6 7與6 8定積分的應用

1、第七、八節(jié)定積分的應用平面圖形的面積體積經(jīng)濟應用小結(jié)一、平面圖形的面積(微元法)1.選x為積分變量yy =f ( x)曲邊梯形的面積b=Sf (x)dxaxoaxx+dx by =yf2 ( x)曲邊梯形的面積bS =fy =bf( x)(x) - f(x)dx1x21aoa例 1 計算由兩條拋物線y 2 = x 和y = x 2 所圍成的圖形的面積.,1)解1A =x - x2 )dx(01- x3232=x33 0= 1 .3x = y2(1y = x22.選y為積分變量ydx = j(y)d=j(y)dySxocabcydx = j2 (y)x = j1 (y)d=j1 (y) - j2

2、 (y)dyScocxab= 2 x 和直線y = x - 4所圍計算由曲線y 2例2成的圖形的面積.解兩曲線的交點4 y2 = 2 x (2,-2), (8,4). y = x - 4 選x為積分變量28S =2 x - (-2 x )dx +2 x - ( x - 4)dx02y -2, 4( y + 4 - 1 y2 )dy = ( y2164S =+ 4 y -y) |= 1834-22-2選 y 為積分變量y = x -y2 = 2xx2y2+b2= 1的面積.例 3求橢圓a2解由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積ba= 4 b 1 pa2 = pab.aA = 4a2- x2d

3、xa40二、體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓臺(1)y = f (x), x = a, x = b圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為yy =f ( x)取積分變量為x ，x a, b在a, b上任取小區(qū)間 x, x + dx，oxx + dxx取以dx 為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片（近似小圓柱）的體積為體積元素，dV= p f ( x)2 dxbV= pf 2 (x)dx旋轉(zhuǎn)體的體積為xay1= f (x), y2= g(x), x = a, x = b圍成圖形繞(2)x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為bV= p(f 2 (x) -

4、 g2 (x)dxxa(3)x = j(y), y = c, y = d圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為dV= pj2 (y)dyydycx = j ( y)coxx1= f(y), x2= j(y), y = c, y = d圍成圖形繞(4)y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為dV= p(f2 (y) - j2 (y)dyyc(5)y = f (x), x = a, x = b, y = 0圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為特殊:f(x)為直線bVy = 2px |f ( x) | dxaf (x)x + Dxxx2y 2+= 1例1求(1)繞x軸,(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)a2b2生的旋轉(zhuǎn)體體積y = ba-aV= p

5、y 2dxa2- x2解: (1)繞x軸xa)dx =2pb2a b24p12p0=(a- x22(ax -x) |0323a=ab 32a2a2- y 2x = ab2(2)繞y軸法一b2- y 2 )dy = 4pa2bb a(abb0 b2- y 2 )2 dy = 2p(b2= pb2Vy3-b法二a b x4paV= 2 2px | f (x) | dx = 4p a- xdx =a 222aby300例2求y = x2 , x = y 2圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.1V= p(- (x2 )2 dxx)2x0= 3p111= p(x -xdx = px-x |42510

6、25100例3求x2 + y2= a2繞x = -b(b a 0)旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積解:將y軸平移到x=-b處則x2 + y 2= a2化為x = b 令x = x + b, y = y- y2a2即x = b a2- y 2aV= p(b +- y2 )2- (b - y2 )2 dya2a2y-a- y 2dy =8pb 1 pa2= 2p2a2ba= 8pa2b402、平行截面面積為已知的立體的體積如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.A( x) 表示過點 ox 且垂直于x 軸xx + dxaxbA( x)為x 的已

7、知連續(xù)函數(shù)b的截面面積，立體體積 V=dV= A( x)dx,A( x)dx.a三、經(jīng)濟應用1。已知生產(chǎn)某產(chǎn)品固定成本為c0 ,邊際成本為 C(x)xC(x)dx + c0C(x) =x為產(chǎn)量，則總成本函數(shù)為02。已知銷售某產(chǎn)品的邊際收益為R(x)，x為銷售量，x則總收益函數(shù)為R( x) =+R(0), R(0) = 0R ( x)dx0Q(t)3。已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量Q的變化率為，則t（1）總產(chǎn)量函數(shù)為Q( x) =Q (t )dt + Q(0)t20t 到t 時間內(nèi)（2）從的總產(chǎn)量Q(x) = Q(t)dt12t1L(x) ，則4.已知設利潤函數(shù)的變化率為xL(x) =L(x)dx - c（1

8、）總利潤函數(shù)為00（2）從 產(chǎn)量x1變到x2時的利潤增量為xL(x)dxL(x) =2x1例1設固定成本C(0) = 2萬元, R(Q) = 60 - 2Q,C(Q) = 30 + 4Q, 試確定廠商的最大利潤例2已知某商場銷售電視機的邊際利潤為L( x) = 250 -x( L(0) = -20)試求：10售出40臺電視機的總利潤？售出60臺時，前30臺與后30臺的平均利潤各為多少？設連續(xù)復利率為r,一筆P元錢從現(xiàn)在起存入銀行，收益流的現(xiàn)值和將來值P250t年后的價值為B = Pert1.收益流:隨時間連續(xù)獲得的收益稱為收益流收益流對時間的導數(shù)稱為收益流量2.收益流量:記為:P(t)存款的本

9、息和3.收益流的將來值:4.收益流的現(xiàn)值:t時刻的收益流體現(xiàn)在t=0時的價值按連續(xù)復利計算:(時間為t年)將來值= 現(xiàn)值 ert ,r - - - 連續(xù)復利利率設收益流的流量為P(t),計算在0,T內(nèi)收益流的現(xiàn)值和 將來值:T-rtP(t)edt1.收益流的現(xiàn)值=0Tr(T-t)2.收益流的將來值=P(t)edt0資本價值=收益流的現(xiàn)值-投資額內(nèi)部利率是使收益流的現(xiàn)值等于成本的利率例1假設年連續(xù)復利利率為0.1,計算收益流量為100元/年的收益流在20年期間的現(xiàn)值和將來值.例2設有一項計劃現(xiàn)在需投入1000萬元,在10年中每年收益為200萬元,若連續(xù)利率為5%,設10年后設備折舊完,求資本價值

10、.四、小結(jié)求在直角坐標系下平面圖形的面積.（注意恰當?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算）繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周y旋轉(zhuǎn)體的體積繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周平行截面面積為已知的立體的體積經(jīng)濟學上的應用:由邊際函數(shù)求原函數(shù)由變化率求總量收益流的現(xiàn)值,將來值,投資價值,內(nèi)部利率例2某煤礦投資2000萬元建成, 在時刻t的追加成本為22C(t) = 6 + 2t 3 (百萬元/ 年),增加收益為R(t ) = 18 - t 3試確定該礦何時停止生產(chǎn)方可獲最大利潤? 最大利潤為多少?練 習 題一、填 空題：1、由 曲線 y = e x , y = e 及y軸所圍成平面區(qū)域的面積是 _ .2、由 曲線y =

11、3 - x 2 及直線y = 2 x 所圍成平面區(qū)域的面積是 .曲 線 y = x1 - x 2 , y = 1 , x = -1 , x = 1所圍成3、由 平面區(qū)域的面積是_ .4、計 算y 2 = 2 x 與y = x - 4 所圍的區(qū)域面積時，選用 作變量較為簡捷 .5、由 曲線 y = e x , y = e - x 與直線x = 1 所圍成平面區(qū)域的面積是 .6 曲線y = x 2 與它兩條相互垂直的切線所圍成平面圖 形的面積S ，其中一條切線與曲線相切于點 A( a , a 2 )，a 0 ，則當a = 時，面積S 最小 .二、求 由下列各曲線所圍成的圖形的面積：1、y = 1 與直線y = x 及x = 2；x2、y = x 2 與直線y = x 及y = 2 x ；3 、 r = 2a ( 2 + cosq)；4、擺線x = a(t - sin t ) , y = a(1 - cos t )(0 t 2p ) 及x 軸；5、r = 3 cosq 及r = 1 + cosq 的公共部分；+ y 3 + 3axy.6、笛卡爾葉形線x 3三、 求拋物線 y = - x 2 + 4 x - 3 及其在點( 0 ,-3 )和( 3 , 0 )處的切線所圍成的圖形的面積 .四、 求位于曲線 y = e x 下方，該曲線過原點的切線的左方以及 x 軸上方之間的