中考數(shù)學圓知識點精講(打印)

1、圓知識點一、圓的定義及有關概念1、圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。2、有關概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。連接圓上任意兩點間的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長的弦。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。例 P為O內一點，OP=3cm，O半徑為5cm，則經(jīng)過P點的最短弦長為_；最長弦長為_解題思路：圓內最長的弦是直徑，最短的弦是和OP垂直的弦，.知識點二、平面內點和圓的位置關系平面內點和圓的位置關系有三種：點在圓外、點在圓上、點在圓內當點在圓外時，dr；反過來，當dr時，點

2、在圓外。當點在圓上時，dr；反過來，當dr時，點在圓上。當點在圓內時，dr；反過來，當dr時，點在圓內。例 如圖，在中，直角邊，點，分別是，的中點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，則點在圓A的_，點在圓A的_解題思路：利用點與圓的位置關系練習：在直角坐標平面內，圓的半徑為5，圓心的坐標為試判斷點與圓的位置關系知識點三、圓的基本性質1圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對的弧。3、圓具有旋轉對稱性，特別的圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心。圓心角定理：在同圓或等圓中，如果

3、兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。4、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。圓周角定理推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。圓周角定理推論：直徑所對的圓周角是直角；的圓周角所對的弦是直徑。例1 如圖，在半徑為5cm的O中，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長是（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm例2、如圖，A、B、C、D是O上的三點，BAC=30，則BOC的大小是( )A、60 B、45 C、30 D、15例3、如圖1和圖2，MN是O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點P，APM=CPM（1）由以上條

4、件，你認為AB和CD大小關系是什么，請說明理由（2）若交點P在O的外部，上述結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由 (1) (2) 解題思路：（1）要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對的圓心角相等 解：（1）AB=CD 理由： （2）作OEAB，OFCD，垂足為E、F 例4如圖，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關系？為什么？ 解題思路：BD=CD，因為AB=AC，所以這個ABC是等腰，要證明D是BC的中點，只要連結AD證明AD是高或是BAC的平分線即可 解：BD=CD 理由是：知識點四、圓與三角形的關系1、不在同一條直線上的三個

5、點確定一個圓。2、三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓。3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點，即三角形外接圓的圓心。4、三角形的內切圓：與三角形的三邊都相切的圓。5、三角形的內心：三角形三條角平分線的交點，即三角形內切圓的圓心。例1 如圖，通過防治“非典”，人們增強了衛(wèi)生意識，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖2449所示，A、B、C為市內的三個住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見，要使得回收站建在三個小區(qū)都相等的某處，請問如果你是工程師，你將如何選址解題思路： 連結AB、BC，作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點即為垃圾回收站所在的

6、位置例2 如圖，點O是ABC的內切圓的圓心，若BAC=80，則BOC=（ ）A130 B100 C50 D65例3 如圖，RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，則它的外心與頂點C的距離為（ ）A5 cm B2.5cm C3cm D4cm解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊的中點 知識點五、直線和圓的位置關系：相交、相切、相離當直線和圓相交時，dr；反過來，當dr時，直線和圓相交。當直線和圓相切時，dr；反過來，當dr時，直線和圓相切。當直線和圓相離時，dr；反過來，當dr時，直線和圓相離。切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的直徑切線的判定定理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的

7、直線是圓的切線。切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點到切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和圓外這點的連線平分兩條切線的夾角。例1、 在中，BC=6cm，B=30，C=45，以A為圓心，當半徑r多長時所作的A與直線BC相切？相交？相離？解題思路：例2如圖，AB為O的直徑，C是O上一點，D在AB的延長線上，且DCB=A（1）CD與O相切嗎？如果相切，請你加以證明，如果不相切，請說明理由（2）若CD與O相切，且D=30，BD=10，求O的半徑 解題思路：（1）要說明CD是否是O的切線，只要說明OC是否垂直于CD，垂足為C，因為C點

8、已在圓上 由已知易得：A=30，又由DCB=A=30得：BC=BD=10 解：知識點六、圓與圓的位置關系重點：兩個圓的五種位置關系中的等價條件及它們的運用難點：探索兩個圓之間的五種關系的等價條件及應用它們解題外離：兩圓沒有公共點，一個圓上所有的點都在另一個圓的外部相離：內含：兩圓沒有公共點，一個圓上所有的點都在另一個圓的內部相切：外切：兩圓只有一個公共點，除公共點外一個圓上所有的點都在另一個圓的外部內切：兩圓只有一個公共點，除公共點外一個圓上所有的點都在另一個圓的內部相交：兩圓只有兩個公共點。設兩圓的半徑分別為r1、r2，圓心距（兩圓圓心的距離）為d，則有兩圓的位置關系，d與r1和r2之間的關

9、系 外離dr1+r2 外切d=r1+r2 相交r1r2dr1+r2 內切d=r1r2 內含0dr1r2（其中d=0，兩圓同心）例1兩個同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示（點O，O是圓心），分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求TPN的大小 （1） (2) 解題思路：要求TPN，其實就是求OPO的角度，很明顯，POO是正三角形，如圖2所示 解： 例2如圖1所示，O的半徑為7cm，點A為O外一點，OA=15cm，求：（1）作A與O外切，并求A的半徑是多少？ (1) (2)(2）作A與O相內切，并求出此時A的半徑 解題思路：（1）作A和O外切，就是作以A為圓心的

10、圓與O的圓心距d=rO+rA；（2）作OA與O相內切，就是作以A為圓心的圓與O的圓心距d=rArO例3如圖所示，點A坐標為（0，3），OA半徑為1，點B在x軸上 （1）若點B坐標為（4，0），B半徑為3，試判斷A與B位置關系；_A_y_x_O （2）若B過M（2，0）且與A相切，求B點坐標知識點七、正多邊形和圓重點：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系難點：使學生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系正多邊形的中心：所有對稱軸的交點； 正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。正多邊形的邊心距：正多邊形內切圓的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對

11、的圓心角。正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，每個等腰三角形又被相應的邊心距分成兩個全等的直角三角形。例1如圖，已知正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積解題思路：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應與半徑掛上鉤，很自然應連接OA，過O點作OMAB垂于M，在RtAOM中便可求得AM，又應用垂徑定理可求得AB的長正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的解：例2在直徑為AB的半圓內，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個內接于ABC的矩形水池DE

12、FN，其中D、E在AB上，如圖2494的設計方案是使AC=8，BC=6（1）求ABC的邊AB上的高h（2）設DN=x，且，當x取何值時，水池DEFN的面積最大？（3）實際施工時，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點185的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護大樹，請設計出另外的方案，使內接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹 解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學的知識，應用配方法求最值（3）的設計要有新意，應用圓的對稱性就能圓滿解決此題 解：知識點八、弧長和扇形、圓錐側面積面積重點：n的圓心角所對的弧長L=，扇形面

13、積S扇=、圓錐側面積面積及其它們的應用難點：公式的應用1n的圓心角所對的弧長L=2圓心角為n的扇形面積是S扇形=3.全面積是由側面積和底面圓的面積組成的，所以全面積=rL+r2例1操作與證明：如圖所示，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點旋轉，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a解題思路：如圖所示，不妨設扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點M、N，連結OA、OD 四邊形ABCD是正方形 OA=OD，AOD=90，MAO=NDO， 又MON=90，AOM=DON AMODNO AM=DN AM+AN

14、=DN+AN=AD=a特別地，當點M與點A（點B）重合時，點N必與點D（點A）重合，此時AM+AN仍為定值a故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a例2已知扇形的圓心角為120，面積為300cm2 （1）求扇形的弧長； （2）若將此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的軸截面面積為多少？ 解題思路：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得（2）若將此扇形卷成一個圓錐，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長，就可求圓的半徑，其截面是一個以底是直徑，圓錐母線為腰的等腰三角形解：考查目標一、主要是指圓的基礎知識，包括圓的對稱性，圓心角與弧、弦之間的相等關系，圓周角與圓心角之間的關系，直徑所對的圓周角是直角，以及

15、垂徑定理等內容。這部分內容是圓的基礎知識，學生要學會利用相關知識進行簡單的幾何推理和幾何計算例1、如圖，AB是O的直徑，BC是弦，ODBC于E，交于D (1)請寫出五個不同類型的正確結論； (2)若BC=8，ED2，求O的半徑解題思路：運用圓的垂徑定理等內容解：例2.已知：如圖等邊內接于O，點是劣弧PC上的一點（端點除外），延長至，使，連結（1）若過圓心，如圖，請你判斷是什么三角形？并說明理由（2）若不過圓心，如圖，又是什么三角形？為什么？AOCDPB圖AOCDPB圖解題思路：（1）為等邊三角形 理由：例3.(1)如圖OA、OB是O的兩條半徑，且OAOB，點C是OB延長線上任意一點：過點C作C

16、D切O于點D，連結AD交DC于點E求證：CD=CE (2)若將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動交OA于F，交O于B，其他條件不變，那么上述結論CD=CE還成立嗎?為什么?(3)若將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動到O外的CF，點E是DA的延長線與CF的交點，其他條件不變，那么上述結論CD=CE還成立嗎?為什么 解題思路：本題主要考查圓的有關知識，考查圖形運動變化中的探究能力及推理能力 解答：(1)證明：連結OD 則ODCD，CDE+ODA=90 (2)CE=CD仍然成立 (3)CE=CD仍然成立 考查目標二、主要是指點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系以及圓與圓的位置關系的相關內容。學生要

17、學會用動態(tài)的觀點理解和解決與圓有關的位置關系的問題。例1、是O的直徑，切O于，交O于，連ABCPO若，求的度數(shù)解題思路：運用切線的性質 .切O于是O的直徑， ，例2.如圖，四邊形內接于O，是O的直徑，垂足為，平分（1）求證：是O的切線；DECBOA（2）若，求的長解題思路：運用切線的判定（1）證明：連接，平分， DECBOA，是O的切線 （2）是直徑， 平分， 在中，在中，的長是1cm，的長是4cm考查目標三、主要是指圓中的計算問題，包括弧長、扇形面積，以及圓柱與圓錐的側面積和全面積的計算，這部分內容也是歷年中考的必考內容之一。學生要理解圓柱和其側面展開圖矩形、圓錐和其側面展開圖扇形之間的關系

18、。例1、如圖，已知在O中，AB=，AC是O的直徑，ACBD于F，A=30.(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑.解題思路：（1）法一：過O作OEAB于E，則AE=AB=2。 FE在RtAEO中，BAC=30，cos30=OA=4 又OA=OB，ABO=30BOC=60ACBD，COD =BOC=60BOD=120FS陰影= 法二：連結AD ACBD，AC是直徑，AC垂直平分BD。 AB=AD，BF=FD，。BAD=2BAC=60，BOD=120 BF=AB=2，sin60=， AF=ABsin60=4=6。OB2=BF2+OF2即OB=4S陰影=S圓=。 法三：連結BC AC為O的直徑， ABC=90。FAB=4， A=30， ACBD， BOC=60，BOD=120S陰影=OA2=42=。 以下同法一。（2）設圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2r， O