數(shù)學教學活動設計

1、數(shù)學教學活動設計 課時劃分和確定課的類型、選擇數(shù)學教學模式、設計課堂教學過程，這些對于數(shù)學課堂教學設計來說，是整體的設計。在完成整堂課的總體設計以后，還必須對數(shù)學教學過程中的每一個階段、每一項具體教學活動進行設計。如導入設計、情境設計、提問設計、例題設計、練習設計、討論設計和小結(jié)設計等。下面我們分別加以說明。 一、導入設計 1.導入概述 導入是在新的教學內(nèi)容或教學活動開始前，引導學生進入學習狀態(tài)的教學行為方式。它是課堂教學的序幕，也是課堂教學的重要環(huán)節(jié)。常言道：“良好的開端是成功的一半?！本实膶肟梢詾檎谜n的教學奠定良好的基礎。導入的功能主要表現(xiàn)在以下幾個方面： 引起學生注意，使學生進入學

2、習情境。 激發(fā)學習興趣和學習動機。 明確學習目的，調(diào)動學生學習的積極性。 建立知識之間相互聯(lián)系，為學習新的內(nèi)容作好準備。 導入新課一般應遵循以下幾個原則： 明確目的。導入新課一定要圍繞教學目標和教學內(nèi)容，從學生實際出發(fā)。 短小精悍。導入新課要簡潔明快、直截了當，達到目的即進入正題。切忌拖拉，影響新課的講授。 別致新穎。導入新課要有新意，才能引起學生濃厚的學習興趣和強烈的求知欲望。案例 在講“合并同類項”時，用考一考老師的活動引入。“請你任意說出一個一至兩位整數(shù)考一考老師是否能很快地說出代數(shù)式-81x2+6x+2x2-3x+79x2的值”，一改過去只有教師考學生的方式，充分調(diào)動了學生的參與積極性

3、，激發(fā)了他們的求知欲，讓學生在愉快的氛圍中感悟知識的生成、發(fā)展和變化。 因課制宜。導入新課要根據(jù)不同的教學內(nèi)容采用不同的方法，具體情況具體分析。 2導入的方法 數(shù)學課的導入方法多種多樣，在進行課堂教學設計時，要根據(jù)教學的目標和內(nèi)容靈活運用，常用的導入方法有以下幾種： (1)實例導入。由于數(shù)學在生產(chǎn)和生活實際中有廣泛的應用，很多數(shù)學概念、定理、公式和法則都來自于實踐，與日常生產(chǎn)和生活有密切的聯(lián)系，因此可以選取一些生動形象的實際例子來引入數(shù)學知識，既可以激發(fā)學生學習興趣和學習動機，又符合學生從實踐到理論、從感性知識到理性知識的認識規(guī)律。 例如，學習方差的概念，可以這樣設計導入的： 首先提出以下實際

4、問題讓學生思考： 某市農(nóng)科所培育了“一品紅l號”和“一品紅2號”兩個柑桔新品種，對試種的兩種桔樹各抽10株進行統(tǒng)計，結(jié)果如下(單位：千克株)：一品紅l號50475l53475053475349一品紅2號50504950495250505049試求這兩個新品種每株桔樹的平均產(chǎn)量。從高產(chǎn)、穩(wěn)產(chǎn)考慮，上述兩個品種哪個優(yōu)良?學生無法比較，引導學生觀察下列圖形：為了更清楚地進行觀察，將以上兩個圖形改進為以下兩個圖形：通過觀察，發(fā)現(xiàn)兩個品種產(chǎn)量的穩(wěn)定性是不一樣的，說明只用平均產(chǎn)量不能判定哪種品種好，還需了解產(chǎn)量的穩(wěn)定性，有必要引入方差的概念。(2)直觀導入。在學習新課題之前，先讓學生觀察實物、標本、模型、

5、圖表；幻燈、投影或電影錄像等，引起學生的興趣，學生通過直觀形象演示操作，感知數(shù)學知識，從而導入新課。案例26 數(shù)學課上通過紙板三角形三個角的剪貼讓學生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論三角形三內(nèi)角之和等于180。，然后，教師對此結(jié)論進行研究，這就導入了新課；再如，在學習“二面角”時，讓學生把書打開，使學生看到書兩部分所成的角，對“二面角”有一個直接的感性認識，使這節(jié)課研究“二面角”很方便。 例如，軸對稱的概念的導入可以這樣來進行設計： 教師出示如下圖的三組教具，讓學生觀察并回答下列問題： 每組中的兩個三角形的形狀、大小有什么關系? 每組中一個三角形通過怎樣的運動，可以得到另一個三角形? 讓學生進行具體操作，從一個

6、三角形運動到另一個三角形。指到。對稱有兩種：軸對稱和中心對稱，圖4-7(b)是軸對稱，從而引入 軸對稱的概念。 (3)實驗導入。教師設計一些帶有啟發(fā)性、趣味性的實驗，通過演示或讓學生動手進行操作，揭示事物的發(fā)生、發(fā)展過程，或發(fā)現(xiàn)數(shù)學的結(jié)論，由此導入課題。這種導入方法，既可以激發(fā)學生的思維活動，又可以活躍課堂的氣氛，產(chǎn)生很好的教學效果。 例如，江蘇省南京師范大學附中馬明老師在教“球的體積”時，先 做一個實驗：取一個半徑為R的到。對稱有兩種：軸對稱和中心對稱，圖4-7(b)是軸對稱，從而引入 軸對稱的概念。 (3)實驗導入。教師設計一些帶有啟發(fā)性、趣味性的實驗，通過演示或讓學生動手進行操作，揭示事

7、物的發(fā)生、發(fā)展過程，或發(fā)現(xiàn)數(shù)學的結(jié)論，由此導人課題。這種導入方法，既可以激發(fā)學生的思維活動，又可以活躍課堂的氣氛，產(chǎn)生很好的教學效果。 例如，江蘇省南京師范大學附中馬明老師在教“球的體積”時，先 做一個實驗：取一個半徑為R的到。對稱有兩種：軸對稱和中心對稱，圖4-7(b)是軸對稱，從而引入 軸對稱的概念。 (3)實驗導入。教師設計一些帶有啟發(fā)性、趣味性的實驗，通過演示或讓學生動手進行操作，揭示事物的發(fā)生、發(fā)展過程，或發(fā)現(xiàn)數(shù)學的結(jié)論，由此導人課題。這種導入方法，既可以激發(fā)學生的思維活動，又可以活躍課堂的氣氛，產(chǎn)生很好的教學效果。 例如，江蘇省南京師范大學附中馬明老師在教“球的體積”時，先 做一個

8、實驗：取一個半徑為R的出圖4-7(a)可以通過平移得到，圖4-7(b)和4-7(c)可以通過對稱得到。對稱有兩種：軸對稱和中心對稱，圖4-7(b)是軸對稱，從而引入軸對稱的概念。 (3)實驗導入。教師設計一些帶有啟發(fā)性、趣味性的實驗，通過演示或讓學生動手進行操作，揭示事物的發(fā)生、發(fā)展過程，或發(fā)現(xiàn)數(shù)學的結(jié)論，由此導人課題。這種導入方法，既可以激發(fā)學生的思維活動，又可以活躍課堂的氣氛，產(chǎn)生很好的教學效果。例如，江蘇省南京師范大學附中馬明老師在教“球的體積”時，先做一個實驗：取一個半徑為R的半球容器，再取半徑和高都是R 的圓桶和圓各一個。把圓錐放 人圓桶內(nèi)，再將半球容器裝滿細，然后把半球容器內(nèi)的細沙

9、倒入圓桶內(nèi)，發(fā)現(xiàn)圓桶恰好被細沙裝滿(如圖4-8)?？梢缘贸鲇纱藢肭虻捏w積公式，下面進一步加以證明。案例 在教“長方體和正方體的體積”時，我讓學生把預先做好的8個1 cm。的正方體積木拿出來，讓他們用這些小積木各自擺長方體和正方體。然后提出如下問題：你擺成的長方體或正方體的體積是多少?你是怎樣知道的?你擺成的長方體或正方體的長、寬、高各是多少?你是怎樣知道的?體積的長、寬、高有什么聯(lián)系?這樣導入新課，能激發(fā)學生探索知識形成的全過程的興趣。(4)舊知識導人。這是常用的導人方法。在學習新知識前，先復習舊知識，在舊知識的基礎上，引導學生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題，從已知的領域進入未知的境界，從而引入新知識。

10、 例如學習平行線分線段成比例定理時，先復習平行線等分線段定理，然后在此基礎上提出：等分線段是兩線段的比等于l，如果兩線段的比不等于l，可以得到什么結(jié)論?由此引入平行線分線段成比例定理。 5)懸念導人。懸念導入是利用一些暫時懸而未決的問題，與學生已有觀念造成的認知沖突來導入新課的方法。這種導入方法使學生置身于認知矛盾之中，激起他們解決矛盾的強烈愿望，促使他們積極主動地學習新的數(shù)學知識。 例如在學習復數(shù)三角形式時，先讓學生計算、，然后問學生等于多少?學生一下子無法回答，形成了一個懸念。這時教師就指出：如果學了復數(shù)三角形式，這個問題就迎刃而解了，于是引入了復數(shù)三角形式。 (6)類比導人。類比導入是通

11、過比較兩個數(shù)學對象的共同屬性來引入新課的方法。已知的數(shù)學對象比較熟悉，新的數(shù)學對象通過與已知的數(shù)學對象類比，引入就比較自然。 例如在進行分式基本性質(zhì)教學時，可以先復習分數(shù)的基本性質(zhì)，然后通過類比導入分式的基本性質(zhì)。 (7)故事導入。中學生都愛聽有趣的故事，在數(shù)學發(fā)展歷史中有許多動人的故事，通過講故事導入，可以使學生對所學內(nèi)容產(chǎn)生濃厚的興趣，激起強烈的求知欲望。而且很多數(shù)學故事還蘊含著數(shù)學思想方法，對培養(yǎng)數(shù)學意識、數(shù)學觀念很有好處，同時又可以對學生進行思想品德教育，培養(yǎng)學生愛國主義精神。 例如，在學習等比數(shù)列時，常常講下列的故事：從前有一個國王，因為大臣有功而給予獎勵，問大臣要什么獎勵?大臣提出

12、獎勵的辦法是：要求在國際象棋棋盤中每一格中放米，第l格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，以后每一格放的米粒數(shù)是前面一格的2倍，以此類推，一直放到第64格。將這些米粒的總數(shù)獎給自己。國王很爽快地答應了，但是后來一算，不得了，全國糧倉中所有的米都獎給他還不夠。你幫他算算看，為什么?這樣引入等比數(shù)列，既生動有趣；又明白易懂。案例 在講無理數(shù)時，先講故事：古希臘有一個很著名的數(shù)學學派叫畢達哥拉斯學派，他們視整數(shù)為神靈，認為數(shù)學中的一切現(xiàn)象都可以歸結(jié)為“整數(shù)或整數(shù)之比”。因此當數(shù)學家希帕索斯發(fā)現(xiàn)單位正方形的對角線不能用整數(shù)表示時，引起了畢派的極大恐慌與震驚，他們競殘忍地將希帕索斯拋入了大海，為了一類新

13、的數(shù)的發(fā)現(xiàn)，希帕索斯獻出了自己的生命。再說：今天我們就學習這一類數(shù)無理數(shù)。二、教學情境設計 1，教學情境概述 教學情境是一種特殊的教學環(huán)境，是教師為了發(fā)展學生的心理機能，通過調(diào)動“情商”來增強教學效果而有目的創(chuàng)設的教學環(huán)境。也是教師根據(jù)教學目標和教學內(nèi)容，創(chuàng)造出師生情感、欲望、求知探索精神的高度統(tǒng)一、融洽和步調(diào)一致的情緒氛圍。建構(gòu)主義學習理論認為：學習是學生主動的建構(gòu)活動，學習應與一定的情境相聯(lián)系，在實際情境下進行學習，可以使學生利用原有知識和經(jīng)驗同化當前要學習的新知識。這樣獲取的知識，不但便于保持，而且容易遷移到新的問題情境中去。創(chuàng)設教學情境，不僅可以使學生容易掌握數(shù)學知識和技能，而且可以“

14、以境生情”，可以使學生更好地體驗教學內(nèi)容中的情感，使原來枯燥的、抽象的數(shù)學知識變得生動形象、饒有興味，并且受到思想品德教育。 2教學情境的類型教學情境的類型很多，在數(shù)學教學中應用較多的有以下幾種： (1)問題情境。教師提出具有一定概括性的問題，與學生已有的認知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生內(nèi)部矛盾沖突，學生單憑現(xiàn)有數(shù)學知識和技能暫時無法解決，于是激起學生的求知欲望，形成一種教學情境。在教師的指導下，學生通過探索和研究解決問題。 (2)故事情境。教師通過講數(shù)學知識發(fā)現(xiàn)的故事、有關數(shù)學家的故事創(chuàng)設教學情境，激發(fā)學生學習數(shù)學的求知欲望，使學生在聽故事的過程中學習數(shù)學知識，接受思想教育。 例如在教等差數(shù)列求前n項和的公

15、式時，常常講高斯小時候計算1+2+3+100的故事。故事既能引起學生學習的興趣，又體現(xiàn)了推導等差數(shù)列求前n項和的公式的思路。 (3)活動情境。教師通過組織學生進行與數(shù)學知識有關的活動，構(gòu)建教學情境，讓學生在活動中提高學習數(shù)學的興趣，掌握數(shù)學的知識。 例如在教利息計算時，可以開展模擬銀行存貸款的活動。將班級分成幾個小組，有的小組扮演銀行角色，公布各檔存貸款的利率。另一些小組扮演儲戶或借貸戶角色。儲戶向銀行存款，借貸戶向銀行借款，并且提出問題：向銀行存或借一定數(shù)量的錢，并且知道存或借多少時間，要銀行計算每筆存款或借款的利息。在活動一段時間以后，扮演銀行和扮演儲戶或借貸戶的兩種角色相互交換。通過活動

16、讓學生掌握利息的計算。在立體幾何入門教學時，可以提出這樣問題引導學生參與操作活動。用6要用長度相等的牙簽或火柴搭正三角形，試試你最多能搭幾個正三角形。這樣以直觀、巧妙的操作方式引導學生思維由平面向空間拓展，幫助學生建立起空間觀念，引出立體幾何研究的對象和目的。 (4)實驗情境。有些數(shù)學教學內(nèi)容比較抽象，學生不容易理解，教師設計與教學內(nèi)容有關的實驗，讓學生通過觀察和動手操作，在實驗的情境中提高分析和解決數(shù)學問題的能力。 例如數(shù)學歸納法比較抽象，特別是學生對它為什么要有第二步不理解?？梢栽O置下列實驗情境；幾十個骨牌一個緊挨著一個放在桌上，排列成彎彎曲曲的蛇形隊列，用一只手指推倒第1個骨牌，緊接著第

17、2個骨牌、第3個骨牌依次都倒下?？梢郧宄乜吹?，要使每一個骨牌都倒下，除了第1個骨牌必須倒下以外，還必須有：如果前面一個骨牌倒下，那么后面一個骨牌就緊接著倒下。也就是必須要有當n=k成立時 ,n=k+1也成立。 又如在教有關濃度的問題時，可以設置實驗情境。先在量杯中倒進溶劑，然后加進溶質(zhì)，得到溶液。通過實驗得到結(jié)論：溶質(zhì)=濃度溶液。 (5)競爭情境。教師設計一些數(shù)學問題，將學生分成小組，創(chuàng)設小組之間進行比賽的情境，讓學生之間開展競爭，比準確、比速度、比技巧。 例如在學習有理數(shù)運算時；可以設計有關的問題組織學生進行運算比賽，使枯燥的運算變成生動活潑的競爭，大大地提高了學生學習的主動性和積極性；（

18、6）猜想情境新課標強調(diào)：學生的數(shù)學學習活動不應只限于概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等都是學習數(shù)學的重要方式。而提高學生的猜想能力是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的一個有效途經(jīng)。猜想情境：就是為學生設計環(huán)境條件，創(chuàng)造機會，引導學生在熟悉的舊知識中嘗試探索、猜測、發(fā)現(xiàn)新知識的情境。牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”數(shù)學猜想包括直覺猜想、類比猜想、實驗猜想。學習“球的體積”可設計如下猜想情境：1.提出問題：已知球的半徑為R，則球的體積？2.提供三個模型：目測體積：圓柱、半球、圓錐之間的體積關系。3.猜測：4.細沙實驗驗證猜想5.構(gòu)造參照物，證明猜想

19、6.得出定理 3數(shù)學問題情境的設計 (1)數(shù)學問題情境設計的原則； 問題要具體明確。這是問題情境設計最基本的原則。提出的問題必須目的明確，緊緊圍繞教學目標，而且要非常具體。這樣學生能理解問題的含義，才有可能來探索、思考和解決這些問題。 問題要有新意。為了激發(fā)學生的求知欲望，提高學生學習的興趣，在設置問題情境時，必須選擇新穎的問題。 問題要有啟發(fā)性。教師在深入分析教學內(nèi)容和學生情況的基礎上，根據(jù)教學目標，設計使學生的原有認知結(jié)構(gòu)和新知識產(chǎn)生矛盾的富于挑戰(zhàn)性的問題。 (2)數(shù)學問題情境設計的方法。數(shù)學問題情境設計的方法很多，這里介紹常用的幾種。 通過提出與新知識有關的實際問題，設置問題情境。教材中

20、有些定理和公式往往直接提出，學生不知道為什么要學，而且也比較抽象不容易理解。這時教師可以設計一些與它們有關的實際問題構(gòu)建教學情境，使抽象的內(nèi)容具體化，使數(shù)學理論結(jié)合生活和生產(chǎn)實際。學生在解決實際問題的過程中學到了新的數(shù)學知識。 例如北大附中張思明老師在教基本不等式和時，先提出兩個應用題，設置問題情境。 1)某商店在節(jié)前進行商品降價酬賓銷售活動，擬分兩次降價。有三種降價方案：甲方案是第一次打p折銷售，第二次打q折銷售，乙方案是第一次打q折銷售，第二次打p折銷售；丙方案是兩次都打 折銷售，請問哪一種方案降價較多? 2)用一個有毛病(天平的兩臂之長略有差異，其他因素忽略)的天平怎樣稱量物體的重量?有

21、人說只要左右各稱量二次，再相加后除以2就可以了，你認為對嗎？ 通過解決這兩個問題，引出基本不等式和 通過從前面結(jié)論進一步引出沒有解決的問題，設置問題情境。在學生掌握了某些數(shù)學知識的基礎上，進一步提出更深入的問題讓學生探索和研究，使學生經(jīng)常處于“憤悱”的狀態(tài)。 例如，在學習了基本不等式。和以后，進一步提出以下兩個問題組織學生討論； 1)從這兩個基本不等式出發(fā)，再可以發(fā)現(xiàn)和證明哪些有關實數(shù)a、b或更多實數(shù)的不等式?2)若a,b是正實數(shù)，且，試排列下面六個量大小的次序： 通過實驗設置問題情境。當學生的原有認知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)具有學習新知識的預備知識，但新舊知識之間的邏輯聯(lián)系還不容易被學生發(fā)現(xiàn)時，教師可以通

22、過具體實驗設置問題情境，讓學生通過觀察、畫圖、動手操作等實踐活動，探索規(guī)律、提出猜想，然后通過邏輯論證得到定理和公式。 例如，在教“不在一條直線上的三點確定一個圓”時，教師先發(fā)給每一個學生一張破碎了的圓形硬紙片，并且說：“機器上的皮帶輪碎了，為了再制造一個同樣大小的皮帶輪，請你設法畫出皮帶輪對應的圓形?！苯又寣W生用圓規(guī)、直尺、量角器等比比畫畫，進行實驗，探索問題的解法。然后在實驗的基礎上，設置問題情境：過不在一條直線上的三點可以畫幾個圓? 從同一問題通過不同推理和運算，產(chǎn)生形式上不同的結(jié)果，設置問題情境。 例如分解因式：。學生有兩種解法，出現(xiàn)兩種不同結(jié)果： 比較這兩種結(jié)果，教師提出問題：為什

23、么有兩種不同結(jié)果?是不是其中一個等式不成立?在排除了“其中一個等式不成立”的想法后，進一步提出猜想； 從而設置“能不能分解因式，如何分解?”的問題情境。 從學生練習中發(fā)生的錯誤，設置問題情境。由于學生原有認知結(jié)構(gòu)與新知識之間產(chǎn)生矛盾，因此練習中經(jīng)常會產(chǎn)生各種錯誤，可以以此來設置問題情境。 例如學生在解排列組合問題“生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進行檢查，其中至少有l(wèi)件次品的抽法有多少種?”時，常常會產(chǎn)生以下的錯誤： 由于從2件次品中抽出1件有種抽法，再從余下的99件中抽出4件有種抽法，因此共有種不同的抽法。 提出下列問題要求學生思考： 1)這個解法是否有錯誤? 2)如果有

24、錯誤，錯在哪里?應該如何解? 三、提問設計數(shù)學課堂提問設計與實施，應是數(shù)學教師的基本功。下面是我們在課堂上記錄下來的教師提問： 在“對頂角相等”的教學中，一位老師提問：“相交線有什么性質(zhì)?” 在講“平行四邊形”時，教師提問：“對角線互相平分是四邊形為平行四邊形的什么條件?” 在講梯形時，有位教師提問：“同學們，請考慮一下，圓的內(nèi)切梯形是什么四邊形?” 一位教初中二年級的老師，在講“有理數(shù)的乘法法則”時，首先要確定積的符號，于是同號為正，異號為負，再將絕對值相乘。這些都講得十分到位。在得意之余，這位教師突然冒出一句：“同學們，你們想過沒有，為什么負負得正呢?” 以上的問題設計是否合理，問題的表述

25、是否清楚，問題的答案是否確定，問題本身是否超越了學生的認知結(jié)構(gòu)7 l提問概述 提問是教師根據(jù)教學內(nèi)容的目的要求，以提出問題的形式，通過師生相互作用，檢查學習、促進思維、鞏固知識、運用知識實現(xiàn)教學目標的一種教學行為和方式。它是數(shù)學課堂教學的重要環(huán)節(jié)，是數(shù)學教師與學生交流的一種重要方式。 提問具有以下幾種功能： (1)激勵參與。通過思考問題，使學生對學習產(chǎn)生興趣，將注意力吸引到所學習的內(nèi)容上去，充分激發(fā)學生思維的主動性，積極參與教學活動。 半球容器，再取半徑和高都是R 的圓桶和圓錐各一個。把圓錐放 人圓桶內(nèi)，再將半球容器裝滿細 沙，然后把半球容器內(nèi)的細沙倒 入圓桶內(nèi)，發(fā)現(xiàn)圓桶恰好被細沙 裝滿(如圖

26、4-8)?？梢缘贸觯鹤鲆粋€實驗：取一個半徑為R的 半球容器，再取半徑和高都是R 的圓桶和圓錐各一個。把圓錐放 人圓桶內(nèi)，再將半球容器裝滿細 沙，然后把半球容器內(nèi)的細沙倒 入圓桶內(nèi)，發(fā)現(xiàn)圓桶恰好被細沙 (2)學會思維。教師的提問可以起示范作用，教會學生如何發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。學生在分析問題和解決問題的過程中，學會如何進行比較、分析、綜合、抽象、概括、演繹和歸納，從而學會思考問題的方法，提高思維的能力。 (3)檢查反饋。通過提問可以檢查學生是否掌握已學過的知識，及時得到反饋的信息，了解學生認知的狀態(tài)，診斷學生的困難和問題，從而對教學過程進行調(diào)整，并對學生進行適當?shù)闹笇А?(4)鞏固強化。學生在回答

27、問題的過程中，通過不斷思考，鞏固強化所學的數(shù)學知識和技能，提高綜合運用的能力。 2提問的類型 提問可以根據(jù)不同的要求進行分類；可按提問的目的或方式來劃分，也可按問題的認知水平來劃分。這里我們根據(jù)問題的認知水平將提問分為六類： (1)回憶型提問。通過回憶以前學過的定義、定理、公式和法則，回答教師要求記憶的內(nèi)容，讓學生對已經(jīng)學過的知識再現(xiàn)和確認。這種問題常常是本堂課新授內(nèi)容的基礎和預備知識，與新知識有密切的聯(lián)系，為學習新知識提供條件。這類提問雖然認知層次比較低，但是對于學好新知識是非常必要的。：不過提問的數(shù)量要有所控制，特別是有些只需回答是或否的問題，更要嚴格加以限制。否則課堂上看來很熱鬧，但學生

28、的思維深度不夠。最近國內(nèi)的一些研究資料指出：中學數(shù)學高密度的提問已成為課堂教學的重要方式，回答時間有的要占整堂課的一半以上，但是提問中記憶性問題居多，很少有批判性、創(chuàng)造性的問題。把可供探索的問題分解為較低認知水平的結(jié)構(gòu)性問答，組織化程度較高，有利于掃除教學障礙，但不利于學生主動性的發(fā)揮。案例131 復數(shù)三角式的求和問題 求(COS 1+isin 1)+(COS 2+isin 2)+(COS 60+isin 60)=? 學生大部分都按復數(shù)加法法則來算，結(jié)果，進退維谷，陷入冷場。這時教師以較重的聲音發(fā)問：復數(shù)“三角式”的乘法法則是什么?此題能否和數(shù)列聯(lián)系起來?這一導向性的問題使學生茅塞頓開，悟出這

29、是一個首項與公比都是(COS 1+isin 1)的等比數(shù)列求和問題，于是得和為0。教師到此進一步提問：若把上題的加號改為乘號又有什么結(jié)果?學生又躍躍欲試，課堂氣氛立即活躍起來。教師寥寥數(shù)語的點撥，引發(fā)了學生積極思維，取得良好的效果。 (2)理解型提問。這種提問要求學生對已知信息進行內(nèi)化處理后，能用自己的話對數(shù)學知識進行表述、解釋和組合，對所學的概念、定理等進行比較，揭示其本質(zhì)區(qū)別。例如，在學習圓周角定義時，為了使學生理解概念的內(nèi)涵：圓周角的頂點在圓上，角的兩邊分別都和圓相交。在黑板上畫出如下的圖形：（a） （b） (c) (d) (e) 提問學生：試判斷上述圖形中的角是不是圓周角?要求學生在理

30、解圓周角概念的基礎上回答。(a)和(b)雖然角的兩邊都與圓相交，但頂點不在圓上，它們都不是圓周角。(c)和(d)雖然頂點在圓上，但角的兩邊不都與圓相交，它們都不是圓周角。(e)頂點在圓上，角的兩邊分別都和圓相交，它是圓周角。 又如，為了使學生深入理解雙曲線的定義，可以提出以下的問題： 將定義中的“小于”換為“等于”，其余不變，點的軌跡是什么? ， 將定義中的“小于換為“大于”，其余不變，點的軌跡是什么? 將定義中“差的絕對值是常數(shù)(小于”改為“差是常數(shù)(絕對值小于”，其余不變，點的軌跡是什么? 若這個常數(shù)等于零，其余不變，點的軌跡是什么? (3)運用型提問。設置一個新的簡單的問題情境，讓學生運

31、用新獲得的知識結(jié)合過去學過的知識解決新的問題，這種提問稱為運用型提問。這樣的提問往往在學習新的概念、定理、公式和法則后進行。例如在學生學習了一元二次方程解法以后，給出各種類型的一元二次方程，提問學生，要求他們能口頭回答，如何解這些一元二次方程。 (4)分析型提問。這種提問要求學生把事物的整體分解為部分，把復雜事物分解為簡單事物，分清條件與結(jié)論，找出條件和結(jié)論之間的因果關系。例如，余弦定理教學，在ABC中，已知a、b和C，如何求c?首先將問題特殊化，把復雜問 A題轉(zhuǎn)化為簡單問題。提問：如果C= 90，如何求c?再提問；如果C90，怎么辦?可以將一般三角形分成兩個直角三角形。進 C一步提問，怎樣分

32、?在學生添出輔助線AD把 D BABC分成兩個直角三角形ACD和ABD后進一步再提問：在RtABD中，如要求c，先要求什么?回答是求AD和BD。已知BCa，要求BD只要求CD。接著再提問：在RtACD中，已知C和ACb，如何求AD和CD。最后提問：前面C是直角，這里C是銳角，如果C是鈍角怎么樣?一共要分三種情況進行討論。 (5)綜合型提問。把事物的各個部分、各個方面、各種要素、各個階段聯(lián)結(jié)成整體，找出其相互聯(lián)系和規(guī)律的提問。例如，在余弦定理推導結(jié)束后，可以提出還有沒有其他方法可以推導余弦定理?還可以提出余弦定理有什么用處?正弦定理與余弦定理有什么區(qū)別和聯(lián)系等問題，提高學生綜合運用數(shù)學知識思考問

33、題、解決問題的能力。 (6)評價型提問。要求學生通過分析、討論；評論、優(yōu)選解法，對事物進行比較、判斷和評價的提問。例如讓學生判斷和評價其他學生不同觀點和不同解法的對錯和優(yōu)劣，并講出理由。 提問的分類方法很多，如按提問的目的可以分為：引趣性提問、準備性提問、遷移性提問、探索性提問、引疑性提問、過渡性提問、鞏固性提問、反饋性提問。按提問的方式可以分為：總括式提問、引導式提問、比較式提問、點撥式提問、歸納式提問等等。這里不再一一列舉。 3提問設計的原則 (1)目的性。課堂教學提問是為了實現(xiàn)教學目標，因此，必須緊緊圍繞教學目標，有目的地設計提問?？梢詮囊韵聨讉€方面來進行： 根據(jù)教學的重點、難點設計問題

34、； 選擇教學的突破口設計問題； 在新舊知識連接點處設計問題； 在數(shù)學概念容易混淆處設計問題； 在教學內(nèi)容總結(jié)處設計問題。 例如，為了使學生理解正棱錐的概念，可以設計以下的提問： 棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)棱與底面所成的角也相等，試判斷這個棱錐是不是正棱錐?為什么? 棱錐各側(cè)棱與底面所成的角相等，各側(cè)面上的斜高也相等，試判斷這個棱錐是不是正棱錐?為什么? 棱錐各側(cè)面的面積相等，各側(cè)面在底面上射影的面積也相等，試判斷這個棱錐是不是正棱錐?為什么? 棱錐頂點到底面各頂點的距離相等，到底面各邊的距離也相等，試判斷這個棱錐是不是正棱錐?為什么? 棱錐各側(cè)面上的斜高相等，側(cè)面的面積也相等，試判斷這個棱錐是不是正

35、棱錐?為什么? 棱錐各側(cè)棱與底面所成的角相等，各側(cè)面與底面所成的角也相等，試判斷這個棱錐是不是正棱錐?為什么? (2)明確性。設計的問題要明確具體，表述要清楚。要使學生明確提問什么，思考什么，回答什么，而不是籠統(tǒng)模糊、模棱兩可。 (3)啟發(fā)性。提問要針對學生的舊知識和新知識的矛盾，提出對于學生來說既不是完全不知，又不是完全知道的問題，讓學生借助已知去探索未知，啟發(fā)學生思維。 (4)層次性。所提問題的難度要有一定的層次，既有認知水平較低的問題，又有認知水平較高的問題。一般可以設置以下各種層次的問題： 學生參照已經(jīng)學過的概念、定理、公式或例題，就可以回答的問題； 所提問題投有現(xiàn)有的模式可以模仿，但

36、不過是現(xiàn)有模式的適當變化和改進， 要求學生能綜合和靈活運用所學知識來回答的問題； 要求學生能以自己特有的方式創(chuàng)造性地回答的問題。 (5)系統(tǒng)性。要按教材和學生認知發(fā)展的順序，由淺入深，由易到難，由近及遠，由表及里，步步深入，環(huán)環(huán)扣緊，設計一系列的問題鏈。各個問題之間內(nèi)部密切聯(lián)系，或并列或遞進。例如命題教學中常?？梢栽O計以下的問題： 提出要解決的問題。 如何進行分析和探索? 條件和結(jié)論之間有些什么聯(lián)系? 問題能不能簡單化，特殊化? 如何進行證明? 還有什么方法可以證明? 可以得到一些什么規(guī)律? 問題能不能推廣到一般? 如果條件改變，結(jié)論會發(fā)生什傘變化? 如學習棱臺的中截面面積公式，可以這樣來提問

37、題： 設棱臺的上、下底面的面積分別為S1、S2面面積。 猜想這個棱臺的中截面面積等于什么? 將問題特殊化，如果是正四棱臺，那么怎樣來求它的中截面面積7 這個結(jié)果對一般的棱臺成立嗎? 能不能用另外的方法來解這個問題? 這個問題如何一般化? (6)針對性。要根據(jù)學生的年齡、知識基礎和能力來設計問題。問題難易要適當，提問要面向全體學生，要按班級中等水平設計問題，兼顧兩頭。要使問題處于學生能力的最近發(fā)展區(qū)，學生經(jīng)過認真思考可以回答。 四、例題設計 l.例題概述 數(shù)學例題是幫助學生理解、掌握和運用數(shù)學概念、定理、公式和法則的數(shù)學問題，是教師用作示范的具有一定代表性的典型數(shù)學問題。它是把數(shù)學知識、技能、思

38、想和方法聯(lián)系起來的紐帶，是對知識、技能、思想和方法進行分析、綜合和運用的重要手段。例題教學是數(shù)學教學的重要組成部分，是抽象的概念、定理、公式和具體實踐之間的橋梁，是使學生的數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學能力的重要環(huán)節(jié)。它具有以下幾項功能： (1)引入新知識。數(shù)學中的概念、定理、公式一般都比較抽象，學生不容易理解，也不知道為什么要學習它們。通過例題引入，比較生動、具體，容易引起學生學習的興趣，激發(fā)學生的學習動機。在例題的基礎上，通過抽象、概括、歸納、演繹得出概念、定理和公式。 (2)解題示范。通過例題示范，讓學生在模仿的基礎上，掌握解決問題的思路、方法，學會分析、語言表達和書寫格式。在例題學習過程中，通過潛

39、移默化的影響，學生逐步學會數(shù)學思維，領會數(shù)學的思想方法。 (3)加深理解。在初學概念、定理和公式時，學生對它們還只是初步的理解。通過例題的學習，在運用概念、定理和公式解題的過程中，逐步加深對數(shù)學基礎知識的理解和基本技能的掌握。 (4)提高能力。通過例題的分析和解題策略的教學，進一步提高學生數(shù)學思維能力和解決問題的能力。具體表現(xiàn)為：善于運用某種方法和手段改變問題情境的能力，善于構(gòu)思新的解題方法的能力，善于將數(shù)學方法進行遷移的能力。 2例題設計的原則 (1)目的性。設計例題首先必須明確目的，為教學目標服務。 有的是為了引入概念，有的是為了推導某一個公式，有的是為了說明定理和法則的運用，也有的是為了

40、強調(diào)解題格式和書寫規(guī)范，還有的是為了體現(xiàn)某種數(shù)學思想方法。教師要根據(jù)不同的目的選擇不同的例題。 (2)典型性。要選擇典型的、有代表性的問題作為例題，通過教學能舉一反三、一題多解、一例多用、由例及類、由此及彼、觸類旁通。通過示范讓學生掌握解題的一般方法和規(guī)律。 (3)啟發(fā)性。選擇例題還要注意富于啟發(fā)性，要選擇那些有利于啟發(fā)學生思維，有利于創(chuàng)造條件讓學生自己去發(fā)現(xiàn)的問題作為例題，引導學生對問題進行探索，進行多角度、多方向的分析與思考。 (4)科學性。這是設計例題最基本的原則，所設計的例題必須是正確無誤的，條件必須是充分的、不矛盾的，題目的敘述必須是明確清楚的，題目的要求必須是切實可行的。 (5)變

41、通性。設計例題還要注意能夠一題多變，通過變化條件、變化結(jié)論、縱向引申、橫向拓展，開拓思維途徑和思維空間。 (6)有序性。例題的編排在內(nèi)容和要求上要注意循序漸進，由淺人深、由易到難、由簡單到復雜。如果例題之間跨度太大，就要選擇適當?shù)膯栴}填補空隙。 3例題設計的步驟 (1)例題的選擇。通過對教材的分析，知道了教材中例題的數(shù)量和要求，然后對照教學目標和學生實際情況，考慮需要補充哪些內(nèi)容和要求的例題。再根據(jù)上述例題設計的原則，在數(shù)學教學參考讀物和習題中，集中選擇適當?shù)臄?shù)學問題作為補充例題。 (2)例題的編制。有時根據(jù)偽題設計的要求，暫時找不到現(xiàn)成的、合適的數(shù)學問題，這時就需要自編或改編，常用的方法有以

42、下幾種： 類比。運用類比的方法對原題的條件和結(jié)論進行改編，得到的新題的結(jié)構(gòu)與原題類似。例如： 原題：在等差數(shù)列 中，若，則有等式成立。新題：在等比數(shù)列 中，若，則有等式成立。 特殊化或一般化。將原來題目中一般的結(jié)論賦以特殊的值可以得到新的題目。例如： 原題；長方體的對角線與其過一個端點的三個面所成的角分別為，則 新題：長方體的對角線與其過一個端點的兩個面所成的角都為30，求它與過同一端點的第三個面所成的角。 將原來題目中特殊的結(jié)論一般化可以得到新的題目。例如， 原題：已知，求證： 新題：已知，求證：。 引申和拓展。根據(jù)原題的已知條件，將原有結(jié)論作進一步的引申，得到新的結(jié)論。或者保持原來題目的要

43、求不變，改變題目的條件，得到新的問題。也可以通過對原題不同角度的聯(lián)想，同時改變題目的條件和結(jié)論，得到新的問題。 原題；把一段半徑為R圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大? 新題1：把一段半徑R的半圓鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大? 新題2：把一段半徑為R，圓心角為90的扇形木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大? 新題3：把半徑為R的木球鋸成正四棱柱的木料，怎樣鋸法才能使它的體積最大? 新題4：把半徑為R的木球鋸成圓柱的木料，怎樣鋸法才能使它的體積最大? 倒推。由題目預期的結(jié)果出發(fā)倒推，尋求實現(xiàn)結(jié)果的條件，編出新題。 例如要求設計

44、一道實數(shù)a、b、c組成等差數(shù)列的題目。 由。A-b=b-c有(a-b)-(b-c)=0，(a-b)-(b-c)2=0,(a-c)2=(a-b)+(b-c)2=五、練習設計 1練習概述 數(shù)學練習是一種有目的、有組織、有指導的數(shù)學學習實踐活動，是學生將所學的數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學技能、技巧，形成數(shù)學能力的重要途徑和手段。通過練習可以使學生從不會到會，從不熟練到熟練。 數(shù)學練習有以下幾項功能： 使學生進一步加深理解和掌握數(shù)學知識和技能。 提高學生的數(shù)學思維能力和分析問題解決問題的能力。 促進知識的遷移，提高學生的數(shù)學應用能力。 有助于及時反饋信息，讓教師了解學生學習的情況，檢查教學效果，及時糾正學生的錯誤。 2練習的類型 根據(jù)練習在數(shù)學課堂教學中的作用，可以分為以下幾種類型： 1)準備性練習。為了引入新課，學習數(shù)學新知識，需要通過練習復習原有的數(shù)學知識。這種練習是新舊數(shù)學知識之間的橋梁，既為新知識作鋪墊，又能激發(fā)學生求知欲望。 例如，學習數(shù)的平方根時，可以先讓學生進行求數(shù)的平方的練習，計算：42；(一4)2；。通過練習既復習了數(shù)的平方的知識，又為引出數(shù)的平方根作好準備。 (2)理解性練習。在數(shù)學概念教學中，為了使學