 B.103 C.136 D.199楚香凝解析：先求得分情況有多少種；插板法，C（12 2）-C（7 2）=45種，抽屜原理之最不利原則，每種得分先分3個(gè)人，再分一個(gè)人必然滿足題意，453+1=136人，選D（7）學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共20道題，有20分基礎(chǔ)分，答對(duì)一題給3分，不答給0分，答錯(cuò)一題倒扣l分，若有l(wèi)978人參加競(jìng)賽，至少有多少人得分相同？A.26 B.27 C.49 D.50楚香凝解析：先求得分情況有多少種；插板法，C（22 2）-C（18

22、2）=78種，抽屜原理之平均分配問(wèn)題，197878=2528，所以每種得分先分25人，剩下的28個(gè)人也盡可能平均分配，則至少有25+1=26個(gè)人得分相同，選A（8）小梁買了一個(gè)會(huì)走路的機(jī)器貓玩具，這個(gè)機(jī)器貓只能走直線不能拐彎，并且只有向前走1cm、3cm、5cm這三種步伐。小梁可以通過(guò)遙控器控制機(jī)器貓的每一種步伐。若在小梁的控制下機(jī)器貓走了4步，該機(jī)器貓可以到達(dá)（ ）種不同的距離。A.8 B.9 C.10 D.11楚香凝解析：解法一：最少走4cm、最多走20cm，所以420之間的偶數(shù)都可以到達(dá)，選B解法二：轉(zhuǎn)化為4道題，每道題完全答對(duì)加5分、部分答對(duì)加3分、答錯(cuò)加1分，雞兔同籠轉(zhuǎn)化為完全答對(duì)加

23、2分、部分答對(duì)加0分、答錯(cuò)加-2分，插板法C（6 2）-C（4 2）=9種，選B（9）有1元、10元、100元的紙幣共60張，每種至少一張，總錢數(shù)有多少種可能？A.583 B.592 C.604 D.617楚香凝解析：轉(zhuǎn)化為完全正確得100分，不完全正確得10分，完全錯(cuò)誤得1分；利用雞兔同籠再轉(zhuǎn)化為完全正確得90分，不完全正確得0分，完全錯(cuò)誤倒扣9分；插板法C（59 2）=1711種；去掉重復(fù)的情況：1道完全正確+10道完全錯(cuò)誤=11道不完全正確，先拿出11道題，剩下的插板C（48 2）=1128種；1711-1128=583種，選A插板法技巧之常見(jiàn)應(yīng)用模型（1）方程a+b+c=10有多少組正

24、整數(shù)解？A.15 B.20 C.28 D.36楚香凝解析：相當(dāng)于把10個(gè)相同的蘋(píng)果分給三個(gè)人，每人至少一個(gè)，插板法C（9 2）=36種，選D（2）不等式a+b+c10有多少組非負(fù)整數(shù)解？A.66 B.78 C.84 D.286楚香凝解析：補(bǔ)一個(gè)字母d，轉(zhuǎn)化為a+b+c+d=10，此時(shí)a、b、c、d都是0的，相當(dāng)于把10個(gè)相同的蘋(píng)果分給四個(gè)人，每人至少0個(gè)，插板法C（13 3）=286種，選D（3）（A+B+C）10 的展開(kāi)式中共有多少項(xiàng)？A.36 B.45 C.66 D.91楚香凝解析：對(duì)于（A+B+C）10 的展開(kāi)式中的任何一項(xiàng)AxByCz，都有x+y+z=10，其中x、y、z都是0的；相當(dāng)

25、于把10個(gè)相同的蘋(píng)果分給三個(gè)人，每人至少0個(gè)，插板法C（12 2）=66種，選C（4）有10顆糖，如果每天至少吃一顆（至多不限），吃完為止，問(wèn)有多少種不同的吃法？A.144 B.217 C.512 D.640楚香凝解析：解法一：若1天吃完，只有1種；若2天吃完，插板法有C（9 1）種；若3天吃完，插板法有C（9 2）種，共C（9 0）+C（9 1）+C（9 2）+C（9 9）=29=512種，選C解法二：10顆糖之間有9個(gè)空，每個(gè)空都可以選擇是否插板，對(duì)應(yīng)的吃糖數(shù)就不同，共29=512種，選C（5）有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫(xiě)為止，如257、

26、303369、1347等等，這類數(shù)共有多少個(gè)？A.36 B.45 C.55 D.66楚香凝解析：前兩位固定，則第三位及之后的數(shù)都固定，首位+第二位9，補(bǔ)成a+b+c=9，其中b、c都可為0，插板法C（10 2）=45個(gè)，選B（6）有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之差，直至不能再寫(xiě)為止，如7523、9817、63303等等，這類數(shù)共有多少個(gè)？A.45 B.50 C.54 D.55楚香凝解析：從最后兩位考慮，若個(gè)位和十位固定，則往前依次固定，個(gè)位+十位9，補(bǔ)成a+b+c=9，其中a、b、c單獨(dú)都可為0，插板法C（11 2）=55，去掉a、b同時(shí)為0的情況，滿足題意的情

27、況有55-1=54種，選C補(bǔ)充：這類自然數(shù)中最大的為85321101（7）4位同學(xué)分五個(gè)蘋(píng)果、1個(gè)梨，每位同學(xué)至少分到一個(gè)水果，有多少種不同的分法？A.16種 B.24種 C.40種 D.48種楚香凝解析：先分梨有C（4 1）=4種，假設(shè)分給了甲；接下來(lái)把五個(gè)蘋(píng)果分給甲乙丙丁，其中甲可以分0個(gè)，插板法C（5 3）=10種；共410=40種，選C（8）5個(gè)相同的蘋(píng)果和3個(gè)相同的梨分給4個(gè)小朋友，每人至少分1個(gè)水果，有多少種分配方式？A.210 B.420 C.630 D.840楚香凝解析：解法一：先分梨，分類；（1）3個(gè)梨分給同一個(gè)人，C（4 1）=4種，假設(shè)都分給了甲；接下來(lái)5個(gè)蘋(píng)果分給甲乙丙

28、丁，乙丙丁每人至少分1個(gè)蘋(píng)果，插板法C（5 3）=10種，共410=40種；（2）3個(gè)梨分給了兩個(gè)人，C（4 2）2=12種，假設(shè)分給甲2個(gè)、乙1個(gè)；接下來(lái)5個(gè)蘋(píng)果分給甲乙丙丁，丙丁每人至少分1個(gè)蘋(píng)果，插板法C（6 3）=20種，共1220=240種；（3）3個(gè)梨分給了兩個(gè)人，C（4 3）=4種，假設(shè)分給甲乙丙各1個(gè)；接下來(lái)5個(gè)蘋(píng)果分給甲乙丙丁，丁至少分1個(gè)蘋(píng)果，插板法C（7 3）=35種，共435=140種；共40+240+140=420種，選B解法二：直接容斥，蘋(píng)果和梨分別插板-至少1人沒(méi)分到+至少2人沒(méi)分到-至少3人沒(méi)分到=C（8 3）C（6 3）-C（4 1）C（7 2）C（5 2）+

29、C（4 2）C（6 1）C（4 1）-C（4 3）=420種，選B（9）有一個(gè)兩位數(shù)A，將其個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互換得到與之不同的兩位數(shù)B，再將A和B相加，結(jié)果仍為一個(gè)兩位數(shù)。問(wèn)這樣的兩位數(shù)A有多少個(gè)？ 【粉筆?？肌緼.9 B.32 C.36 D.64楚香凝解析：ab+ba=11（a+b），則2a+b10，補(bǔ)上百位、用百位去湊滿10；相當(dāng)于把10個(gè)名額分給百十個(gè)位，每位至少分1個(gè)名額，插板法C（9 2）=36種，去掉a=b的四種（11、22、33、44），滿足題意的有36-4=32個(gè)，選B（10）小明將一顆質(zhì)地均勻的正六面體骰子，先后拋擲2次，兩次點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率是多少？ 【粉筆事業(yè)?？肌緼

30、.1/6 B.5/18 C.5/6 D.13/18楚香凝解析：總情況數(shù)有66=36種；不滿足題意的情況數(shù)，兩次點(diǎn)數(shù)和6，相當(dāng)于6個(gè)名額分給三個(gè)人，每個(gè)人至少分1個(gè)，插板法C（5 2）=10種，概率=（36-10）/36=13/18，選D插板法技巧應(yīng)用之取球問(wèn)題（1）箱子里有大小相同的3種顏色玻璃珠各若干顆，每次從中摸出3顆為一組，問(wèn)至少要摸出多少組，才能保證至少有2組玻璃珠的顏色組合是一樣的？ 【聯(lián)考2014】A.11 B.15 C.18 D.21楚香凝解析：相當(dāng)于三個(gè)名額分給3種顏色，每種顏色至少分0個(gè)，插板法C（5 2）=10種，抽屜原理，10+1=11種，選A剛學(xué)插板法時(shí)應(yīng)用起來(lái)不熟練，

31、為了更加便于記憶，特做如下總結(jié)：三種顏色的球各一顆，取三顆，有C（3 ，3）=1種取法。三種顏色的球足夠多，取三顆，【取三補(bǔ)二】，有C（3+2，3）=C（5 3）=10種取法。n種顏色的球足夠多，取m顆，【取m補(bǔ)m-1】，有C（n+m-1，m）種取法。（2）從5個(gè)相同的蘋(píng)果、6個(gè)相同的橘子、7個(gè)相同的香蕉中取4個(gè)水果，有多少種取法？A.15 B.20 C.35 D.3060楚香凝解析：相當(dāng)于四個(gè)名額分給3種水果，每種水果至少分0個(gè)，插板法C（6 2）=15種，選A（3）一個(gè)袋里有四種不同顏色的小球若干個(gè)，每次摸出兩個(gè)，要保證有10次所摸的結(jié)果是一樣的，至少要摸多少次？A.55 B.87 C.4

32、1 D.91楚香凝解析：解法一：相當(dāng)于兩個(gè)名額分給4種顏色，每種顏色至少分0個(gè)，插板法C（5 3）=10種，抽屜原理，每種情況分9次，此時(shí)剛好不滿足題意，再分一次必然滿足，109+1=91次，選D解法二：四種顏色的球足夠多、取兩個(gè)，取2補(bǔ)1，C（4+1，2）=10種，抽屜原理，每種情況分9次，此時(shí)剛好不滿足題意，再分一次必然滿足，109+1=91次，選D（4）有四種顏色的文件夾若干，每人可任取12個(gè)文件夾，如果要保證有3人取到完全一樣的文件夾，則至少應(yīng)該有（ ）人去取。 【天津2017】A.18 B.20 C.21 D.29楚香凝解析：解法一：四種顏色的文件夾足夠多，取1個(gè)有C（4 1）=4種

33、、取兩個(gè)有C（4+1，2）=10種，所以共4+14=14種情況，每種情況先分2個(gè)人，此時(shí)剛好不滿足題意，再分一個(gè)人必然滿足，142+1=29次，選D解法二：補(bǔ)上第五種顏色，不論前四種顏色總共取了幾個(gè)，用第五種去湊滿2個(gè)（注意取的2個(gè)不能都是第五種顏色）；相當(dāng)于五種顏色的文件夾足夠多，取2個(gè)有C（5+1，2）-1=14種情況，每種情況先分2個(gè)人，此時(shí)剛好不滿足題意，再分一個(gè)人必然滿足，142+1=29次，選D（5）某公司年終晚會(huì)有一節(jié)目：A、B、C三種盒子各有若干，盒子裝有各種小獎(jiǎng)品。每人最多拿3個(gè)，也可以不拿。321名員工全部選擇后，主持人將所拿盒子數(shù)量與種類完全相同的員工分為一組。則人數(shù)最多

34、的一組至少有多少名員工： 【粉筆?？肌?A.16 B.17 C.29 D.28楚香凝解析：補(bǔ)上D種盒子，不論前三種盒子總共取了幾個(gè)，用D種盒子去湊滿3個(gè)；相當(dāng)于四種盒子足夠多，從中取三個(gè)，有C（4+2，3）=20種；抽屜原理，32120=161，人數(shù)最多的組至少有16+1=17名員工，選B（6）袋中有紅、白、黑三種顏色的球各10個(gè)，從中抽出16個(gè)，要求三種顏色的球都有，有多少種不同的抽法？A.35 B.45 C.75 D.105 楚香凝解析：16個(gè)名額分到紅白黑三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)、至多10個(gè)，插板法C（15 2）=105種；去掉有箱子多于10個(gè)的情況: 先選一個(gè)箱子C（3 1）=3，提前分10個(gè)給這個(gè)箱子，剩下六個(gè)名額分三個(gè)箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)，插板法C（5 2）=10種；滿足題意的方法有105-310=75種，選D插板法技巧應(yīng)用之?dāng)?shù)碼和篇（1）在1999這999個(gè)數(shù)中，數(shù)碼和是9的數(shù)有多少個(gè)？（比如36，數(shù)碼和3+6=9）A.36 B.45 C.55 D.66楚香凝解析：相當(dāng)于把9個(gè)名額分到百位、十位、個(gè)位，每位至少分0個(gè)名額