八年級(jí)下冊(cè)第4章因式分解單元測(cè)試題因式分解專題5_因式分解小結(jié)(含答案)

1、5、因式分解小結(jié)【知識(shí)精讀】因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式， 它和整式乘法互為逆運(yùn)算， 在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用， 在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用， 學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)， 應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。1. 因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；3. 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；4. 公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式；6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；7. 因式分解的一般步驟是：（ 1）通常采用一“提” 、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能

2、否直接利用乘法公式； 如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法， 分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；（ 2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法；下面我們一起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容?！痉诸惤馕觥?. 通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的例 1. 分解因式 x 5x 4x 3x 2x 1分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把x 5x 4x 3和x2x1 分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式， 提取公因式后， 再進(jìn)一步分解； 也可把 x 5x 4 ，x 3x 2 ，x 1 分別看成一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再

3、進(jìn)行分解。解一：原式( x 5x 4x 3 ) ( x 2x)1x3 (x 2x 1) ( x2x 1)( x 31)( x2x 1)( x1)( x21)(x21)xx第 1頁(yè)共 7頁(yè)解二：原式=( x5x 4 )(x 3x2 )(x)1x4 (x 1)x 2 ( x1)( x1)( x1)( x 4x1)( x421)21)( x2xx( x1)( x 2x 1)( x 2x1)2. 通過變形達(dá)到分解的目的例 1.分解因式 x 3x243解一：將 3x2 拆成 2x 2x2 ，則有原式x 32x 2( x 24)x 2 (x2)(x2)( x2)( x2)( x 2x2)2( x 1)(

4、x 2)解二：將常數(shù)4 拆成13 ，則有原式x 31( 3x 23)( x1)( x2x1)(x1)(3x 3)( x1)( x24 x4)( x1)( x22)3. 在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項(xiàng)式(x 24)( x 210x21)100 的值一定是非負(fù)數(shù)分析： 現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：( x24)( x210x)10021(x2)( x 2)( x3)( x7)100(x2)( x 7)( x2)( x3)100(x 25x14)( x 25x6)100設(shè) yx25x ，則原式( y14)(y6)100

5、y 28y 16 ( y 4) 2無論 y取何值都有 ( y4) 20(x 24)( x 210x21)100的值一定是非負(fù)數(shù)第 2頁(yè)共 7頁(yè)4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式： (a2 bc) 3(ab) 3(b c)3分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c 與 a+2b+c 的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。解：設(shè) a+b=A ， b+c=B ， a+2b+c=A+B原式 (AB) 3A 3B 3A 33A 2 B3AB 2B3A 3B 33A 2 B3AB 23AB ( A B)3(ab)( bc)( a2 bc)說明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對(duì)原式進(jìn)行“代換

6、”是很重要的。中考點(diǎn)撥：例 1.在ABC中，三邊 a,b,c 滿足 a2b2c26abbc16100求證： ac2b證明：a2b2c2abbc016610a26ab 9 b2c210bc25b20即 (a3b) 2(c 5b) 20(a 8bc)( a2 bc)0abca8b，即a8bc 0c于是有 a2 bc0即 a c 2b說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分。例 2. 已知： x1，則x31_x2x 3解： x 3 1( x1)( x 211)x3xx(x1 )( x1 ) 22 1xx212說明：利用 x21(x1) 22 等式化繁為易。x 2x第 3頁(yè)共

7、 7頁(yè)題型展示：1. 若 x 為任意整數(shù)，求證：(7 x)( 3 x)(4 x2 ) 的值不大于 100。解： (7)(3x)( 4x2 )100x( x7)(x2)( x3)( x 2) 100( x 25x14)( x25x6) 100( x 25x)8( x 25x)16( x 25x4) 20(7 x )( 3 x)( 4 x2 ) 100說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個(gè)多項(xiàng)式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。2. 將 a 2(a1) 2( a2a) 2 分解因式，并用分解結(jié)果計(jì)算 627 2422 。解

8、： a 2( a1) 2(a2a) 2a2a 22a1 (a 2a) 22( a 2a) 1(a 2a) 2(a 2a1) 2627 2422(3661) 24321849說明：利用因式分解簡(jiǎn)化有理數(shù)的計(jì)算?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1. 分解因式：（ ）3x510x48x33x210x 81（ 2）(a 23a3)( a23a1)5（ ）x22xy3y23x5y23（ 4）x3 7x 62. 已知： x y 6，xy，求：x3y3的值。1第 4頁(yè)共 7頁(yè)3. 矩形的周長(zhǎng)是28cm，兩邊 x,y 使 x 3x 2 yxy 2y 30 ，求矩形的面積。4. 求證： n35n是 6 的倍數(shù)。（其中 n 為整數(shù)）

9、5. 已知：a、b、c 是非零實(shí)數(shù)， 且 a2b2 c21，a( 11)b( 11)c( 11) 3 ，求 a+b+cbccaab的值。6. 已知： a、 b、 c 為三角形的三邊，比較a2b2c2 和 4a2 b 2 的大小?！驹囶}答案】1. （ 1）解： 原式 x3 (3x210x8)(3x210x 8)( x31)(3x 210x8)( x1)( x2x1)( x4)(3x2)第 5頁(yè)共 7頁(yè)（ 2）解：原式( a 2a)( a 2a)53331(a 23a) 22( a 23a)8(a 23a 4)( a 23a2)(a4)( a1)( a1)( a2)（ 3）解： 原式( x3y)(

10、 xy)3x 5y 2(x3y1)(xy2)x-3y1x+y2（ 4）解：原式736376xxx7x 37x6x367x( x 21)6( x31)7x( x 1)(x1)6(x1)( x 2x 1)(x1)( 7x 27x6x 26x6)(x1)( x 2x6)(x1)( x3)(x2)2. 解：x 2y2( x y) 22xy36238x3y 3( x y)( x 2xy y 2 )6(381)2343. 解： x 3x2 y xy 2y30(x 3y3 )xy (xy)0即 (xy) 2 (x y)0xy0又xy14xy7面積為 49cm 24. 證明： n3 5nn 3n6nn( n1

11、)( n1)6n第 6頁(yè)共 7頁(yè)當(dāng) n為整數(shù)時(shí)， n(n 1)( n 1) 是 6的倍數(shù)。n35n是 6的倍數(shù)5. 解：abc0， 用 abc 乘以第二個(gè)條件等式的兩邊，得：a 2ca2bab2b2 cbc 2ac 23abc即 ab( ab)bc(bc)ac( ac)abcabcabc0(abc)( abbcac)0則 abc0或 abbcac0若 ab bc ac 0則(abc) 2( a2b2c 2 ) 2(ab bc ac) 0a 2b 2c 21(abc) 21abc1說明：因式分解與配方法是代數(shù)式化簡(jiǎn)與求值中常用的方法和手段，應(yīng)當(dāng)熟練掌握。6. 分析：比較兩式大小最基本的方法是作差看它們與零的大小。解：(a 2b 2c2 )2a 2